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南昌2024—2025學年度上學期期中考試
高一數學試卷
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的)
1、已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2、下列各組函數表示相同函數的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3、已知函數，則 （ ）
A． B．1 C． D．
4、滿足的集合的個數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5、命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
6、已知函數滿足對任意實數，都有成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7、下列命題:①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
其中真命題的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8、已知函數，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得2分，有選錯的得0分）
9、如圖所示某加油站地下圓柱體儲油罐示意圖，已知儲油罐長度為，截面半徑為（為常量），油面高度為，油面寬度為，儲油量為（為變量），則下列說法：①是的函數
②是的函數 ③是的函數 ④是的函數
其中正確的有（ ）
A．① B. ② C. ③ D. ④
10、已知，且，則（ ）
A．的最小值是9 B．ab的最大值是8
C．的最小值是16 D．的最小值是4
11、高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，如.設函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于軸對稱 B．的值域為
C． D．在上是增函數
填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在答題卡的相應位置上）
12、不等式的解集為 .
13、函數的值域為
14、定義，若函數，且在區間上的值域為，則的最大值為__________
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15、（本題滿分13分）
記全集，已知集合，．
(1)若，求； (2)若，求的取值范圍．
16.（本題滿分15分）
已知冪函數為偶函數.
(1)求的解析式；
(2) 若在區間上單調，求實數的取值范圍.
(3) 求不等式的解集；
17、（本題滿分15分）
已知定義在上的函數滿足：．
(1)求函數的表達式；
(2)若不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍．
18、（本題滿分17分）
已知定義在上的函數滿足，且當時，.
(1)求的值；
(2)求證:在上是增函數；
(3)若，解關于的不等式.
19、（本題滿分17分）
若函數的定義域為．集合，若存在非零實數使得任意都有，且，則稱為M上的增長函數．
(1)已知函數，函數，判斷和是否為區間上的增長函數，并說明理由：
(2)已知函數，且是區間上的增長函數，求正整數的最小值；
(3)如果的圖像關于原點對稱，當時，，且為R上的增長函數，求實數a的取值范圍．
南昌2024—2025學年度上學期期中考試
高一數學試卷
一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的)
1、已知集合，，則（ A ）
A． B． C． D．
2、下列各組函數表示相同函數的是( D )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3、已知函數，則 （ C ）
A． B．1 C． D．
4、滿足的集合的個數是（ A ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5、命題“，”為真命題的一個必要不充分條件是（ A ）
A． B． C． D．
6、已知函數滿足對任意實數，都有成立，則實數a的取值范圍是（B ）
A． B． C． D．
7、下列命題:①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
其中真命題的個數是（ A ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8、已知函數，且，則實數的取值范圍是（ B ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得2分，有選錯的得0分）
9、如圖所示某加油站地下圓柱體儲油罐示意圖，已知儲油罐長度為，截面半徑為（為常量），油面高度為，油面寬度為，儲油量為（為變量），則下列說法：①是的函數
②是的函數 ③是的函數 ④是的函數
其中正確的有（ AD ）
A．① B. ② C. ③ D. ④
10、已知，且，則（AD ）
A．的最小值是9 B．ab的最大值是8
C．的最小值是16 D．的最小值是4
【詳解】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，則A正確.
因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，則B錯誤.
因為，當且僅當時，等號成立，而，當且僅當取等號，所以等號不能同時取到，所以，則C錯誤.
因為，所以，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，則D正確.
故選：AD
11、高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，如.設函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于軸對稱 B．的值域為
C． D．在上是增函數
【答案】BCD
【分析】根據的定義，結合的解析式，作出函數圖象，即可結合選項逐一進行判斷即可．
【詳解】因為，
畫出的圖象如下：
A選項，可以看出此函數不是偶函數，不關于軸對稱，A錯誤；
B選項，正確
C選項，因為，
故，
，
因為，
所以，故，C正確；
D選項，正確
故選：BCD
填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在答題卡的相應位置上）
12、不等式的解集為 .
【詳解】有已知得，，，,
即且，則不等式的解集為，
故答案為：.
13、函數的值域為 (－∞,1]
14、定義，若函數，且在區間上的值域為，則的最大值為___________
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15、（本題滿分13分）
記全集，已知集合，．
(1)若，求； (2)若，求的取值范圍．
【詳解】（1）由，得， ．
（2）依題意，或，
因為，所以解得，故的取值范圍為．
16.（本題滿分15分）
已知冪函數為偶函數.
(1)求的解析式；
(2) 若在區間上單調，求實數的取值范圍.
(3) 求不等式的解集；
【詳解】（1）由為冪函數，得，解得或，
時，為奇函數，舍去；時，為偶函數，符合題意，
所以.
（2）函數在上單調，則有，解得，
所以實數的取值范圍是.
（3）
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
17、（本題滿分15分）
已知定義在上的函數滿足：．
(1)求函數的表達式；
(2)若不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍．
【詳解】（1）將的替換為得，
聯立
解得
（2）不等式為，化簡得，
要使其在上恒成立，則，
，
當且僅當取等，所以．
18、（本題滿分17分）
已知定義在上的函數滿足，且當時，.
(1)求的值；
(2)求證:在上是增函數；
(3)若，解關于的不等式.
【詳解】（1）令，得.
（2）證明：在R上任取，則，所以.
又，
所以函數在R上是增函數.
（3）由，得，.
由得.
因為函數在R上是增函數，
所以，解得或.
故原不等式的解集為或.
19、（本題滿分17分）
若函數的定義域為．集合，若存在非零實數使得任意都有，且，則稱為M上的增長函數．
(1)已知函數，函數，判斷和是否為區間上的增長函數，并說明理由：
(2)已知函數，且是區間上的增長函數，求正整數的最小值；
(3)如果的圖像關于原點對稱，當時，，且為R上的增長函數，求實數a的取值范圍．
【詳解】（1）是：因為，，；
不是，反例：當時，．
（2）由題意得，對于恒成立，
等價于，即對恒成立，
令，因為，所以是區間上單調遞增的一次函數，
要保證對恒成立，則，
即， 解得，
所以滿足題意的最小正整數為9．
（3）根據題意， 當時，，當時，，
因為的圖像關于原點對稱，所以可作出其函數圖象，如下圖所示：

所以，
若是R上的增長函數，則對任意的，都有，
因為是將向左平移四個單位得到，如下圖所示，

所以，解得，
所以實數a的取值范圍為.

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