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第二十八講　相似形
A層·基礎過關
1.(2024·內江中考)已知△ABC與△DEF相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△DEF的周長之比是(B)
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.(2024·連云港中考)下列網格中各個小正方形的邊長均為1,陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的為(D)
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
3.(2024·湖南中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是(D)
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
4.(2024·吉林中考)如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E是OA的中點,點F是OD上一點.連接EF.若∠FEO=45°,則的值為 　.
5.(2024·揚州中考)物理課上學過小孔成像的原理,它是一種利用光的直線傳播特性實現圖象投影的方法.如圖,燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A'B',設AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距離為30 cm,則小孔O到A'B'的距離為　20　cm.
6.(2024·云南中考)如圖,AB與CD交于點O,且AC∥BD.若=,則= 　.
7.(2024·廣州中考)如圖,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求證:△ABE∽△ECF.
【證明】∵BE=3,EC=6,CF=2,
∴BC=3+6=9,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,
∵==,=,
∴=,
∴△ABE∽△ECF.
B層·能力提升
8.(2024·陜西中考)如圖,正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上,AF與DC交于點H,若AB=6,CE=2,則DH的長為(B)
A.2 B.3 C. D.
9.(2024·龍東中考)如圖,在正方形ABCD中,點H在AD邊上(不與點A,D重合),∠BHF=90°,HF交正方形外角的平分線DF于點F,連接AC交BH于點M,連接BF交AC于點G,交CD于點N,連接BD.則下列結論:
①∠HBF=45°;②點G是BF的中點;③若點H是AD的中點,則sin∠NBC=;④BN=BM;⑤若AH=HD,則S△BND=S△AHM.其中正確的是(A)
A.①②③④ B.①③⑤
C.①②④⑤ D.①②③④⑤
10.(2024·樂山中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC和BD交于點O,若=,則= 　.
11.(2024·成都中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一條角平分線,E為AD中點,連接BE.若BE=BC,CD=2,則BD= 　.
C層·素養(yǎng)挑戰(zhàn)
12.(2024·湖北中考)在矩形ABCD中,點E,F分別在邊AD,BC上,將矩形ABCD沿EF折疊,使點A的對應點P落在邊CD上,點B的對應點為點G,PG交BC于點H.
(1)如圖1,求證:△DEP∽△CPH;
【解析】(1)如圖,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵E,F分別在AD,BC上,將四邊形ABFE沿EF翻折,使A的對稱點P落在DC上,
∴∠EPH=∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3=∠2,
∴△DEP∽△CPH;
(2)如圖2,當P為CD的中點,AB=2,AD=3時,求GH的長;
【解析】(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°,
∵P為CD中點,
∴DP=CP=×2=1,
設EP=AE=x,
∴ED=AD-x=3-x,
在Rt△EDP中,EP2=ED2+DP2,
即x2=(3-x)2+1,
解得x=,
∴EP=AE=,
∴ED=AD-AE=,
∵△DEP∽△CPH,
∴=,即=,
∴PH=,
∵PG=AB=2,
∴GH=PG-PH=;
(3)如圖3,連接BG,當P,H分別為CD,BC的中點時,探究BG與AB的數量關系,并說明理由.
【解析】(3)如圖,延長AB,PG交于點M,連接AP,EP,
∵E,F分別在AD,BC上,將四邊形ABFE沿EF翻折,使A的對稱點P落在CD上,
∴AP⊥EF,BG⊥直線EF,
∴BG∥AP,
∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA,
∴∠BAP=∠GPA,
∴△MAP是等腰三角形,
∴MA=MP,
∵P為CD中點,
∴設DP=CP=y,
∴AB=PG=CD=2y,
∵H為BC中點,
∴BH=CH,
∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,
∴△MBH≌△PCH(ASA),
∴BM=CP=y,HM=HP,
∴MP=MA=MB+AB=3y,
∴HP=PM=y,
在Rt△PCH中,CH==y,
∴BC=2CH=y,
∴AD=BC=y,
在Rt△APD中,AP==y,
∵BG∥AP,
∴△BMG∽△AMP,
∴==,
∴BG=y,
∴==,
∴AB=BG.第二十八講　相似形
A層·基礎過關
1.(2024·內江中考)已知△ABC與△DEF相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△DEF的周長之比是( )
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.(2024·連云港中考)下列網格中各個小正方形的邊長均為1,陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的為( )
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
3.(2024·湖南中考)如圖,在△ABC中,點D,E分別為邊AB,AC的中點.下列結論中,錯誤的是( )
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
4.(2024·吉林中考)如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E是OA的中點,點F是OD上一點.連接EF.若∠FEO=45°,則的值為 .
5.(2024·揚州中考)物理課上學過小孔成像的原理,它是一種利用光的直線傳播特性實現圖象投影的方法.如圖,燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A'B',設AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距離為30 cm,則小孔O到A'B'的距離為 cm.
6.(2024·云南中考)如圖,AB與CD交于點O,且AC∥BD.若=,則= .
7.(2024·廣州中考)如圖,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求證:△ABE∽△ECF.
B層·能力提升
8.(2024·陜西中考)如圖,正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上,AF與DC交于點H,若AB=6,CE=2,則DH的長為( )
A.2 B.3 C. D.
9.(2024·龍東中考)如圖,在正方形ABCD中,點H在AD邊上(不與點A,D重合),∠BHF=90°,HF交正方形外角的平分線DF于點F,連接AC交BH于點M,連接BF交AC于點G,交CD于點N,連接BD.則下列結論:
①∠HBF=45°;②點G是BF的中點;③若點H是AD的中點,則sin∠NBC=;④BN=BM;⑤若AH=HD,則S△BND=S△AHM.其中正確的是( )
A.①②③④ B.①③⑤
C.①②④⑤ D.①②③④⑤
10.(2024·樂山中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC和BD交于點O,若=,則= .
11.(2024·成都中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一條角平分線,E為AD中點,連接BE.若BE=BC,CD=2,則BD= .
C層·素養(yǎng)挑戰(zhàn)
12.(2024·湖北中考)在矩形ABCD中,點E,F分別在邊AD,BC上,將矩形ABCD沿EF折疊,使點A的對應點P落在邊CD上,點B的對應點為點G,PG交BC于點H.
(1)如圖1,求證:△DEP∽△CPH;
(2)如圖2,當P為CD的中點,AB=2,AD=3時,求GH的長;
(3)如圖3,連接BG,當P,H分別為CD,BC的中點時,探究BG與AB的數量關系,并說明理由.

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