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第三章 空間向量與立體幾何 單元測試
一、單選題
1．已知，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖所示的空間直角坐標系中，單位正方體頂點A的坐標是
A．(-1,-1,-1) B．(1,-1,1) C．(1,-1,-1) D．(-1,1,-1)
3．若是空間的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數組，使得，我們把有序實數組叫做基底下向量的斜坐標.設向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
5．兩平面的法向量分別為，若，則的值是（ ）
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
6．已知，若平面的一個法向量為，則（ ）
A． B． C． D．
7．在正方體中，過作一垂直于的平面交平面于直線，動點在直線上，則直線與所成角余弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
8．在三棱錐中，棱，，兩兩垂直，點在底面內，已知點到，，所在直線的距離分別為1，2，2，則線段的長為（ ）
A． B． C．3 D．
二、多選題
9．已知在邊長為2的正方體中，點M在線段上（含端點位置），現有如下說法：①平面；②；③點M到平面的距離的最大值為1；④為等邊三角形.則正確的說法為（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如圖，正方體的體積為8，，，，分別為，，，的中點，則下列說法正確的是（ ）

A．直線與為異面直線
B．向量在向量上的投影向量為
C．若為上靠近點的四等分點，則4
D．線段上存在點，使得平面
11．已知正方體的棱長為2，點E，F，G分別為棱和的中點，則下列說法正確的有（ ）

A．
B．分別是線段和上的兩個動點，則
C．平面與平面夾角的正弦值為
D．平面EFG被正方體截得的截面面積為
三、填空題
12．已知直線過定點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為 .
13．已知向量，，且與平行，則 .
14．已知，分別是平面的法向量，若，則 ．
四、解答題
15．化簡下列算式：
(1)；
(2)．
16．如圖所示是一個平行六面體，化簡．

17．在平行六面體中，設，，，，分別是，的中點．
(1)用向量，，表示，；
(2)若，求在基下的坐標．
18．如圖，四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，過直線的平面與棱分別交于點．

(1)證明：；
(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．
19．化簡：．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B B C A A ABD ABC
題號 11
答案 ABD
1．D
【分析】根據投影向量的定義，分別計算出數量積及的模長，即可得出答案.
【詳解】易知，，所以．
因為，所以，
故在上的投影向量為．
故選：D．
2．C
【分析】根據待求點在各個平面的射影點到各個坐標軸的距離以及對應的正負半軸確定點的坐標.
【詳解】依據空間點的坐標定義，點A的坐標是(1，-1，-1).
故選C.
【點睛】本題考查根據空間直角坐標系寫出點的坐標，難度較易.
3．D
【分析】由題意利用待定系數法列出關于的方程組即可求解.
【詳解】設，
又，
，解得，
即.
所以向量在基底下的斜坐標為.
故選：D.
4．B
【分析】根據已知條件，結合空間向量的線性運算，即可求解.
【詳解】由題知，在正四面體中，
因為平面，
所以是的中心，
連接，則，
所以
.

故選：B
5．B
【分析】由，可得，則，從而可求得結果.
【詳解】因為兩平面的法向量分別為，且，
所以，所以，
故選：B
6．C
【分析】利用法向量和平面內直線的方向向量之間的關系求解即可.
【詳解】由得：
，
面的一個法向量為，
所以，
即，
解得，
所以，
故選：C．
7．A
【分析】由正方體性質可知，平面，平面平面，故動點在直線上，建立空間直角坐標系，利用空間向量法表示線線角，并求最值.
【詳解】
由正方體性質可知，，，，
平面，平面，
易知平面，平面平面，
故動點在直線上，
設正方體棱長為1，并如圖建立空間直角坐標系，
則，
設兩直線所成角為，，
故，即，
令，則，
所以當時，即時，.
故選：A
8．A
【分析】由棱，，兩兩垂直建立空間直角坐標系，設點坐標，分別表示出到三條軸的距離，然后得出的值.
【詳解】如圖，棱，，兩兩垂直，
可以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.
設，由題意可得：，∴，
∴，
故選：A
9．ABD
【分析】建立空間直角坐標系，運用空間向量求解.
【詳解】
以DA為x軸，DC為y軸，為z軸，以D為原點，建立空間直角坐標系如上圖，
則有，
設，，則，，；
設平面的一個法向量是，則有，，
，令得 ，故①正確；
，，故②正確；
，是平面的一個法向量，
設與平面的夾角為，則，
M點到平面的距離 ，當時取最大值為，故③錯誤；
，④正確；
故選：ABD.
10．ABC
【分析】根據異面直線的定義即可求解A，利用投影向量的計算方法即可求解B，利用空間向量的線性運算即可求解C，利用法向量可得為中點，此時平面，即可判定D.
【詳解】對于A，取中點，連接,由于,,與相交，因此與為異面直線，A正確，

對于C，若為上靠近點的四等分點，,則,故，C正確，
對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，由體積為8可得棱長為2，則,
,則，
向量在向量上的投影向量為，故B正確，

對于D，假設線段上存在點，其中，使得平面，
,設平面的法向量為，
則，取，則，
,
由于平面，所以，解得，
此時為中點，此時,
由于故也是平面的法向量，
又平面與平面有公共點，因此平面與平面重合，
故平面，故D錯誤，

故選：ABC
11．ABD
【分析】由線面垂直的判定定理可得平面，再證四邊形為平行四邊形可得A正確；建立如圖所示坐標系，求出異面直線和的公垂線的一個方向向量，再由空間點線間距離公式可得B正確；分別求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，代入空間向量二面角公式，再結合同角的三角函數關系可得C錯誤；畫出截面圖形，由三角形的面積公式可得D正確；
【詳解】

對于A，由正方體的性質可得平面，平面，所以，
又對角線，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為點E，G分別為棱的中點
又且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以，
可知，故A正確；
對于B，以為原點，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖，

則，
，，
設為異面直線和的公垂線的一個方向向量，，即，取，
則，故B正確；
對于C，，
，
設為平面的一個法向量，
，即，取，
則，取為平面的一個法向量，，
設平面與平面夾角為，
則，所以，故其正弦值為，故C錯誤；
對于D，如圖延展平面易知平面EFG被正方體截得多邊形為正六邊形，則其面積為，故D正確；

故選：ABD.
12．2
【分析】
根據題意，結合向量的數量積的運算和距離的運算公式，準確計算，即可求解.
【詳解】
設向量，，則，
則點到直線的距離．
故答案為：2．
13．/
【分析】根據題意，由空間向量平行的坐標公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】，，
因為與平行，所以當時，，解得；
當時，，.
綜上，.
故答案為：
14．
【分析】根據法向量垂直即可求解.
【詳解】因為，所以，所以，解得．
故答案為：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據向量數乘運算即可求得答案；
（2）根據向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】（1）
.
（2）
.
16．
【分析】根據向量平行四邊形法則運算即可；
【詳解】因為底面是一個平行四邊形，
所以，
又因為，
因此
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根據給定的平行六面體，利用空間向量的線性運算求解即得.
（2）利用給定的基底表示，再利用空間向量基本定理求出坐標.
【詳解】（1）在平行六面體中，連接，，，，如圖，
，
．
（2）
，
因此，，，
所以在基下的坐標為．
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由平行四邊形中的推出平面，再由線面平行的性質定理，結論即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，得點坐標，再求兩個平面的法向量，再由公式求解平面與平面夾角余弦值即可.
【詳解】（1）證明：因為四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，且平面，且，所以平面，
因為平面，平面平面，且平面，
所以，又，
所以．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．

由（1）知且，則，
則，，，，，
，所以，，，
，設平面的一個法向量為，
則，得，
設平面的一個法向量為，則，得，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
19．
【分析】根據向量的線性運算可得答案.
【詳解】

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