資源簡介

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.3-函數(shù)的奇偶性與周期性-專項訓(xùn)練
【A級　基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )
A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1
C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋1
3．已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4，f(－1)＝－2，則f(2 025)＝( )
A．2 B．0
C．－2 D．－4
4．已知函數(shù)f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝－1，則f(－a)＝( )
A．3 B．5
C．6 D．7
5．已知偶函數(shù)f(x)對于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，則f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小關(guān)系是( )
A．f(0)B．f(－6.5)C．f(－1)D．f(－1)6．若函數(shù)f(x)＝sin x·ln(mx＋)的圖象關(guān)于y軸對稱，則m＝( )
A．2 B．4
C．±2 D．±4
7．已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋x2，(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且f(3a－2)>f(a－1)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
8．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，則a＋b等于( )
A．0 B．－1
C．－2 D．2
二、多選題
9．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
10．已知定義在區(qū)間[－7,7]上的一個偶函數(shù)，它在[0,7]上的圖象如圖，則下列說法正確的有( )
A．這個函數(shù)有兩個單調(diào)遞增區(qū)間
B．這個函數(shù)有三個單調(diào)遞減區(qū)間
C．這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7
D．這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值－7
11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，則下列說法正確的是( )
A．f(x)的最小正周期為4
B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱
C．f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱
D．f(x)在(－5,5)內(nèi)至少有5個零點
12．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2－x)＝f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x3，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．f(2 021)＝0
B．2是f(x)的一個周期
C．當x∈(1,3)時，f(x)＝(1－x)3
D．f(x)>0的解集為(4k,4k＋2)(k∈Z)
三、填空題
13．已知函數(shù)f(x)＝2x－2－xlg a是奇函數(shù)，則a的值等于_________.
14．已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1，則f(6)＋f(－3)的值為_________.
15．設(shè)f(x)是周期為3的函數(shù)，當1≤x≤3時，f(x)＝2x＋3，則f(8)＝_7__.－2≤x≤0時，f(x)＝_________.
16．已知函數(shù)f(x)，對 x∈R滿足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，則f(26)＝__________.
17．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0，則f(x)>0的解集為__________________.
【B級　能力提升】
1．設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，若x1<0且x1＋x2>0，則( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)與f(－x2)的大小不能確定
2．(多選題)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，則( )
A．f(0)＝1
B．f(x)是周期函數(shù)
C．f(x＋3)為奇函數(shù)
D．f(x＋5)為偶函數(shù)
3．若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
4．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則(k)＝( )
A．－3 B．－2
C．0 D．1
5．已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝__________.
6．函數(shù)f(x)＝是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f＝.
(1)求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f(x)的解析式；
(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．
7．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．
(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；
(2)若f(x)＝(0參考答案
【A級　基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．[解析]　A選項，根據(jù)y＝2x的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知A錯誤；B選項，由y＝的定義域為[0，＋∞)，知該函數(shù)非奇非偶，可知B錯誤；C選項，當x∈(0，＋∞)時，y＝|x|＝x為增函數(shù)，不符合題意，可知C錯誤；D選項；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知該函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可知D正確．故選D.
2．[解析]　化簡函數(shù)f(x)＝1－，分別寫出每個選項對應(yīng)的解析式，利用奇函數(shù)的定義判斷．由題意得，f(x)＝1－.對A，f(x－2)－1＝－是奇函數(shù)；對B，f(x－2)＋1＝2－，關(guān)于(0,2)對稱，不是奇函數(shù)；對C，f(x＋2)－1＝－，定義域為(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對D，f(x＋2)＋1＝2－，定義域為(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)．故選A.
3．[解析]　依題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，又f(x)的周期為4，且f(－1)＝－2，則f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
4．[解析]　函數(shù)f(x)＝sin x＋x3＋＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－＋3＋sin x＋x3＋＋3＝－sin x－x3－＋sin x＋x3＋＋6＝6，若f(a)＝－1，則f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故選D.
5．[解析]　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期是2.∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)遞增的，∴f(0)6．[解析]　因為f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)為偶函數(shù)，又y＝sin x為奇函數(shù)，所以y＝ln(mx＋)為奇函數(shù)，即ln[－mx＋]＝－ln(mx＋)，解得m＝±2.故選C.
7．[解析]　顯然f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(3a－2)>f(a－1) |3a－2|>|a－1| (3a－2)2>(a－1)2 a>或a<，故選C.
8．[解析]　因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x∈[0,2]時，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以－＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.
二、多選題
9．[解析]　由奇函數(shù)的定義f(－x)＝－f(x)驗證，A項，f(|－x|)＝f(|x|)，為偶函數(shù)；B項，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，為奇函數(shù)；C項，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，為偶函數(shù)；D項，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，為奇函數(shù)．可知B、D正確．
10．[解析]　根據(jù)偶函數(shù)在[0,7]上的圖象及其對稱性，作出其在[－7,7]上的圖象，如圖所示．由圖象可知這個函數(shù)有三個單調(diào)遞增區(qū)間，有三個單調(diào)遞減區(qū)間，在其定義域內(nèi)有最大值7，最小值不是－7，故選BC.
11.[解析]　因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期為4，但f(x)的最小正周期不一定為4，如f(x)＝sin，滿足f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝sin＝sin＝－sin＝－f(x)，而f(x)＝sin的最小正周期為，故A錯誤；因為f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故B正確；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)為奇函數(shù)可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，故C正確；因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)內(nèi)f(x)至少有－4，－2,0,2,4這5個零點，故D正確．故選BCD.
12．[解析]　∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，
∴f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期是4，故B錯誤；
f(2 021)＝f(1)＝1，故A錯誤；
∵當x∈[0,1]時，f(x)＝x3，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當x∈[－1,1]時，f(x)＝x3，
當x∈(1,3)時，2－x∈(－1,1)，
f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C錯誤；
易知當x∈(0,2)時，f(x)>0，
∵f(x)的最小正周期是4，
∴f(x)>0的解集為(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正確．
三、填空題
13．[解析]　由題設(shè)條件可知，可由函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函數(shù)f(x)＝2x－2－xlg a是奇函數(shù)，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x－2－xlg a＋2－x－2xlg a＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lg a＝0，∴l(xiāng)g a＝1，∴a＝10.
14．[解析]　由于f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，所以f(x)的最大值為f(6)＝8，f(x)的最小值為f(3)＝－1，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
15．[解析]　因為f(x)是周期為3的函數(shù)，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.當－2≤x≤0時，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.
16．[解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期為4，
∴f(26)＝f(2)．
∵對 x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
17．[解析]　由已知可構(gòu)造y＝f(x)的示意圖象，
所以f(x)>0的解集為∪.
【B級　能力提升】
1．[解析]　因為x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因為f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－x2)＝f(x2)2．[解析]　因為f(x＋1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，即f(－x)＝f(2＋x)，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為4，故A錯誤，B正確；設(shè)g(x)＝f(x＋3)，則g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)為偶函數(shù)，C錯誤；設(shè)h(x)＝f(x＋5)，則h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)為偶函數(shù)，D正確，故選BD.
3．[解析]　因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，
所以f(x)在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，且f(－2)＝0，f(0)＝0，
所以當x∈(－∞，－2)∪(0,2)時，f(x)>0，
當x∈(－2,0)∪(2，＋∞)時，f(x)<0，
所以由xf(x－1)≥0可得
或或x＝0.
解得－1≤x≤0或1≤x≤3，
所以滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．故選D.
4．[解析]　因為f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故選A.
5．[解析]　解法一(定義法)：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
解法二(取特殊值檢驗法)：因為f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)，
所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，
解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，
所以a＝1.
解法三(轉(zhuǎn)化法)：由題意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域為R，且是偶函數(shù)．
設(shè)g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因為g(x)＝x3為奇函數(shù)，
所以h(x)＝a·2x－2－x為奇函數(shù)，
所以h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得a＝1，經(jīng)檢驗，f(x)＝x3(2x－2－x)為偶函數(shù)，
所以a＝1.
6．[解析]　(1)若函數(shù)f(x)＝是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，則f(－x)＝＝－f(x)＝－
解得b＝0，
又∵f＝.
∴＝，
解得a＝1，
故f(x)＝.
(2)證明：任取區(qū)間(－1,1)上的兩個實數(shù)m，n，且m則f(m)－f(n)＝－＝.
∵m2＋1>0，n2＋1>0，m－n<0,1－mn>0，
∴f(m)－f(n)<0，
即f(m)∴f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．
7．[解析]　(1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．
又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)＝0.
當x∈[－1,0)時，
即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.
故x∈[－1,0]時，f(x)＝－.
當x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－.
從而，x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)＝－.

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