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第二十二講　矩形、菱形、正方形
A層·基礎過關
1.(2024·自貢中考)如圖,以點A為圓心,適當的長為半徑畫弧,交∠A兩邊于點M,N,再分別以M、N為圓心,AM的長為半徑畫弧,兩弧交于點B,連接MB,NB.若∠A=40°,則∠MBN=( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
2.(2024·甘肅中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,∠ABD=60°,AB=2,則AC的長為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(2024·廣西中考)如圖,邊長為5的正方形ABCD,E,F,G,H分別為各邊中點.連接AG,BH,CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為( )
A.1 B.2 C.5 D.10
4.(2024·綏化中考)如圖,四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于點E,則AE的長是( )
A. B.6 C. D.12
5.(2024·廣西中考)如圖,兩張寬度均為3 cm的紙條交叉疊放在一起,交叉形成的銳角為60°,則重合部分構成的四邊形ABCD的周長為 cm.
6.(2024·福建中考)如圖,正方形ABCD的面積為4,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點,則四邊形EFGH的面積為 .
7.(2024·貴州中考)如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列條件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)請從以上①②中任選1個作為條件,求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)在(1)的條件下,若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.
B層·能力提升
8.(2024·甘肅中考)如圖1,動點P從菱形ABCD的點A出發,沿邊AB→BC勻速運動,運動到點C時停止.設點P的運動路程為x,PO的長為y,y與x的函數圖象如圖2所示,當點P運動到BC中點時,PO的長為( )
A.2 B.3 C. D.2
9.(2024·瀘州中考)如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,點E,F分別是邊AB,BC上的動點,且滿足AE=BF,AF與DE交于點O,點M是DF的中點,G是邊AB上的點,AG=2GB,則OM+FG的最小值是( )
A.4 B.5 C.8 D.10
10.(2024·廣東中考)如圖,菱形ABCD的面積為24,點E是AB的中點,點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4,則圖中陰影部分的面積為 .
11.(2024·牡丹江中考)矩形ABCD的面積是90,對角線AC,BD交于點O,點E是BC邊的三等分點,連接DE,點P是DE的中點,OP=3,連接CP,則PC+PE的值為 .
C層·素養挑戰
12.(2024·鹽城中考)如圖1,E,F,G,H分別是 ABCD各邊的中點,連接AF,CE交于點M,連接AG,CH交于點N,將四邊形AMCN稱為 ABCD的“中頂點四邊形”.
(1)求證:中頂點四邊形AMCN為平行四邊形;
(2)①如圖2,連接AC,BD交于點O,可得M、N兩點都在BD上,當 ABCD滿足_________時,中頂點四邊形AMCN是菱形;
②如圖3,已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點四邊形,請用無刻度的直尺和圓規作出該平行四邊形.(保留作圖痕跡,不寫作法)第二十二講　矩形、菱形、正方形
A層·基礎過關
1.(2024·自貢中考)如圖,以點A為圓心,適當的長為半徑畫弧,交∠A兩邊于點M,N,再分別以M、N為圓心,AM的長為半徑畫弧,兩弧交于點B,連接MB,NB.若∠A=40°,則∠MBN=(A)
A.40° B.50° C.60° D.140°
2.(2024·甘肅中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,∠ABD=60°,AB=2,則AC的長為(C)
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(2024·廣西中考)如圖,邊長為5的正方形ABCD,E,F,G,H分別為各邊中點.連接AG,BH,CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為(C)
A.1 B.2 C.5 D.10
4.(2024·綏化中考)如圖,四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于點E,則AE的長是(A)
A. B.6 C. D.12
5.(2024·廣西中考)如圖,兩張寬度均為3 cm的紙條交叉疊放在一起,交叉形成的銳角為60°,則重合部分構成的四邊形ABCD的周長為　8　cm.
6.(2024·福建中考)如圖,正方形ABCD的面積為4,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,AD的中點,則四邊形EFGH的面積為　2　.
7.(2024·貴州中考)如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列條件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)請從以上①②中任選1個作為條件,求證:四邊形ABCD是矩形;
【解析】(1)選擇①,證明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形;
選擇②,證明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形;
(2)在(1)的條件下,若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.
【解析】(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵AB=3,AC=5,∴BC==4,
∴四邊形ABCD的面積=AB·BC=3×4=12.
B層·能力提升
8.(2024·甘肅中考)如圖1,動點P從菱形ABCD的點A出發,沿邊AB→BC勻速運動,運動到點C時停止.設點P的運動路程為x,PO的長為y,y與x的函數圖象如圖2所示,當點P運動到BC中點時,PO的長為(C)
A.2 B.3 C. D.2
9.(2024·瀘州中考)如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,點E,F分別是邊AB,BC上的動點,且滿足AE=BF,AF與DE交于點O,點M是DF的中點,G是邊AB上的點,AG=2GB,則OM+FG的最小值是(B)
A.4 B.5 C.8 D.10
10.(2024·廣東中考)如圖,菱形ABCD的面積為24,點E是AB的中點,點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4,則圖中陰影部分的面積為　10　.
11.(2024·牡丹江中考)矩形ABCD的面積是90,對角線AC,BD交于點O,點E是BC邊的三等分點,連接DE,點P是DE的中點,OP=3,連接CP,則PC+PE的值為　13或　.
C層·素養挑戰
12.(2024·鹽城中考)如圖1,E,F,G,H分別是 ABCD各邊的中點,連接AF,CE交于點M,連接AG,CH交于點N,將四邊形AMCN稱為 ABCD的“中頂點四邊形”.
(1)求證:中頂點四邊形AMCN為平行四邊形;
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC,
∵點E,F,G,H分別是 ABCD各邊的中點,
∴AE=AB=CD=CG,AE∥CG,
∴四邊形AECG為平行四邊形,
同理可得:四邊形AFCH為平行四邊形,
∴AM∥CN,AN∥CM,
∴四邊形AMCN是平行四邊形;
(2)①如圖2,連接AC,BD交于點O,可得M、N兩點都在BD上,當 ABCD滿足_________時,中頂點四邊形AMCN是菱形;
②如圖3,已知矩形AMCN為某平行四邊形的中頂點四邊形,請用無刻度的直尺和圓規作出該平行四邊形.(保留作圖痕跡,不寫作法)
答案:AC⊥BD
【解析】(2)①當平行四邊形ABCD滿足AC⊥BD時,中頂點四邊形AMCN是菱形,
由(1)得四邊形AMCN是平行四邊形,
∵AC⊥BD,
∴MN⊥AC,
∴中頂點四邊形AMCN是菱形,
②如圖所示,即為所求,
連接AC,作直線MN,交于點O,然后作ND=2ON,MB=2OM,然后連接AB,BC,CD,DA即可,
∴點M和N分別為△ABC和△ADC的重心,符合題意;
證明:∵四邊形AMCN是矩形,
∴AC=MN,OM=ON,
∵ND=2ON,MB=2OM,
∴OB=OD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形;
分別延長CM,AM,AN,CN交四邊于點E、F、G、H如圖所示:
∵四邊形AMCN是矩形,
∴AM∥CN,MO=NO,
由作圖得BM=MN,
∴△MBF∽△NBC,
∴==,
∴點F為BC的中點,
同理得:點E為AB的中點,點G為DC的中點,點H為AD的中點.

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