資源簡介

山西省2024－2025學年度九年級上學期期中階段評估
數學上冊
第章
說明：共三大題．23小題．滿分120分，答題時間120分鐘．
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把正確答案的選項填在下表中）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．若．則的值為（ ）
A．6 B． C． D．
2．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．小明用放大鏡觀察一個正多邊形，用放大鏡看到的正多邊形與原正多邊形的邊長比為．則下列說法不正確的是（ ）
A．放大后的正多邊形的面積與原正多邊形的面積比為
B．放大后的正多邊形的每個內角與原正多邊形的每個內角都相等
C．放大后的正多邊形的周長與原正多邊形的周長比為
D．若原正多邊形的面積為4，則放大后的正多邊形的面積為9
4．已知關于的一元二次方程的一個解是，則的值為（ ）
A．－5 B．2 C．－3 D．5
5．若能與二次根式合并，則的值可以為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．11
6．從前，有一天一個笨漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺．他的鄰居教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進去了．求竹竿有多長 設竹竿長尺，則根據題意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．若，是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
8．嗩吶是山西八大套的樂器之一．如圖．一個中號嗩吶的長約為．若在嗩吶上喇叭端的一個黃金分割點處進行裝飾．則該裝飾與吹口的距離為（ ）
A． B． C． D．
9．《墨經》中記載：“景到，在午有端，與景長，說在端”，這句話描述了小孔成像的現象及原理．老師在物理課上制作了一個小孔成像的裝置，其中紙筒的長度為，點燃蠟燭測得蠟燭及火焰的長為，要想得到高度為的像，請你計算一下，蠟燭到紙筒的水平距離應該為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在邊長為4的正方形中，點在邊上，且，連接，過點作，交于點．連接，并延長交的延長線于點，則的長為（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）
11．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點的坐標為，若以原點為位似中心，在第三象限畫的位似圖形，使與的相似比等于．則點的坐標為______．
第11題圖
12．我國南宋數學家楊輝提出了一個問題：直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步）．設“闊”是步，則可列一元二次方程_____．
13．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則滿足條件的實數的值可以是_____．
14．如圖，在中，為邊的中點，有以下作圖步驟：
①以點為圓心，適當的長為半徑畫弧，交于點，交于點；
②以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點；
③以點為圓心，的長為半徑畫弧，交前一條弧于點；
④連接，并延長交于點．若的面積為2，則的面積為_____．
第14題圖
15．如圖，這是一個鐵夾的剖面圖，其為軸對稱圖形，對稱軸為表示鐵夾的剖面的兩條邊，點是轉動軸的位置，，鐵夾相關數據（單位：）如圖中所標示，鐵夾尖端閉合時，把手部分，兩點間的距離是_____．
第15題圖
三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本題共2小題，每小題5分，共10分）
（1）計算：．
（2）已知，求的值．
17．（本題7分）
解方程：．
18．（本題10分）
素材1：某商店銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．
素材2：為了擴大銷售，增加利潤并盡快減少庫存．經調查，發現若每件襯衫每降價1元，商店平均每天可多售出2件．
（1）若商店平均每天要獲得利潤1200元，則每件襯衫應降價多少元
（2）判斷商店平均每天能獲得利潤有可能達到1500元嗎
19．（本題7分）
如圖，繞點按順時針方向旋轉一定的角度得到，點在邊上，連接，求證：．
20．（本題7分）
如圖，在平面直角坐標系中，的頂點均在正方形網格的格點（網格線的交點）上，已知點的坐標為．
（1）以點為位似中心，在所給的網格內畫出，使與位似，且點的坐標為．
（2）求的面積．
21．（本題9分）閱讀與思考
認真閱讀并完成相應的任務．
化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式．所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法．一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題．
閱讀逆寫為；逆寫為；逆寫為．
觀察、發現：．
閱讀2：無理方程（根號里含有未知數的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉化為，可得．通過“方程兩邊平方”解方程，有可能產生增根，必須對解得的根進行檢驗．例如：把方程兩邊平方，得，解得，經檢驗，不是原方程的根，故原方程的解為．
任務：（1）化簡：_____
（2）化簡：．
（3）解方程：．
22．（本題12分）綜合與實踐
學習過“利用相似三角形測物高”的內容后，小武利用平面鏡的鏡面反射特點來構造相似測一大樓的高度，如圖1所示．
【問題提出】
（1）大樓為，平面鏡放在點處，表示小武的位置，若，求大樓的高．（用含的式子表示）
（2）實地觀察大樓周圍的環境之后、發現由于條件限制，大樓的底部不可到達，所以無法準確測量大樓底部到平面鏡的距離．在老師幫助下，小武進一步完善了自己的想法，構造二次相似，將測量距離進行轉化．如圖2，小武測量得到．請求出大樓的高度．
23．（本題13分）綜合與探究
【觀察與猜想】
（1）如圖1，在矩形中，是邊上的一點，連接，若，則的值為_____．
【類比探究】
（2）如圖2，在四邊形中，為邊上的一點，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點，求證：．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在中，，將沿翻折，點落在點處，得到為邊上的一點，連接，作交于點，垂足為．已知，，求的長．
山西省 2024－2025 學年度九年級上學期期中階段評估
數學參考答案
1．D 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B
11． 12． 13．－1（答案不唯一，即可） 14．8
15．30提示：如圖，連接，并延長交于點．在中，
．
鐵夾的剖面圖是軸對稱圖形，對稱軸為，
，
，，
，即，
，
．
16．解：（1）原式．
（2）
17．解：化為，
．
，
，
．
18．解：（1）設每件襯衫應降價元．
根據題意，得，
解得，．
根據題意，要盡快減少庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越快，故．
答：商店平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價20元．
（2）不能．
假設能達到，則．
整理，得．
，
該方程無解，
該商店平均每天的盈利不能達到1500元．
19．證明：根據旋轉的性質，得，
，
，
．
由，
得，．
20．解：（1）如圖，即為所求．
（2）．
21．解：（1）．
（2）
．
（3）方程兩邊平方，得，
解得．
經檢驗，不是原方程的根，
原方程的根是．
22．解：（1）由反射特點可知，．
，
，．
，
即，
，即大樓的高為．
（2）由反射特點可知，．
，
，
．
，．
，
，解得，
，解得．
答：大樓的高度為34m．
23．解：（1）．
（2）證明：如圖1，過點作，交的延長線于點．
，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
，
，
．
（3）如圖2，過點作于點．
，
，
．
，
，
，
，
．
將沿翻折，得到，
，
，
，
，．

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