資源簡介

2024-2025學年上學期高二年級第二次段考數(shù)學試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為（ ）.
A. B. C.1 D.1或
2.“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.經過原點和點且圓心在直線上的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直線過，并與兩坐標軸截得等腰三角形，那么直線的方程是（ ）.
A.或 B.或
C.或 D.或
5.在空間直角坐標系中，點，點是點關于軸的對稱點，則（ ）
A. B. C. D.
6.若動圓在軸與軸上截得的弦長總相等，則圓心的軌跡方程是（ ）
A. B. C. D.
7.設拋物線上一點到軸的距離為，點為圓任一點，則的最小值為（ ）
A. B.2 C.3 D.4
8.若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內心，連接并延長交于點，則）（ ）
A.2 B. C.4 D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知圓上到直線的距離等于1的點至少有2個，則實數(shù)的值可以為（ ）
A. B. C.0 D.2
10.已知直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，則的離心率可能是（ ）
A. B. C. D.
11.法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A.橢圓的蒙日圓方程為
B.若為正方形，則的邊長為
C.若是橢圓蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為18
D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，或
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.過點作圓的兩條切線，與圓相切于，，則直線的方程為________.
13.過拋物線的焦點作圓的兩條切線，切點分別為，，若為等邊三角形，則的值為________.
14.已知橢圓的左、右頂點分別為，，動點，均在橢圓上，是坐標原點，記和的斜率分別為，；與的面積分別為，.若，則的最大值為________.
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（本小題13分）
如圖所示，在四面體中，為的重心，，，分別為邊，和的中點，化簡下列各表達式.（用圖中給定的點表示）
（1）；
（2）.
16.（本小題15分）
已知，為坐標原點，是平面內的一個動點，且.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）若圓與只有一個公共點，求的值.
17.（本小題15分）
已知雙曲線的左、右焦點分別為，.
（1）該雙曲線虛軸的一個端點為，若直線與它的一條漸近線垂直，求雙曲線的離心率.
（2）若右支上存在點，滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍.
18.（本小題17分）
已知雙曲線的右焦點為，雙曲線與拋物線交于點.
（1）求，的方程：
（2）作直線與的兩支分別交于點，，使得，求證：直線過定點.
19.（本小題17分）
己知橢圓，離心率為，點在橢圓上.
（1）求的方程；
（2）過作互相垂直的兩條直線與，設交于，兩點，交于，兩點，，的中點分別為，，為原點.探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由.
2024-2025學年上學期高二年級第二次段考數(shù)學試題答案
1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】C
5.【答案】C 解：因為點是點關于軸的對稱點，所以，
所以.
6.【答案】D 解：設圓心的坐標為，由題意知，所以圓心的軌跡方程為.
7.【答案】C 【解答】解：拋物線焦點，圓的圓心為，半徑.設在準線上的射影為，，，，
，，
當且僅當，，，共線且依序排列時取等號，故的最小值為3.
8.【答案】A 解：如圖，連接，，
設到軸距離為，到軸距離為，則，設內切圓的半徑為，則，，
，不妨設，則，
，因為橢圓的離心率為，.
9.【答案】BCD 解：由圓的方程可知圓心為，半徑為2.因為圓上的點到直線的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以，，滿足題意.
10.【答案】BD 解：設，，則，從而，
故，由題意可得，，故，
又因為，則，從而，因為，所以，
橢圓的離心率，所以橢圓離心率范圍為，
11.【答案】ABD 解：對于，橢圓的四個頂點處的切線，恰好圍成長、寬分別為和的矩形，蒙日圓為此矩形的外接圓，半徑，故橢圓的蒙日圓方程為，故正確；
對于，由題意可知正方形是圓的內接正方形，
設正方形的邊長為，可得，解得，即正方形的邊長為，故正確；
對于，由題意可得，則為圓的一條直徑，則，
由勾股定理可得，
所以當且僅當時，等號成立，
因此，面積的最大值為9，故錯誤；對于，過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，當為直角時，點在橢圓的蒙日圓上，
即為直線與圓的交點，由，解得或，
即點的坐標為或，則直線（為坐標原點）的斜率為0或，故正確.
12.【答案】 解：圓的圓心為，半徑為1，，的中點為，，，，在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的方程為，即，
圓的一般方程為，兩圓方程相減得：，直線的方程為.
13.【答案】4 解：圓的圓心，半徑，由，切圓于點，，得，且平分，而為等邊三角形，即，于是，，則點，
又拋物線的焦點，所以，即.
14.【答案】 解：設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得：，
則，即，可得，又
，
所以，化簡可得：，，，因此，
故的最大值為.故答案為：.
15.【答案】解：（1）；
（2）.
16.【答案】（1）.
（2）解得或3
17.【答案】解：（1）設雙曲線的焦距為，
依題意由對稱性不妨設，，則直線的斜率；
直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，可知此漸近線斜率，，，而，，
，解得，又，所以；
（2）設，，
依題意，解得，由余弦定理得，因為，即，即，解得，故雙曲線的離心率的取值范圍為.
18.【答案】解：，的方程分別為，；
（2）證明：由于點，在雙曲線左右兩支上，則直線的斜率存在，設的方程為：，，，
由，消去得：，，
即，，，，，
即，
又，故，，由，得，
即，整理得：，
即，顯然不在直線上，即，于是，滿足，因此直線的方程為，即，恒過定點，所以直線過定點.
19.【答案】解：（1）由題意，解得，.則的方程；
（2）與面積之比為定值，定值為4，理由如下：
因為當直線斜率為0時，則為軸，可得的中點為原點，不存在，
所以直線，的斜率存在，且不為0，
設直線，，，
討論：①當，且時，聯(lián)立，
可得，
，則，
所以，
，
所以，
設，同理可得.
所以，（且）
所以直線，
即，
所以恒過定點；
（2）當時，不妨設直線；，
可發(fā)現(xiàn)軸，且過.
綜上，直線恒過點.
設點，到直線的距離分別是，，.
【解析】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，橢圓中的定點、定值問題，屬于難題.
（1）由，，求出，即可得；
（2）設直線，聯(lián)立橢圓的方程，，，進而求出直線，判斷恒過定點，利用點，到直線的距離分別是，，求解.

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