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廈門2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考
高一數(shù)學(xué)試卷
（答卷時間：120分鐘 卷面總分：150分）
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求．
1．設(shè)全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．若命題，則命題的否定為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命題，若命題是命題的充分不必要條件，則命題可以為（ ）
A． B． C． D．
4．下列幕函數(shù)滿足：“①；②當(dāng)時，為單調(diào)通增”的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖像是（ ）
A． B． C． D．
6．已知且，則的最小值是（ ）
A． B． 25 C．5 D．
7．已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域都是，它們在上的圖象如圖所示，則使關(guān)于的不等式成立的的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，則與之間的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．無法比較
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得部分分．
9．下列函數(shù)中，與不是同一函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
10．若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．設(shè)，用符號表示不大于的最大整數(shù)，如．若函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A． B．函數(shù)的值域是
C．若，則 D．方程有2個不同的實(shí)數(shù)根
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填寫在答題卷相應(yīng)位置上．
12．計(jì)算________．
13．“不等式對一切實(shí)數(shù)都成立”，則的取值范圍為________．
14．某學(xué)校高一年級一班48名同學(xué)全部參加語文和英語書面表達(dá)寫作比賽，根據(jù)作品質(zhì)量評定為優(yōu)秀和合格兩個等級，結(jié)果如表所示：若在兩項(xiàng)比賽中都評定為合格的學(xué)生最多為10人，則在兩項(xiàng)比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為________人．
優(yōu)秀 合格 合計(jì)
語文 20 28 48
英語 30 18 48
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知集合，集合．
（1）當(dāng)時，求，．
（2）若，求的取值范圍．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性并用定義加以證明；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義加以證明．
17．（15分）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)圖像關(guān)于對稱，求不等式的解集；
（2）若當(dāng)時函數(shù)的最小值為2，求當(dāng)時，函數(shù)的最大值．
18．（17分）某游戲廠商對新出品的一款游戲設(shè)定了“防沉迷系統(tǒng)”規(guī)則如下
①3小時內(nèi)（含3小時）為健康時間，玩家在這段時間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗(yàn)值（單位：EXP）與游玩時間（單位：小時）滴足關(guān)系式：；
②3到5小時（含5小時）為疲勞時間，玩家在這段時間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為0（即累積經(jīng)驗(yàn)值不變）；
③超過5小時為不健康時間，累積經(jīng)驗(yàn)值開始損失，損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時國成正比例關(guān)系，正比例系數(shù)為50．
（1）當(dāng)時，寫出累積經(jīng)驗(yàn)值與游玩時間的函數(shù)關(guān)系式，求出游玩6小時的累積經(jīng)驗(yàn)值；
（2）該游戲廠商把累積經(jīng)驗(yàn)值與游現(xiàn)時間的比值稱為“玩家愉悅指數(shù)”，記為，若，且該游戲廠商希望在健康時間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于24，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（17分）《見微知著》談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．
例如，已知，求證：．
證明：原式．
波利亞在《怎樣解題》中也指出：“當(dāng)你找到第一個蘑菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長．”類似上述問題，我們有更多的式子滿足以上特征．
請根據(jù)上述材料解答下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）若，解方程；
（3）若正數(shù)滿足，求的最小值．
高一數(shù)學(xué)期中考參考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A D C B D A A B ABD BD ACD
12． 13． 14．12
15．解：（1）由題設(shè)，則，
，則，
（2）由，
若時，，滿足；
若時，；
綜上，．
16．解：（1）是奇函數(shù)，證明如下：由已知得的定義域是，
則，都有，
且，
所以是定義域在上的奇函數(shù)．
（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：，且，都有
∵，∴，∵，∴∴，
即，所以在上單調(diào)遞減
17．解：（1）因?yàn)閳D像關(guān)于對稱，所以：，
所以：
得：，即，解得或
所以，原不等式的解集為：
（2）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，圖像拋物線開口向上，對稱軸為，
①若，則在上是增函數(shù)
所以：，解得：；
所以：，
②若，則在上是減函數(shù)，
所以：，解得：（舍）；
③若，則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
所以，解得：或（舍），
所以：
綜上，當(dāng)時，的最大值為11；當(dāng)時，最大值為6．
18．解：（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以，當(dāng)時，．
（2）當(dāng)時，，
整理得：恒成立，令函數(shù)的對稱軸是，
當(dāng)時，取得最小值，即，
19．解：（1）．
（2）∵，∴原方程可化為：，即：
，∴，即，解得：．
（3）
∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
∴有最小值，此時有最大值，從而有最小值，即有最小值．

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