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2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.6-對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)
【A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)＝( )
A．0 B．1
C．9 D．13
2．函數(shù)f(x)＝＋lg(5－3x)的定義域是( )
A. B．
C. D．
3．函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
4．若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是( )
5．設(shè)a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)C．c6．中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日在北京召開，這次會(huì)議是我們黨帶領(lǐng)全國(guó)人民全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，向第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍新征程的重要時(shí)刻召開的一次十分重要的代表大會(huì)，相信中國(guó)共產(chǎn)黨一定會(huì)繼續(xù)帶領(lǐng)中國(guó)人民實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步．假設(shè)在2022年以后，我國(guó)每年的GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)比上一年平均增加8%，那么最有可能實(shí)現(xiàn)GDP翻兩番的目標(biāo)的年份為(參考數(shù)據(jù)：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．2 032 B．2 035
C．2 038 D．2 040
7．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝2x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，g(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝f(x)－x，則g(－8)等于( )
A．－5 B．－6
C．5 D．6
8．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|,0f(b)，則( )
A．a(chǎn)b>1 B．0C．a(chǎn)b＝1 D．(a－1)(b－1)>0
二、多選題
9．下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是( )
A．2log10＋log0.25＝2
B．log427×log258×log95＝
C．lg 2＋lg 50＝10
D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－
10．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．已知0A.a>b B．a(chǎn)>b
C．loga>logb D．loga>logb
12．關(guān)于函數(shù)f(x)＝ln ，下列說法中正確的有( )
A．f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．f(x)為奇函數(shù)
C．f(x)在定義域上是增函數(shù)
D．對(duì)任意x1，x2∈(－1,1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f
三、填空題
13．若a＝(a>0)，則loga＝________.
14．f(x)＝(loga)x在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
15．已知函數(shù)f(x)＝ln＋sin x＋1，則f＋f＝_________.
16．函數(shù)f(x)＝log2·log(2x)的最小值為________.
四、解答題
17．已知函數(shù)f(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，其中a>0且a≠1.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；
(3)若f＝2，求使f(x)>0成立的x的集合．
18．已知函數(shù)f(x)＝log3(9x＋1)－x.
(1)證明：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；
(2)若f(m)>f(2－m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【B級(jí)　能力提升】
1．已知lg a＋lg b＝0，則函數(shù)f(x)＝a－x與函數(shù)g(x)＝logbx的圖象可能是( )
2．(多選題)若10a＝4,10b＝25，則( )
A．a(chǎn)＋b＝2 B．b－a＝1
C．a(chǎn)b>8lg22 D．b－a>lg 6
3．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a
C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b
4．若函數(shù)f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．
5．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，則( )
A．f(x)在(2,6)上單調(diào)遞減
B．f(x)在(2,6)上的最大值為2ln 2
C．f(x)在(2,6)上無最小值
D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對(duì)稱
6．已知函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，則實(shí)數(shù)a＝ 　；若函數(shù)g(x)＝ax＋m－3的圖象不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.
7．已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
8．已知函數(shù)f(x)＝a(log2x)2－2alog2x＋b－1(a>0)在區(qū)間[4,8]上的最大值為2，最小值為－1.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)若對(duì)任意的x∈[1,4]，f(x)≤klog2x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
參考答案
【A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固】
一、單選題
1．( D )[解析]　原式＝(log253＋log2252＋log235)·(log52＋log5222＋log5323)＝·(log52＋log52＋log52)＝log25×3log52＝13.故選D.
2．( C )[解析]　函數(shù)f(x)＝＋lg(5－3x)的定義域是，即.
3．( D )[解析]　函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(2，＋∞)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)是由y＝logt與t＝g(x)＝x2－4復(fù)合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．選D.
4．( B )[解析]　由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，所以a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B.
5．( A )[解析]　因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以log30.520＝1.綜上可知，a6．( D )[解析]　由題意，建立方程，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，可得答案．設(shè)2022年我國(guó)GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)為a，在2022年以后，每年的GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)比上一年平均增加8%，則經(jīng)過n年以后的GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)為a(1＋8%)n，由題意，經(jīng)過n年以后的GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則a(1＋8%)n＝4a，lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，則n＝＝＝＝＝＝＝≈18，故到2040年GDP基本實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)．故選D.
7．( C )[解析]　由已知，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝2x互為反函數(shù)，則f(x)＝log2x.由題設(shè)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝log2x－x，則g(8)＝log28－8＝3－8＝－5.因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，所以g(－8)＝－g(8)＝5.
8．( B )[解析]　由題意得0f(b)得－lg a>lg b，∴l(xiāng)g a＋lg b＝lg(ab)<0，∴0二、多選題
9．( ABC )[解析]　對(duì)于A,2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log52＝－2，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，log427×log258×log95＝××＝＝，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－2＝－，D正確．故選ABC.
10．( BCD )[解析]　作出函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(011．( AC )[解析]　因?yàn)閍>b，b>b，所以a>b，故A正確；
因?yàn)閍logb，logb>logb，所以loga>logb，故C正確；
因?yàn)閘oga所以loga12．( BD )[解析]　函數(shù)f(x)＝ln ＝ln，
其定義域滿足(1－x)(1＋x)>0，解得－1∴定義域?yàn)閧x|－1由f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，是奇函數(shù)，∴B對(duì)．
函數(shù)y＝－1在定義域內(nèi)是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，
∴f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，C不對(duì)．
f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln
＝ln＝f，∴D對(duì)．
三、填空題
13．[解析]　∵a＝＝3(a>0)，∴a＝，
∴a＝4，∴l(xiāng)oga＝4.
14．[解析]　∵f(x)＝(loga)x在R上為減函數(shù)，
∴0∴15．[解析]　令g(x)＝ln＋sin x，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?－1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又g(－x)＝ln＋sin(－x)＝ln－1－sin x＝－ln－sin x＝－g(x)，
所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，所以g＋g＝0，
所以f＋f＝＋＝g＋g＋2＝2.
16．[解析]　依題意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，當(dāng)log2x＝－，即x＝時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為－.
四、解答題
17．[解析]　(1)要使函數(shù)有意義，則
解得－1即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)．
(3)若f＝2，
∴l(xiāng)oga－loga＝loga4＝2，
解得：a＝2，
∴f(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
若f(x)>0，則log2(x＋1)>log2(1－x)，
∴x＋1>1－x>0，
解得0故不等式的解集為(0,1)．
18．[解析]　(1)證明：由解析式知：函數(shù)定義域?yàn)镽，
f(－x)＝log3(9－x＋1)＋x＝log3(1＋9x)－log332x＋x＝log3(9x＋1)－x＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．
(2)由f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3，令t＝3x∈(0，＋∞)且遞增，
令v＝t＋，則t∈(0,1)上遞減，t∈(1，＋∞)上遞增，又y＝log3v遞增，
所以x∈(－∞，0)上f(x)遞減，x∈(0，＋∞)上f(x)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，
由f(m)>f(2－m)，可得|m|>|2－m|，即－|m|<2－m<|m|，
當(dāng)m<0時(shí)，m<2－m<－m無解；當(dāng)m>0時(shí)，－m<2－m1；
綜上，m>1.
【B級(jí)　能力提升】
1．( C )[解析]　由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.
∴f(x)＝a－x＝－x＝bx，
因此f(x)＝bx與g(x)＝logbx單調(diào)性相同．
A，B，D中的函數(shù)單調(diào)性相反，只有C的函數(shù)單調(diào)性相同．
2．( ACD )[解析]　由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，則a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正確；
b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6且lg <1，故B錯(cuò)誤，D正確；
ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正確．故選ACD.
3．( C )[解析]　∵a＝＝|－lg 4|＝lg 4，b＝＝|－lg 2|＝lg 2，c＝|lg 3|＝lg 3，且f(x)＝lg x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)g 4>lg 3>lg 2，即a>c>b.故選C.
4．( A )[解析]　令M＝x2＋x，當(dāng)x∈時(shí)，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝2－，因?yàn)镸的單調(diào)遞增區(qū)間為.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
5．( BCD )[解析]　f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，由得函數(shù)的定義域?yàn)?2,6)，令t＝(x－2)·(6－x)，因?yàn)槎魏瘮?shù)t＝(x－2)(6－x)＝－x2＋8x－12在(2,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x＝4時(shí)，t＝4，所以t＝(x－2)(6－x)∈(0,4]，又函數(shù)y＝ln t在t∈(0,4]上單調(diào)遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在(2,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閠∈(0,4]，所以y＝ln t∈(－∞，2ln 2]，即f(x)∈(－∞，2ln 2]，所以f(x)在(2,6)上的最大值為2ln 2，無最小值，故B、C正確；因?yàn)閒(4－x)＝ln(4－x－2)＋ln(6－4＋x)＝ln(2－x)＋ln(2＋x)，f(4＋x)＝ln(4＋x－2)＋ln(6－4－x)＝ln(2＋x)＋ln(2－x)，所以f(4－x)＝f(4＋x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，故D正確．
6．[解析]　當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上單調(diào)遞減，
∴無解；當(dāng)07．[解析]　(1)因?yàn)閒(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，即a＝－1，
此時(shí)f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減．
又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)．
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有解得a＝.故存在實(shí)數(shù)a＝，使f(x)的最小值為0.
8．[解析]　(1)令t＝log2x，x∈[4,8]，則t∈[2,3]，設(shè)m(t)＝at2－2at＋b－1(a>0)，
因?yàn)閍>0，m(t)圖象的對(duì)稱軸為直線t＝1，所以m(t)在[2,3]上單調(diào)遞增，
則即解得
所以實(shí)數(shù)a的值為1，b的值為0.
(2)由f(x)≤klog2x，得(log2x)2－2log2x－1≤klog2x，
令t＝log2x，x∈[1,4]，則t∈[0,2]，t2－2t－1≤kt，
當(dāng)t＝0時(shí)，－1≤0恒成立，即k∈R；
當(dāng)t∈(0,2]時(shí)，t2－2t－1≤kt k≥＝t－－2，
令g(t)＝t－－2，則只需k≥g(t)max，
由于y＝t，y＝－均在(0,2]上單調(diào)遞增，所以g(t)＝t－－2在(0,2]上單調(diào)遞增，
所以g(t)max＝g(2)＝2－－2＝－，所以k≥－.
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

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