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第一章 三角函數 單元測試
一、單選題
1．若，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數有且僅有3個零點，則正數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．在直角坐標系中，若點從點出發，沿圓心在原點，半徑為3的圓按逆時針方向運動到達點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．若函數（，）的最小正周期為，且.給出下列判斷：
①若，則函數的圖象關于直線對稱
②若在區間上單調遞增，則的取值范圍是
③若在區間內沒有零點，則的取值范圍是
④若的圖象與直線在上有且僅有1個交點，則的取值范圍是
其中，判斷正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如圖所示的是函數的部分圖象，那么（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．將函數的圖象向右平移個單位長度后，再將圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象，則
A． B． C． D．
7．已知角的終邊過點，則（ ）
A． B． C． D．
8．設函數，，則是（　　）
A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的奇函數
C．最小正周期為的偶函數 D．最小正周期為的奇函數
二、多選題
9．函數的部分圖象如圖所示，則（ ）

A． B．
C． D．函數的對稱軸是
10．將函數的圖象向左平移個單位長度后，函數圖像關于y軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．可能等于3 B．的周期可以是
C．一定為奇函數 D．在上單調遞減
11．已知函數，，則下列結論正確的是（ ）
A．與的圖象有相同的對稱軸
B．與的值域相同
C．與有相同的零點
D．與的最小正周期相同
三、填空題
12．已知函數，在上恰有一個最大值和一個最小值，則的最小值為 .
13．直線是函數圖象的一條對稱軸，給出的一個可能的值為
14．已知關于的不等式在內恒成立，則實數的取值范圍是 ．
四、解答題
15．化簡：.
16．已知．
(1)化簡；
(2)若，求的值．
17．求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，求.
18．（1）求值：
（2）化簡：
（3）已知，若，求的值；
19．設，
(1)化簡；
(2)求.
參考答案
1．A
【分析】根據三角函數單調性可得，結合指數函數、對數函數單調性分析判斷.
【詳解】因為，則，，，
即，
則，，，
即，所以.
故選：A.
2．B
【分析】利用二次函數與正弦函數的圖象結合分段函數的性質計算即可.
【詳解】對于，易知，且拋物線開口向下，
則必有一個負根，
所以有且只有兩個零點，
易知，則.
故選：B
【點睛】方法點睛：二次函數根的分布需要注意開口方向，判別式及根與系數的關系，本題從以上三個角度可確定函數有一個負零點，而含參三角函數通常利用整體代換的方法結合三角函數圖象與性質來處理參數范圍.
3．C
【分析】根據題意作出示意圖，并利用三角形函數定義即可求得點的坐標.
【詳解】根據題意可知，作出圖示如下：
根據題意可得，，作軸且垂足為；
利用三角函數定義可得，；
又點在第四象限，所以點的坐標為.
故選：C
4．C
【分析】由題設可得，代入驗證法判斷①；由區間單調性及正弦函數性質有求參數范圍判斷②；由區間零點及正弦函數性質，討論、研究參數范圍判斷③；由題設，結合題設及正弦函數性質有求參數范圍判斷④.
【詳解】由，則，即，又，
所以，故，
當，則，故函數的圖象關于直線對稱，①對；
當，則，且在區間上單調遞增，
所以，可得，②對；
當，則，且在區間內沒有零點，
若，則，此時滿足題設；
若，則，故，可得且，
所以，可得；
綜上，的取值范圍是，③錯；
當，則，
又的圖象與直線在上有且僅有1個交點，故，
所以，即的取值范圍是，④對.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：根據已知求得，根據各項給定范圍求對應的范圍，結合正弦函數性質列不等式求參數范圍.
5．C
【分析】由題意，根據頂點坐標求出，由特殊點的坐標得出，由五點法作圖求出，可得答案．
【詳解】根據函數的部分圖象，可得，
當時得，則，
而根據圖象易得為銳角，則，
結合五點法作圖，可得，∴，故，
故選：C．
6．A
【分析】先按照三角函數圖象變換的方法得到的解析式，再進行求解.
【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度后，
得的圖象，
再將圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍，
得到圖象解析式為，
所以.
故選：A.
7．A
【分析】根據三角函數的定義及誘導公式求解.
【詳解】因為角的終邊過點，
所以，
所以.
故選：A
8．D
【分析】通過誘導公式，結合正弦函數的性質即可得結果.
【詳解】，所以，，
所以則是最小正周期為的奇函數，
故選：D.
9．ABC
【分析】由圖象求出函數的周期，即可得出A項；根據圖象得出函數的最小值點，然后即可得出的關系式，求解即可得出的值；根據誘導公式化簡即可得出C；根據余弦函數的性質，求出對稱軸，即可判斷D.
【詳解】對于A項，由圖象可知，，所以，所以，
所以，函數為，故A項正確；
對于B項，由圖象可知，函數在處取得最小值，
所以有，解得，
所以函數為，故B項正確；
對于C項，由AB可知，函數為，故C項正確；
對于D項，根據余弦函數的性質，由可得，，
所以函數的對稱軸為，故D項錯誤.
故選：ABC.
10．BC
【分析】根據已知條件平移后的圖像為偶函數，確定的取值，利用判斷A、B兩個選項；求出解析式，利用奇函數定義判斷函數的奇偶性進而判斷C選項；利用換元法令，利用函數的單調性，判斷的單調性進而判斷D選項.
【詳解】函數的圖象向左平移個單位得：
，因為圖像關于y軸對稱，
所以為偶函數，所以解得；
若，則，解得，因為，所以不成立，A錯誤；
若的周期可以是，則，解得，又因為，
即，解得符合，B正確；
，
因為，所以
，
令，，
所以，所以一定為奇函數，C正確；
令，則因為，則，所以化為
，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上不單調，D錯誤.
故選：BC
11．AD
【分析】根據題意分別畫出兩函數圖象，可求得它們的對稱軸、值域、零點、最小正周期等，即可得出結論.
【詳解】畫出函數的圖象如下圖所示：

易知的對稱軸為，值域為，零點為，最小正周期為；
易知，其圖象如下圖所示：

易知的對稱軸為，即，值域為，零點為，最小正周期為；
因此可得與的圖象有相同的對稱軸，它們的最小正周期相同.
故選：AD
12．
【分析】將相位視作一個整體，然后做出y=sinx的圖像，結合圖像列出不等式解出即可.
【詳解】結合函數圖象分析
，故得.
故答案為：.
13．
【分析】根據對稱軸的表達式，代入，求得即可.
【詳解】由題知，，，又
則，取
故答案為：
14．
【分析】分離參數后，求函數的最大值即可.
【詳解】由得，
設，因，所以，
則在上恒成立，
設，
則二次函數的對稱軸為，
因其開口向下，所以時函數單調遞增，
所以的最大值，
故，
故答案為：
15．
【分析】根據誘導公式以及同角的三角函數關系，化簡，即得答案.
【詳解】原式＝.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函數誘導公式即可化簡；
（2）利用三角函數誘導公式和特殊角三角函數值即可求得時的值．
【詳解】（1）
.
（2）時，.
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用三角函數誘導公式計算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4），∴.
18．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據指數冪和對數的運算法則直接計算即可.
（2）根據三角函數運算公式直接計算即可.
（3）計算得到答案.
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3），
，故.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據三角函數的誘導公式，即化簡得到的表達式；
（2）由（1）中的解析式，代入，即可求解的值.
【詳解】（1）
（2）

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