資源簡介

第一章 直線與圓 單元測試
一、單選題
1．若直線l斜率為k，向量在直線l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，則該直線的斜率k的值為（ ）
A．2 B．
C． D．
2．已知圓：與圓：關于直線對稱，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直線與圓：（）交于A，兩點，且線段關于圓心對稱，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．已知點，，，點是直線上的動點，若恒成立，則最小正整數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知定點和直線，則點到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．若點P在直線上，點Q在圓上，則線段PQ長度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．萊莫恩定理指出：過的三個頂點作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點，則三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標系中，若三角形的三個頂點坐標分別為，則該三角形的線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
8．直線l過點，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知直線與圓交于，兩點，點為線段的中點，且點的坐標為．當時，，則（ ）
A． B．的最小值為
C．存在點，使 D．存在，使
10．下列說法正確的是（ ）
A．已知直線過點，且在軸上截距等于軸上截距2倍，則直線的方程為
B．直線沒有傾斜角
C．，，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件
D．已知直線的斜率滿足，則它的傾斜角的取值范圍是或
11．已知直線l∶x+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2.
三、填空題
12．已知斜率均為負的直線與直線平行，則兩條直線之間的距離為 ．
13．已知圓和圓，M、N分別是圓C、D上的動點，P為x軸上的動點，則的最小值是 .
14．過點，且與直線垂直的直線方程是 ．
四、解答題
15．圓內有一點，AB為過點P且傾斜角為的弦．
(1)當時，求AB的長；
(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．
16．圓過、兩點，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)若直線在軸上的截距是軸上的截距的2倍，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．
17．已知動點與點的距離是它與原點的距離的2倍．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)求的最小值；
(3)經過原點的兩條互相垂直的直線分別與軌跡相交于，兩點和，兩點，求四邊形ACBD的面積的最大值．
參考答案
1．D
【分析】設出，求出向量在和方向上的投影的模，從而得到，求出直線斜率.
【詳解】設，
則向量在方向上的投影的模為，
向量在方向上的投影的模為，
則，
故該直線的斜率.
故選：D
2．C
【分析】根據兩點的坐標，求其中點坐標以及斜率，根據對稱軸與兩對稱點連接線段的關系，可得答案.
【詳解】由題意得，，則的中點的坐標為，
直線的斜率.
由圓與圓關于對稱，得的斜率.
因為的中點在上，所以，即.
故選：C.
3．D
【分析】先求得圓心的坐標，進而列出關于的方程，解之即可求得的值.
【詳解】圓：的圓心，
由圓心在直線上，可得，
解之得.
故選：D
4．D
【分析】先設出，得到的方程為：，由得到圓的方程，結合點到直線的距離公式，求出的最小值即可．
【詳解】設，由在上，得：，即，
由得：，化簡得，
依題意，線段與圓，至多有一個公共點，
故到直線的距離不小于，即，解得：或，
是使恒成立的最小正整數，由于，
故選：D
5．B
【分析】先求得直線所過定點，然后根據兩點間的距離公式求得正確答案.
【詳解】直線，
即，由解得，
所以直線過定點，
所以的最大值為.
故選：B
6．B
【分析】求出圓的圓心和半徑，判斷直線與圓的位置關系，則線段PQ長度的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
因為圓心到直線的距離為，
所以線段PQ長度的最小值為.
故選：B
7．B
【分析】待定系數法求出外接圓方程，從而得到外接圓在處的切線方程，進而求出的坐標，得到答案.
【詳解】的外接圓設為，
，解得，
外接圓方程為，即，
易知外接圓在處切線方程為，
又，令得，，，
在處切線方程為，
又，令得，，
則三角形的線的方程為，即
故選：B.
8．D
【分析】根據直線的兩點式方程運算求解.
【詳解】因為，則線l的方程為，整理得，
所以直線l的方程為.
故選：D.
9．AD
【分析】利用圓的弦長公式判斷A、B；假設存在點，求出直線方程，判斷與圓的位置關系，判斷C，求出點的軌跡方程，可判斷D.
【詳解】當時，直線，
圓心到直線的距離，
又，解得，A正確；
由上可知圓，
圓心到直線的距離，
則，B錯誤；
若，則直線斜率為，
從而直線：，
此時圓心到直線的距離，
則直線與圓相離，即不存在點，使，C錯誤；
設點，因為直線過定點，
則，即，
化簡為，為點的軌跡方程，
若，則，
即，得，
故存在存在，使，D正確.
故選：AD.
10．CD
【分析】根據截距的概念可判定A，根據傾斜角的定義可判定B，利用兩直線垂直的位置關系可判定C，根據傾斜角與斜率的關系可判定D.
【詳解】對于A，當直線在兩個坐標軸的截距都是0時，顯然直線方程為，故A錯誤；
對于B，直線傾斜角是，故B錯誤；
對于C，若直線與直線垂直，則有或，所以不滿足充分性，
反之時，此時兩直線垂直，滿足必要性，故C正確；
對于D，由直線的斜率與傾斜角的關系知：滿足的直線，
則它的傾斜角的取值范圍是或，故D正確.
故選：CD
11．ABCD
【分析】求出兩坐標軸上的截距，進而判斷的可能取值．
【詳解】令y＝0，得到直線在x軸上的截距是，
令x＝0，得到直線在y軸上的截距為2＋a，
∴不論a為何值，直線l在x軸和y軸上的截距總相等.
故選：ABCD.
12．/
【分析】利用斜率為負的兩直線平行，找到，表示出直線，利用兩平行線間的距離公式計算即可.
【詳解】因為斜率均為負的直線與直線平行，
所以同號，且，解得：，
所以直線與直線，
所以這兩條直線之間的距離為.
故答案為：.
13．
【分析】先得到，當且僅當三點共線，且三點共線時，等號成立，設C關于x軸的對稱點，求出的最小值，進而得到的最小值.
【詳解】的圓心為，半徑為1，
，圓心為，半徑為2，
結合兩圓位置可得，，
當且僅當三點共線，且三點共線時，等號成立，
設C關于x軸的對稱點，連接，與軸交于點，此點即為所求，
此時，
故即為的最小值，
故的最小值為
故答案為：
14．
【分析】根據垂直求出斜率，再由點斜式方程可得答案.
【詳解】直線的斜截式為，
故斜率是，所以所求直線的斜率是，
所以所求直線方程是，
即.
故答案為：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據傾斜角以及求解出直線的方程，再根據半徑、圓心到直線的距離、半弦長構成的直角三角形求解出；
（2）根據條件判斷出，結合和點坐標可求直線的方程.
【詳解】（1）圓的圓心，半徑，
因為，所以直線的斜率，
所以，即，
所以圓心到的距離，
所以；
（2）因為弦被平分，所以，
又因為，所以，
所以，即.
16．(1)
(2)，，
【分析】（1）先求得兩點，的中垂線方程，再與聯立，求得圓心即可；
（2）先由直線且被圓截得的弦長為6，求得圓到直線的距離，再分截距為零和不為零求解.
【詳解】（1）解：兩點，的中垂線方程為：，
聯立，解得圓心，
則，
故圓的方程為：；
（2）由直線且被圓截得的弦長為6，
故圓心到直線的距離為，
A．若直線過原點，可知直線的斜率存在，設直線為：，
，此時直線的方程為：
A．若直線不過原點，設直線為：，
，
此時直線的方程為：，
綜上：直線的方程為：，，.
17．(1)
(2)
(3)7
【分析】（1），根據兩點間的距離公式化簡可得方程；
（2），法一：換元后與圓的方程聯立，利用判別式法求解最小值；法二：幾何法，利用直線與圓的位置關系列不等式求出最小值；法三：三角換元，結合輔助角公式利用余弦函數的性質求解最小值；
（3），根據直線是否存在斜率進行分類討論，當直線存在斜率時，利用點斜式寫出兩直線的方程，分別求出弦長，將四邊形的面積用弦長表示，即可求出最大值.
【詳解】（1）由已知得，
化簡得，即，
所以動點的軌跡的方程為：；
（2）法一：設，得，
代入軌跡的方程消去并整理得，
∴，即，
解得，故的最小值為；
法二：設，即，
由（1）的結論可知，軌跡是以點為圓心，半徑長為2的圓，
由題意可知，直線和圓有公共點，
所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，
解得，故的最小值為；
法三：由（1）可設，，
則，
因為，所以當時，的最小值為；
（3）i）若兩直線都有斜率，可設直線AB的方程為，則直線CD的方程為，
由（1）的結論可知，軌跡是以點為圓心，半徑長為2的圓．
到直線AB的距離，所以，
同理，，
所以．
，
ⅱ）若AB、CD兩直線中有一條沒有斜率，則另一條的斜率為0，
此時線段AB、CD的長分別為、4（或4、），所以．
綜上所述，當且僅當，即時，四邊形ACBD的面積取得最大值，最大值為7．

展開更多......

收起↑