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選擇必修2
第四章 數列
4.2 等差數列
4.2.1等差數列的概念（第2課時 ）
教學目標
學習目標 數學素養
1.能用等差數列的定義推導等差數列的性質． 1.邏輯推理素養和數學運算素養.
2.能用等差數列的性質解決一些相關問題． 2.邏輯推理素養和數學運算素養.
溫故知新
1.等差數列的概念
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列. 這個常數叫做等差數列的公差通常用字母d表示.
2.等差中項
等差數列的符號語言：an－an－1 = d (d是常數，n≥2，)
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，A叫做a與b的等差中項.
2A=a+b或A=.
3.等差數列的通項公式
an=a1+(n-1)d.
首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式為
d>0時，{an}是遞增數列；d<0時，{an}是遞減數列；d=0時，{an}是常數列.
知新探究
【例1】某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少. 經驗表明，每經過一年其價值就會減少d(d為正常數)萬元. 已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢. 請確定d的取值范圍.
分析：這臺設備使用n年后的價值構成一個數列{an}. 由題意可知，10年之內(含10年)，這臺設備的價值應不小于(220×5%=)11萬元；而10年后，這臺設備的價值應小于11萬元. 可以利用{an}的通項公式列不等式求解.
知新探究
【例1】某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少. 經驗表明，每經過一年其價值就會減少d(d為正常數)萬元. 已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢. 請確定d的取值范圍.
解：
設使用n年后，這臺設備的價值為an萬元，則可得數列{an}.由已知條件，得
an＝an－1－d（n≥2）．
因為購置設備的價值為220萬元，所以a1＝220－d，于是
an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
根據題意,得 a10≥11，a11＜11.
由于d是與n無關的常數，所以數列{an}是一個公差為－d的等差數列.
即,
∴d的取值范圍為19解得 19知新探究
解決等差數列實際問題的基本步驟
⑴將已知條件翻譯成數學(數列)問題；
⑵構造等差數列模型(明確首項和公差)；
⑶利用通項公式解決等差數列問題；
⑷將所求出的結果回歸為實際問題.
初試身手
依題意,設甲、乙、丙分得的米重量分別為a1,a2,a3,則
1.我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統宗》中有如下問題:“今有白米一百八十石,令三人從上及和減率分之,只云甲多丙米三十六石,問:各該若干 ”其意思為:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人來分,他們分得的白米數構成等差數列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米 ”請問甲應該分得白米為(　　)
A.96石 B.78石 C.60石 D.42石.
a1+a2+a3=3a2=180,且a1-a3=-2d=36,
解得 a2=60,d=-18,
解：
∴a1=a2-d=60+18=78.
故選B.
B
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【例2】 已知等差數列{an}的首項a1＝2，d=8, 在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.
⑴求數列{bn}的通項公式.
⑵b29是不是數列{an}的項？若是，它是{an}的第幾項？若不是，請說明理由.
分析：⑴{an}是一個確定的數列，只要把a1 ，a2表示為{bn}中的項，就可以利用等差數列的定義得出{bn}的通項公式；
解：
⑴設數列{bn}的公差為d′, 由題意可知
∵ b5-b1 =4d′，
b1= a1=2 , b5 = a2=10
于是 b5-b1 =a2-a1=8,
∴4d′=8，即d′=2.
∴bn= 2+(n-1)×2=2n.
∴數列{bn}的通項公式為bn=2n.
如果插入k(k)個數，那么{bn}的公差是多少？
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【例2】 已知等差數列{an}的首項a1＝2，d=8, 在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.
⑴求數列{bn}的通項公式.
⑵b29是不是數列{an}的項？若是，它是{an}的第幾項？若不是，請說明理由.
分析：⑵設{an}中的第n項是{bn}中的第cn項，根據條件可以求出n與cn的關系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項.
解：
⑵數列{an}的各項依次是數列{bn}的第1 , 5 , 9 , 13 , 項，
令4n-3=29, 解得 n=8.
這些下標構成一個首項為1，公差為4的等差數列{cn}，
則 cn=4n-3，
∴b29是數列{an}的第8項.
對于第(2)小題，你還有其他解法嗎？
知新探究
【例2】 已知等差數列{an}的首項a1＝2，d=8, 在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.
⑴求數列{bn}的通項公式.
⑵b29是不是數列{an}的項？若是，它是{an}的第幾項？若不是，請說明理由.
分析：⑵①先求b29=？②再求an；③令an＝ ，解出n.
解：
⑵由(1)可得b29=2×29=58，
令8n-6=58 , 解得 n=8.
∵a1=2，d=8，
∴an=8n-6，
∴b29是數列{an}的第8項.
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已知是等差數列，公差為，
1.{an}中每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列.即，…()是公差為md的等差數列.
2.數列(b為常數，b≠0)是公差為bd的等差數列;
4.{ban＋c}(b，c是常數)是公差為bd的等差數列．
5.若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列{pan＋qbn}(p，q是常數)是公差為pd1+qd2的等差數列．
拓展：(等差數列的性質）
3.{c＋an}(c為任一常數)是公差為d的等差數列；
初試身手
⑴是等差數列，它的首項為am+1=a1+md,公差為d.
2.(P18練習第5題)已知一個無窮等差數列{an}的首項為a1, 公差為d.
⑴將數列中的前m項去掉, 其余各項組成一個新的數列, 這個新數列是等差數列嗎 如果是, 它的首項和公差分別是多少
⑵依次取出數列中的所有奇數項(偶數項),組成一個新的數列,這個新數列是等差數列嗎 如果是,它的首項和公差分別是多少
⑶依次取出數列中所有序號為7的倍數的項, 組成一個新的數列, 它是等差數列嗎 你能根據得到的結論作出一個猜想嗎
⑵是等差數列，它的首項為a1，公差為2d.
解：
⑶是等差數列，它的首項為a7=a1+6d,公差為7d.
由此猜想：所有序號為k(k≥2,k∈N )的倍數的項按從小到大的順序排成的數列都是等差數列.
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【例3】已知數列{an}是等差數列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.求證:ap+aq=as+at.
證明：
設等差數列{an}的公差為d,則
ap=a1+(p-1)d，
aq=a1+(q-1)d，
∴ap+aq=2a1+(p+q-2)d，
as=a1+(s-1)d，
∴ap+aq=as+at.
分析：只要根據等差數列的定義寫出ap，aq，as，at ，再利用已知條件即可得證.
at=a1+(t-1)d，
as+at=2a1+(s+t-2)d，
∵ p+q=s+t.
知新探究
解：
如圖所示，由P,S,Q,T在同一條直線上，可得
，
∵ p+q=s+t，
∴ap-as=at-aq,即ap+aq=as+at.
∴ p-s=t-q，
例5是等差數列的一條性質，如圖是它的一種情形.
你能從幾何角度解釋等差數列的這一性質嗎
n
an
O




s
p
q
t
as
ap
aq
at
S(s,as)
P(p,ap)
Q(q,aq)
T(t,at)
知新探究
注意：
不成立！
等式兩邊作和的項數必須一樣多！
思考：2+3=5，a2+a3=a5 成立嗎？
性質 若數列{an}是等差數列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.則ap+aq=as+at.
⑴特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時，am＋an＝2ak.
⑵對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
初試身手
⑴方法1：設等差數列{an}的公差為d,
由a1+a4+a7=39，得3a1+9d=39，即 a1+3d=13 ①
3.⑴已知等差數列{an}中， a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.
⑵已知數列{an}是等差數列，若a4＋a7＋a10＝30，求a3－2a5的值.
由a2+a5+a8=33，得3a1+12d=33，即 a1+4d=11 ②
解：
∴a3+a6+a9=3a1+15d=57-30=27.
∴a3+a6+a9=3a6=27.
聯立①②，解得a1=19，d=-2.
方法2：由a1+a4+a7=39，得3a4=39，即a4=13，
由a2+a5+a8=33，得3a5=33，即a5=11，
∴d=a5-a4=11-13=-2，a6=a5+d=9,
∵a3+a9=2a6，
初試身手
⑵方法1：設等差數列{an}的公差為d,則
30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，
3.⑴已知等差數列{an}中， a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，求a3+a6+a9的值.
⑵已知數列{an}是等差數列，若a4＋a7＋a10＝30，求a3－2a5的值.
∴a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10.
解：
方法2：根據等差數列性質，可得a4＋a10＝2a7，
而a4＋a7＋a10＝30＝3a7 ,即a7=10,
∴a3－2a5＝a3－(a3+a7)=－a7=－10.
即a1＋6d＝10.
知新探究
【例4】如圖所示，三個正方形的邊AB，BC，CD的長組成等差數
列，且AD＝21cm，這三個正方形的面積之和是179cm2.
⑴求AB，BC，CD的長；
⑵以AB，BC，CD的長為等差數列的前三項，以第10項為邊長的
正方形的面積是多少？
解：
⑴設公差為d(d>0)，BC＝x，則AB＝x－d，CD＝x＋d.
由題意得,
∴AB=3(cm),BC=7(cm)，CD=11(cm).
解得x=7,d=4或d=-4(舍去),
∴a10＝3＋(10－1)×4＝39，=392=1521(cm2)．
⑵正方形的邊長組成首項是3，公差是4的等差數列{an}，
則所求正方形的面積為1521cm2.
初試身手
⑴由題意得,2c，a-c，a+c成等差數列，
∴(a-c)=2c+a+c，即a=5c,
4.⑴橢圓(a>b>0)的左右頂點分別為A,B,左右焦點分別為F1,F2,若|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差數列，則該橢圓的離心率為 .
⑵若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩點，拋物線的焦點為F,且|AF|,4,|BF|成等差數列，則k= .
∴.
解：
.
初試身手
又x1+x2==4，
∴ =,即k>-1,
4.⑴橢圓(a>b>0)的左右頂點分別為A,B,左右焦點分別為F1,F2,若|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差數列，則該橢圓的離心率為 .
⑵若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩點，拋物線的焦點為F,且|AF|,4,|BF|成等差數列，則k= .
∴x1+x2=4，
解：
⑵設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
∴k=2.
聯立得k2x2-4(k+2)x+4=0.
2
由題意得|AF|+|BF|=8=x1+x2+4,
解得k=2或-1(舍去),
課堂小結
已知是等差數列，公差為，
1.{an}中每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列.即，…()是公差為md的等差數列.
2.數列(b為常數，b≠0)是公差為bd的等差數列;
4.{ban＋c}(b，c是常數)是公差為bd的等差數列．
5.若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列{pan＋qbn}(p，q是常數)是公差為pd1+qd2的等差數列．
3.{c＋an}(c為任一常數)是公差為d的等差數列；
等差數列的性質
6.若數列{an}是等差數列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.則ap+aq=as+at.
作業布置
作業： P17-18 練習 第1,3,4題
P25 習題4.2 第10題.
補充：
1.(多選)已知等差數列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有(　　)
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=0
2.已知△ABC的一個內角為120°,并且三邊長構成公差為4的等差數列,則△ABC的面積為　　　　　.
3.已知中位數為1010的一組數構成等差數列,其末項為2017,則該數列的首項為　 .
盡情享受學習數學的快樂吧！
我們下節課再見！
謝謝
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