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2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
A組
1.已知直線l的傾斜角為10°,直線l1∥l,直線l2⊥l,則l1與l2的傾斜角分別為(　　)
A.10°,10° B.80°,80°
C.10°,100° D.100°,10°
2.如果直線l1的斜率為a,l1⊥l2,那么直線l2的斜率為(　　)
A. B.a
C.- D.-或不存在
3.已知過點P(3,2m)和Q(m,2)的直線與過點M(2,-1)和N(-3,4)的直線平行,則m的值是(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.已知直線l1和l2互相垂直,且都過點A(1,1),若l1過原點O(0,0),則l2與y軸交點的坐標為(　　)
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
5.(多選題)對于兩條不重合的直線l1,l2,下列說法正確的有(　　)
A.若兩條直線斜率相等,則兩條直線平行
B.若l1⊥l2,則斜率之積k1k2=-1
C.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則兩直線相交
D.若兩條直線斜率都不存在,則兩條直線平行
6.已知直線l1的傾斜角為60°,直線l2經過點M(1,),N(-2,-2),則直線l1,l2的位置關系是　　　　　　　　　　.
7.已知直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且k1,k2是關于k的方程2k2-3k-b=0的兩根.若l1⊥l2,則b=　　　　　;若l1∥l2,則b=　　　　　.
8.如圖,在 OABC中,O為坐標原點,點C(1,3).
(1)求OC所在直線的斜率;
(2)過點C作CD⊥AB交AB于點D,求直線CD的斜率.
9.已知△ABC的三個頂點A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC為直角三角形,求m的值.
B組
1.已知直線l1,l2的斜率為方程x2-3x-1=0的兩根,則l1與l2的位置關系是(　　)
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
2.已知直線l1的斜率為2,直線l2經過點A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,則lox=(　　)
A.3 B. C.2 D.-
3.已知直線l1的傾斜角為45°,且直線l1經過點A(3,2),B(a,-2),若l1⊥l2,且l2的斜率為-,則a+b的值為(　　)
A.-1 B.1 C.-3 D.3
4.若點P(a,b)與Q(b-1,a+1)關于直線l對稱,則直線l的傾斜角α為(　　)
A.135° B.45° C.30° D.60°
5.已知 ABCD的其中三個頂點是A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),則點D的坐標是　　　　　.
6.已知點A(0,1),點B的橫坐標x與縱坐標y滿足x+y=0.若AB⊥OB,則點B的坐標是　　　　　.
7.已知直線l1經過點A(3,a),B(a-1,2),直線l2經過點C(1,2),D(-2,a+2).
(1)若l1∥l2,求a的值;
(2)若l1⊥l2,求a的值.
8.在平面直角坐標系中,四邊形OPQR的頂點按逆時針順序依次是O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),試判斷四邊形OPQR的形狀,并給出證明.
參考答案
A組
1.C
2.D
解析:當a≠0時,直線l2的斜率k2=-;當a=0時,直線l2的斜率不存在.
3.B
解析:由題意得m≠3,=-1,解得m=-1.
4.B
解析:由題意知,直線l1,l2的斜率都存在.設直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,l2與y軸交點的坐標為(0,b).
∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,即=-1,解得b=2,即l2與y軸交點的坐標為(0,2).
5.ACD
解析:當k1=k2時,l1與l2平行,故A正確;B中也可能一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,故B不正確;C,D正確.
6.平行或重合
解析:由題意知,k1=tan 60°=,k2=.
因為k1=k2,所以直線l1與直線l2平行或重合.
7.2　-
解析:若l1⊥l2,則k1k2==-1,解得b=2.
若l1∥l2,則k1=k2,即Δ=9-4×2×(-b)=0,解得b=-.
8.解:(1)∵點O(0,0),C(1,3),
∴OC所在直線的斜率kOC==3.
(2)在 OABC中,AB∥OC.
∵CD⊥AB,∴CD⊥OC.
∴kOC·kCD=-1.∴kCD==-.
故直線CD的斜率為-.
9.解:邊AB所在直線的斜率為kAB==-,邊AC所在直線的斜率為kAC==-,邊BC所在直線的斜率為kBC==m-1.
若AB⊥AC,則-=-1,解得m=-7;
若AB⊥BC,則-×(m-1)=-1,解得m=3;
若AC⊥BC,則-×(m-1)=-1,解得m=±2.
綜上可知,所求m的值為-7,±2,3.
B組
1.D
解析:由題意得k1≠k2,且k1k2=-1,故直線l1與l2垂直.
2.D
解析:由題意得直線l2的斜率存在,且=2,解得x=3,所以lox=-.
3.B
解析:由題意得a≠3,=1,解得a=-1.
∵l1⊥l2,∴-=-1,解得b=2.∴a+b=1.
4.B
解析:由題意知,a≠b-1,PQ⊥l.
∵kPQ==-1,
∴直線l的斜率k=1,即tan α=1,∴α=45°.
5.(3,-6)
解析:設D(x,y).
由題意知,AB∥CD,AD∥BC,且x≠0,x≠1,則kAB=kCD,且kAD=kBC,即解得
故點D的坐標為(3,-6).
6.
解析:由題意知,點B的坐標為(x,-x),
∵AB⊥OB,
∴x≠0,且=-1,解得x=-.
∴點B的坐標為.
7.解:由題意知,直線l2的斜率存在.設直線l2的斜率為k2,則k2==-.
(1)因為l1∥l2,所以直線l1的斜率存在.設直線l1的斜率為k1,則k1=-.
因為k1=,所以=-,解得a=1或a=6.
經檢驗,當a=1或a=6時,l1∥l2.
(2)若l1⊥l2,
①當直線l1的斜率不存在時,3=a-1,即a=4,此時k2=-≠0,不符合題意.
②當直線l1的斜率存在時,即a≠4,k1=.
由k1k2=-1,即=-1,得a=3或a=-4.
所以,當a=3或a=-4時,l1⊥l2.
8.解:邊OP所在直線的斜率kOP=t,
邊QR所在直線的斜率kQR==t,
邊OR所在直線的斜率kOR=-,
邊PQ所在直線的斜率kPQ==-.
∵kOP=kQR,kOR=kPQ,
∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四邊形OPQR是平行四邊形.
又kQR·kOR=t×=-1,∴QR⊥OR.
∴四邊形OPQR是矩形.
OQ所在直線的斜率kOQ=,PR所在直線的斜率kPR=.
令kOQ·kPR=-1,無解.
∴OQ與PR不垂直.∴四邊形OPQR不是正方形.
當t=時,O(0,0),P,R(-1,2).
∵OP≠OR,
∴四邊形OPQR不是正方形.
同理,當t=-時,四邊形OPQR也不是正方形.
綜上,四邊形OPQR是矩形.

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