資源簡介

江蘇鎮江市2024-2025學年高一（上）數學第9周階段性訓練模擬練習
一．選擇題（共10小題）
1．已知冪函數在（0，+∞）上遞增，則m＝（　　）
A．2 B．4 C．﹣1 D．2或﹣1
2．若x+x﹣1＝3，則＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知函數f（x+2）的定義域為（﹣1，3），則f（x）的定義域為（　　）
A．（﹣1，1） B．（1，5） C．（﹣3，1） D．（0，2）
4．設a＝（，，，則a，b，c的大小關系是（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．已知偶函數f（x）在區間[0，+∞）單調遞增，則滿足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范圍是（　　）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
6．已知函數f（x）的定義域為R，且，f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y），則f（3）的值是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知函數f（x）＝，若f（f（0））＝﹣2，實數a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函數f（x）＝滿足對任意實數x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，則實數a的取值范圍是（　　）
A．[﹣2，2] B．
C． D．
9．已知函數f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），則＝（　　）
A．0 B． C．0或 D．
10．設函數f（x）＝，則滿足f（x）+f（x+）＞2的實數x的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，0） B． C． D．
二．多選題（共5小題）
（多選）11．關于函數，下列結論中正確的是（　　）
A．當a＝0時，f（x）是增函數
B．當a＝0時，f（x）的值域為（﹣1，+∞）
C．當a＝1時，f（x）是奇函數
D．若f（x）的定義域為R，則a＜2
（多選）12．已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），則下列說法正確的是（　　）
A．b+c＞0
B．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為
C．的最小值是4
D．當c＝2時，若f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，則n2﹣n1∈[2，4]
（多選）13．已知函數是R上的減函數，則實數a的值可以是（　　）
A．1 B． C． D．2
（多選）14．設f（x）＝|3x﹣1|，c＜b＜a，且f（c）＞f（a）＞f（b）則下列關系式一定不成立的是（　　）
A．3c≤3b B．3c＞3b C．3c+3b＞2 D．3c+3b＜2
（多選）15．已知函數是定義域為R的奇函數，則下列選項中正確的是（　　）
A．實數k＝±1
B．函數f（x）在定義域R上單調遞減
C．函數f（x）的值域為（﹣1，1）
D．若g（x）＝f（2x）+1，則對任意實數a，有g（a）+g（﹣a）＝2
三．填空題（共6小題）
16．已知函數f（x）＝x2+2和函數g（x）＝﹣x﹣a，若對任意的x1∈[2，4]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＜f（x1）成立，則實數a的取值范圍是 　 　．
17．如果函數f（x）＝x2﹣2ax+2在區間[3，+∞）上是增函數，則a的取值范圍為　 　．
18．設定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x）＝x2﹣4（x＞0），則f（x）＞0的解集為 　 　．
19．若關于x的不等式9x﹣2 3x﹣3＞k在區間[﹣1，2]上恒成立，則k的取值范圍為 　 　．
20．若關于x的不等式x2﹣2x﹣1+m≤0在區間[0，3]內有解，則實數m的取值范圍 　 　．
21．若函數f（x）同時滿足①函數f（x）為增函數，②f（x+y）＝f（x）f（y）．請寫出一個符合條件的函數f（x）＝　 　；若命題“ x＞0，關于x的不等式f（x）+2x+a＜0成立”為假命題，則實數a的取值范圍是 　 　．
四．解答題（共7小題）
22．（1）解關于x的不等式x2﹣（m+1）x+m＜0．
（2）若對任意的x∈[1，2]，x2﹣（m+1）x+m≤0恒成立，求實數m的取值范圍．
23．設y＝mx2+（1﹣m）x+m﹣2．
（1）若不等式y＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），求m的值；
（2）若不等式y≥﹣2對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．
24．已知冪函數f（x）＝（m2+3m﹣9）xm﹣1在（0，+∞）上是減函數，m∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求實數a的取值范圍．
25．已知函數是奇函數．
（1）求b的值；
（2）證明f（x）在R上為減函數；
（3）若不等式f（t2+2t）+f（3t2﹣6）＜0成立，求實數t的取值范圍．
26．設函數f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＞0，求不等式f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0的解集；（其中單調性只需判斷）；
（3）若，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣4f（x）﹣m≥0在[1，+∞）上恒成立，求m的最大值．
27．已知函數f（x）＝ax2﹣2ax+b+2（a＞0）在區間[0，1]上的最大值比最小值大3，且f（1）＝0．
（1）求a，b的值；
（2）當時，函數y＝f（x）的圖象恒在函數y＝mx2+1的圖象下方，求實數m的取值范圍．
28．設f（x）是定義在R上的函數，且對任意實數x，有f（1﹣x）＝x2﹣3x+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）＝|f（x）﹣ax+3|在[1，3]上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【解答】解：∵冪函數 在（0，+∞）上單調遞增，
∴m2﹣m﹣1＝1①，且m2﹣2m﹣2＞0②．
由①求得m＝﹣1或m＝2；
由②求得m 或m＜1﹣，
綜合可得m＝﹣1，
故選：C．
2．【解答】解：將x+x﹣1＝3兩邊平方，得x2+x﹣2+2＝9，即x2+x﹣2＝7，
所以．
故選：A．
3．【解答】解：對于函數f（x+2）：因為x∈（﹣1，3），則x+2∈（1，5），
所以f（x）的定義域為（1，5）．
故選：B．
4．【解答】解：∵在x＞0時是增函數
∴a＞c
又∵在x＞0時是減函數，所以c＞b
故選：A．
5．【解答】解：∵偶函數f（x）是定義在區間[0，+∞）上的增函數，
則由f（2x﹣1）＜f（），
∴﹣＜2x﹣1＜，解得 ＜x＜，
故選：A．
6．【解答】解：f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中令x＝y＝0，則f（0）＝0，
f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中令x＝1，y＝﹣1，則f（1）+f（﹣1）﹣2＝f（0）＝0，
又中令x＝﹣1，則f（﹣1）＝0，所以f（1）＝2，
f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中，令x＝y＝1，則f（2）＝2f（1）+2＝6，
再令x＝1，y＝2，則f（3）＝f（1）+f（2）+4＝2+6+4＝12．
故選：D．
7．【解答】解：f（x）＝，
則f（0）＝1，
故f（f（0））＝f（1）＝1﹣a＝﹣2，解得a＝3．
故選：B．
8．【解答】解：∵函數f（x）＝滿足對任意實數x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴，解得﹣，
即實數a的取值范圍是[﹣，]．
故選：B．
9．【解答】解：函數f（x）＝，
若f（a）＝f（a+2），而a、a+2不會同在區間（0，2）上，
同時，當x≥2時，f（x）＝2x（x﹣2），是增函數，
則必有a＜2≤a+2，即0≤a＜2，
故f（a）＝（a﹣1）2，f（a+2）＝2（a+2﹣2）＝2a，
則有（a﹣1）2＝2a，解可得：a＝2﹣或a＝2+，
又由0≤a＜2，則a＝2﹣，
故f（a+）＝f（2）＝2（2﹣2）＝0．
故選：A．
10．【解答】解：當x＜﹣時，x+＜0，
∴f（x）+f（x+）＝（）x+（＞＝+1＞2，
∴x，
當﹣x＜0時，x+≥0，
∴f（x）+f（x+）＝（）x+[﹣2（x+）+2]＝（）x﹣2x+1＞﹣0+1＝2，
∴﹣x＜0，
當x≥0時，x+＞0，
∴f（x）+f（x+）＝﹣2x+2﹣2（x+）+2＝﹣4x+3＞2，
解得x，
∴0，
綜上所述，滿足f（x）+f（x+）＞2的實數x的取值范圍是（﹣∞，）．
故選：C．
二．多選題（共5小題）
11．【解答】解：∵函數，
∴當a＝0時，＝1﹣為R上的增函數，且當x→﹣∞時，f（x）→﹣1，當x→+∞時，f（x）→1，即f（x）∈（﹣1，1），故A正確，B錯誤；
當a＝1時，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函數，故C正確；
若f（x）的定義域為R，則4x+1﹣a 2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a 2x＜0恒成立，②
解①得：a＜2x+恒成立，
∵2x+≥2＝2，當且僅當2x＝，即x＝0時取等號，
∴a＜2；
解②得：a＞2x+恒成立，由于當x→+∞時，2x+→+∞，故a不存在；
綜上所述，若f（x）的定義域為R，則a＜2，故D正確；
故選：ACD．
12．【解答】解：由題意可知：﹣2，3是關于x的方程ax2+bx+c＝0的二根，且a＜0，
則，可得b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0．
對于選項A：b+c＝﹣7a＞0，故A正確；
對于選項B：不等式cx2﹣bx+a＜0化為：﹣6ax2+ax+a＜0，
由a＜0可得6x2﹣x﹣1＜0，解得，
所以不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為，故B錯誤；
對于選項C：因為b＞0，b＝﹣a，
可得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值是4，故C正確；
對于選項D：當c＝2時，，
則f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
當x＝1時，f（x）取到最大值f（1）＝1，
因為n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得，x＝﹣1或x＝3，
因f（x）在[n1，n2]上的最小值為﹣3，
從而得n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，
因此2≤n2﹣n1≤4，故D正確．
故選：ACD．
13．【解答】解：由題意可知：在（2，+∞）上單調遞減，即a＞0，
在（﹣∞，2]上也單調遞減，即a﹣2＜0，
又f（x）是R上的減函數，則，
所以，解得1≤a＜2，
故選：ABC．
14．【解答】解：作出f（x）＝|3x﹣1|的圖象如下：
由c＜b＜a，得3c＜3b，所以選項A成立，選項B一定不成立；
又由f（c）＞f（a）＞f（b）可知，a，b，c不在同一單調區間上，且c＜0，a＞0，
所以3c＜1，3a＞1，因為f（c）﹣f（b）＞0，
當b＜0時，f（c）﹣f（b）＝（1﹣3c）﹣（1﹣3b）＝3b﹣3c＞0，
當b＞0時，f（c）﹣f（b）＝（1﹣3c）﹣（3b﹣1）＝2﹣3b﹣3c＞0，所以3c+3b＜2，此時選項D正確，選項C一定不成立．
故選：BC．
15．【解答】解：因為函數是定義域為R的奇函數，
所以f（0）＝＝0，
所以k＝1，A錯誤；
因為f（x）＝＝﹣1+在定義域R上單調遞減，B正確；
因為1+3x＞1，
所以0＜，
所以﹣1＜f（x）＜1，C正確；
若g（x）＝f（2x）+1＝，則對任意實數a，有g（a）+g（﹣a）＝+＝+＝2，D正確．
故選：BCD．
三．填空題（共6小題）
16．【解答】解：若對任意的x1∈[2，4]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＜f（x1）成立，
則f（x1）min＞g（x2）min，
∵函數f（x）＝x2+2在x1∈[2，4]上單調遞增，∴f（x1）min＝f（2）＝6，
∵函數g（x）＝﹣x﹣a在x2∈[0，1]上單調遞減，∴f（x2）min＝f（1）＝﹣1﹣a，
則6＞﹣1﹣a，
解得a＞﹣7，
則實數a的取值范圍是（﹣7，+∞）．
故答案為：（﹣7，+∞）．
17．【解答】解：∵函數f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2在區間[3，+∞）上是增函數，
∴a≤3．
故a的取值范圍是（﹣∞，3]．
故答案為（﹣∞，3]．
18．【解答】解：根據題意，分3種情況討論：
①當x＞0時，則f（x）＝x2﹣4，
令f（x）＞0，解得x＞2；
②當x＝0時，則f（0）＝0，不合題意；
③當x＜0時，則f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣4]＝﹣x2+4，
令f（x）＞0，解得﹣2＜x＜0；
綜上所述：f（x）＞0的解集為（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案為：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
19．【解答】解：令t＝3x，由題可得不等式t2﹣2t﹣3＞k在區間上恒成立，
所以k＜（t2﹣2t﹣3）min，
令y＝t2﹣2t﹣3＝（t﹣1）2﹣4，則ymin＝﹣4，
所以k＜﹣4．
故答案為：（﹣∞，﹣4）．
20．【解答】解：∵不等式x2﹣2x﹣1+m≤0在區間[0，3]內有解，
∴不等式m≤﹣x2+2x+1在區間[0，3]內有解，
設f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，3]，
對稱軸為x＝1，
∴當x＝1時，f（x）max＝f（1）＝2，
∴m≤2，
即實數m的取值范圍為（﹣∞，2]．
故答案為：（﹣∞，2]．
21．【解答】解：第一個空：由性質②f（x+y）＝f（x）f（y），可知符合條件的函數可以為指數函數y＝ax（a＞0且a≠1）．
由性質①函數f（x）為增函數，可知a＞1，
故同時滿足①②的函數可以為y＝2x（答案不唯一）；
第二個空：若命題“ x＞0，關于x的不等式f（x）+2x+a＜0成立”為假命題，
則命題“ x＞0，關于x的不等式f（x）+2x+a≥0恒成立”為真命題，
即a≥﹣2x﹣2x對 x＞0恒成立，
因為y＝﹣2x﹣2x為減函數，所以y＝﹣2x﹣2x＜20﹣2×0＝﹣1，
所以a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：2x；[1，+∞）（答案不唯一）．
四．解答題（共7小題）
22．【解答】解：（1）不等式x2﹣（m+1）x+m＜0化為：（x﹣m）（x﹣1）＜0，
當m＜1時，解得m＜x＜1；
當m＝0時，不等式無解；
當m＞1時，解得1＜x＜m，
所以當m＜1時，原不等式的解集為（m，1）；
當m＝0時，原不等式的解集為 ；
當m＞1時，原不等式的解集為（1，m）．
（2）當x＝1時，x2﹣（m+1）x+m≤0恒成立，則m∈R，
當x∈（1，2]時，不等式x2﹣（m+1）x+m≤0 m（x﹣1）≥x（x﹣1） m≥x，
依題意， x∈（1，2]，m≥x，而x最大值為2，因此m≥2，
所以實數m的取值范圍是[2，+∞）．
23．【解答】解：（1）由題意，不等式mx2+（1﹣m）x+m﹣2＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
所以﹣1，1是關于x的方程mx2+（1﹣m）x+m﹣2＝0的兩實數根，且m＞0，
則，解得m＝1．
（2）由y＝mx2+（1﹣m）x+m﹣2≥﹣2對一切實數x恒成立，
即mx2+（1﹣m）x+m≥0對一切實數x恒成立，
當m＝0時，x≥0，不滿足題意，
當m≠0時，則滿足，
解得
綜上所述，實數m的取值范圍是．
24．【解答】解：（1）由冪函數的定義可知，m2+3m﹣9＝1，解得m＝﹣5或2，
當m＝2時，f（x）＝x在（0，+∞）上是增函數，不符合題意，
當m＝﹣5時，f（x）＝x﹣6在（0，+∞）上是減函數，符合題意，
故f（x）＝x﹣6；
（2）由（1）可知，m＝﹣5，
則，
故，解得1＜a＜2，
故實數a的取值范圍為（1，2）．
25．【解答】解：（1）∵f（x）的定義域為R，
又∵f（x）為奇函數，∴由f（0）＝0得b＝1，
此時，
∴為奇函數，
所以b＝1．
（2）證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則，
∵x1＜x2，∴，
∴，
又∵，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）為R上的減函數；
（3）∵f（x）為奇函數，
∴f（t2+2t）+f（3t2﹣6）＜0，
可化為f（t2+2t）＜f（6﹣3t2），
又由（2）知f（x）為減函數，所以t2+2t＞6﹣3t2，
∴{t|或t＞1}．
26．【解答】解：（1）∵，又a＞0且a≠1，所以a＞1，
∵y＝ex單調遞增，y＝e﹣x單調遞減，故f（x）＝ex﹣e﹣x在R上單調遞增．
又∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x）且x∈R，
∴f（x）是R上的奇函數，
由f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0，
得f（﹣x2+7）＜f（5﹣x），
∴﹣x2+7＜5﹣x，
∴解得x＞2或x＜﹣1，
故得不等式f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
（3）由，解得（舍）或a＝2，
則f（x）＝2x﹣2﹣x，
∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）﹣m＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）﹣m+2
令t＝2x﹣2﹣x，
∵x∈[1，+∞），
∴
g（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即t2﹣4t﹣m+2≥0在上恒成立，
即m≤t2﹣4t+2在上恒成立，
而t2﹣4t+2＝（t﹣2）2﹣2≥﹣2，
∴m≤﹣2，
故得m的最大值為﹣2．
27．【解答】解：（1）因為f（x）＝ax2﹣2ax+b+2＝a（x﹣1）2﹣a+b+2，（a＞0），
開口向上，對稱軸x＝1，
所以函數在[0，1]上單調遞減，所以f（x）min＝f（1）＝﹣a+b+2，f（x）max＝f（0）＝b+2，
由題意可得f（0）﹣f（3）＝3，即a＝3，
所以f（1）＝﹣a+b+2＝b﹣1＝0，可得b＝1，
即a＝3，b＝1；
（2）由題意可得f（x）＝3x2﹣6x+3＜mx2+1在[，2]上恒成立，
即m＞[2 （）2﹣6 +3]max在[，2]上恒成立，
設t＝∈[，3]，
設h（t）＝2t2﹣6t+3，t∈[，3]，開口向上，對稱軸t＝，
所以t∈[，3]，函數h（t）先減后增，因為|3﹣|＞|﹣|，
所以hmax（t）＝h（3）＝2×32﹣6×3+3＝3，
所以m＞3．
所以m的取值范圍為（3，+∞）．
28．【解答】解：（1）根據題意，f（1﹣x）＝x2﹣3x+3，
令1﹣x＝t，則x＝1﹣t，
得f（t）＝（1﹣t）2﹣3（1﹣t）+3，
化簡得f（t）＝t2+t+1，
即f（x）＝x2+x+1，x∈R；
（2）根據題意，由（1）的結論，g（x）＝|x2+（1﹣a）x+4|，
設h（x）＝f（x）﹣ax+3＝x2+（1﹣a）x+4，
分2種情況討論：
①當Δ＝（1﹣a）2﹣16≤0，即﹣3≤a≤5時，
有h（x）＝x2+（1﹣a）x+4≥0恒成立，
此時必有≥1成立，解可得a≥3，
又由﹣3≤a≤5，則有﹣3≤a≤3，
故此時a的取值范圍為[﹣3，3]；
②當Δ＝（1﹣a）2﹣16＞0，即a＞5或a＜﹣3時，
此時有或，
解可得：a≥7或a＜﹣3
故此時a的取值范圍為（﹣∞，﹣3）∪[7，+∞）．
綜合可得：a的取值范圍為（﹣∞，3]∪[7，+∞）．

展開更多......

收起↑