資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
3.6.1 二次函數與圖形面積同步學案
列清單·劃重點
知識點 利用二次函數解決最大(小)面積問題的一般步驟
(1)引入______________(如正方形的邊長、圓的半徑等)；
(2)用含______________的代數式將其他未知量表示出來；
(3)根據幾何圖形的面積計算公式列出表示圖形面積的______________表達式；
(4)根據二次函數的性質及自變量的取值范圍確定符合條件的最大(小)函數值及取得最大(小)值時相應的自變量的值，從而求得幾何圖形的最大(小)面積.
明考點·識方法
考點 利用二次函數解決最大(小)面積問題
典例 校藝術節上，甲同學用腰長為 20cm的等腰直角三角形卡紙裁剪出如圖所示的矩形紙片 MNPQ，且矩形的四個頂點都在 的邊上.
(1) 若甲 裁剪 出 來 的矩形紙片 周長是紙片周長的一半，那么這個矩形紙片的寬 MQ是____________ cm;
(2)設 MQ的長度為x cm,矩形 MNPQ 的面積為
①求S關于x 的函數表達式；
②求矩形 MNPQ的面積S 的最大值.
思路導析 (1)根據勾股定理求出 BC的長，接著利用等腰直角三角形的性質得到 ，然后根據矩形紙片周長是 紙片周長的一半列方程求解即可；
(2)①根據 計算即可；②通過配方法得到頂點坐標即可.
變式 如圖，學校課外興趣活動小組準備利用長為8 m 的墻 AB 和一段長為26 m的籬笆圍建一個矩形苗圃園.如果矩形苗圃園的一邊由墻 AB和一節籬笆BF 構成，另三邊由籬笆 ACDF 圍成，設平行于墻一邊 CD長為x m.
(1)當苗圃園的面積為60m 時，求x的值；
(2)當x 為何值時，所圍苗圃園的面積最大 最大面積是多少
當堂測·夯基礎
1.如圖,要圍一個矩形菜園 ABCD，其中一邊 AD 是墻，且AD的長不能超過26 m，其余的三邊AB，BC，CD 用籬笆，且這三邊的和為40 m,有下列結論:①AB的長可以為6m ②AB 的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD 面積為 ③菜園 ABCD 面積的最大值為 其中正確結論的個數是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如圖，王叔叔想用長為60 m的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形羊圈ABCD，已知房屋外墻足夠長，當矩形 ABCD的邊 時，羊圈的面積最大.
第2題圖 第 3題圖
3.如圖,在 中，點 P從點 A 開始沿AB 向 B 以2cm/s的速度移動,點 Q 從點 B 開始沿 BC 向 C 點以1 cm/s的速度移動,如果點 P,Q 分別從點A，B同時出發，當 的面積為最大時，運動時間t為___________s.
4.某學校為美化學校環境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻(墻足夠長)的矩形花園，用一道籬笆把花園分為 A，B兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥.學校已定購籬笆 120米.
(1)設計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；
(2)在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2 株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點
(1)自變量 (2)自變量 (3)二次函數
【明考點·識方法】
典例 解：( 是等腰直角三角形，
∴
又∵四邊形 MNPQ為矩形，
∵矩形紙片周長是△ABC 紙片周長的一半，
解得
故答案為：
∵,∴當 時，S最大，最大為
變式 解:(1)∵籬笆的總長為 26 m,平行于墻一邊CD長為 xm，
∴BF=(x-8)m,
由題意,得(17-x)x=60,解得 (不符合實際，舍去)，
∴x的值為12;
(2)設苗圃園的面積為 S m ,
由題意，得,
∴當時,
所以，當x的值為 8.5m時，所圍苗圃園的面積最大,最大面積是 72.25 m .
【當堂測·夯基礎】
1. C 2.15 3.2
4.解：(1)設垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為 S平方米，則平行于墻的邊為(120-3x)米,
由題意，得
∵-3<0,∴當x=20時,S取最大值1 200,
∴垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米時，花園面積最大為 1 200 平方米；
(2)設購買牡丹m株，則購買芍藥 株,
∵學校計劃購買費用不超過5萬元， 解得 ∴最多可以購買 1400株牡丹.
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3.6.2二次函數與商品銷售同步學案
列清單·劃重點
知識點 利用二次函數解決最大利潤問題的一般步驟
(1)引入___________________(如銷售單價)；
(2)用含______________的代數式表示出銷售量、單件盈利、銷售額、總利潤等相關的量；
(3)根據實際問題中變量之間的關系列出_______________；
(4)利用表達式(或圖象)解決有關實際問題.
明考點·識方法
考點 利用二次函數解決最大利潤問題
典例 “端午節”吃粽子是中國傳統習俗，在“端午節”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，并規定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350 盒.根據以往銷售經驗發現，當每盒售價定為 50 元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10 盒.設每盒售價為x元，日銷售量為 p盒.
(1)當x=60時,p=___________;
(2)當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W(元)最大 最大利潤是多少
(3)小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大.”小紅說：“當日銷售利潤不低于 8000元時，每盒售價x的范圍為.”你認為他們的說法正確嗎 若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結論.
變式 某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數量與去年用1 200 元購進這款洗衣液的數量相同，當每瓶洗衣液的現售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷，該超市決定降價銷售，經市場調查發現，這種洗衣液的售價每降價 1元，每周的銷量可增加 100瓶，規定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于進價.
(1)求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；
(2)當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大 最大利潤是多少元
當堂測·夯基礎
1.某商店購進一批單價為20元的商品，若以單價30 元銷售，則每月可售出400 件，如果銷售單價每提高1元，月銷售量相應減少20件，設每件商品單價漲x元，月銷售利潤為y元，可得關系式為，對所列關系式下列說法錯誤的是( )
A.表示漲價后商品的單價 B.表示漲價后少售出商品的數量
C.表示漲價后商品的月銷售量 D.當時月利潤達到最大
2.某農戶銷售一種商品，成本價為每千克40元，按規定，該商品每千克的售價不低于成本價，且不高于 60元.經調查每天的銷售量 y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如表：
售價x(元/千克) 40 50 60
銷售量y(千克) 120 100 80
設銷售該商品每天的利潤為 W(元)，則W 的最大值為 ( )
A.1 800 B.1 600 C.1 400 D.1 200
3.某賓館有50個房間供游客居住.當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每個房間每天的定價每增加 10 元時，就會有1個房間空閑.如果游客居住房間，賓館需要對每個房間每天支出40元的各種費用.則賓館獲得的利潤y(元)與房價x(元)(x為10的倍數)之間的函數關系式為_________________，賓館獲得最大利潤是__________元.
4.為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40 元.超市規定每盒售價不得少于45元.根據以往銷售經驗發現：當售價定為每盒45 元時，每天可以賣出700盒；每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒.
(1)試求出每天的銷售量 y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數關系式；
(2)當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤 P(元)最大 最大利潤是多少
(3)為穩定物價，有關管理部門規定：這種粽子的每盒售價不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 (1)自變量 (2)自變量 (3)二次函數表達式
【明考點·識方法】
典例 解：(1)由題意，得
由題意，得每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，
即 解得50≤x≤65.
即每天的銷售量 p(盒)與每盒售價x(元)之間的函數關系式是
50≤x≤65,當x=60時,故答案為:400;
(2)由題意，得50≤x≤65,
∴當 x = 65 時, W 取得 最 大值,此時W=8 750,
答：當每盒售價定為65元時，每天銷售的利潤 W(元)最大,最大利潤是 8750元;
(3)小強:∵50≤x≤65,
設日銷售額為 y元，
當x=50時,y值最大,此時y=25 000,
當x=65時,W 值最大,此時W=8750,
∴小強正確；
小紅：當日銷售利潤不低于8000元時，即 W≥8 000,
令 解得
故 60≤x≤80時,W≥8 000,
∵50≤x≤65,∴當日銷售利潤不低于8000元時,60≤x≤65,
故小紅錯誤，當日銷售利潤不低于8 000元時,60≤x≤65.
變式 解：(1)設今年這款消毒洗衣液每瓶進價是 m元，
由題意，得 解得m=24,
經檢驗，m=24是原方程的解，也符合題意，
所以，今年這款消毒洗衣 液每瓶進價是24元;
(2)設消毒洗衣液每瓶的售價為x元，每周的銷售利潤為ω元，
根據題意得
∵-100<0,∴當x=33時,w取最大值 8 100,
所以，當這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8 100元.
【當堂測·夯基礎】
1. A 2. B
4.解:(1)由題意,得
∵a=-20<0,∴當x=60時, 元.
所以，當每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P(元)最大，最大利潤是8 000元；
(3)由題意，得 6 000,解得
∵拋物線 的開口向下，
∴當50≤x≤70時，每天銷售粽子的利潤不低于 6 000元.
又∵45≤x≤80,x≤58,∴50≤x≤58.
∵在y=-20x+1 600中,k=-20<0,∴y隨x的增大而減小，
∴當x=58 時, y最小值 = - 20×58+1600=440.
所以，超市每天至少銷售粽子440盒.
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3.6.3 二次函數與拋物線問題同步學案
列清單·劃重點
知識點 利用二次函數解決拋物線形實際問題的一般步驟
(1)根據已知條件建立恰當的____________;
(2)寫出關鍵點的坐標，設出相應的____________表達式；
(3)列出方程(組)，求出待定系數，得到___________表達式；
(4)根據二次函數的圖象性質，解決實際問題.
明考點·識方法
考點 利用二次函數解決拋物線形的實際問題
典例 一名運動員在10 m高的跳臺進行跳水，身體(看成一點)在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面OB的高度y(m)與離起跳點 A 的 水 平 距離 x(m)之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點 A 的水平距離為1m 時達到最高點，當運動員離起跳點 A 的水平距離為 3m 時離水面的距離為 7 m.
(1)求y關于x 的函數表達式；
(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離 OB 的長.
思路導析 本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能將實際問題轉化為數學問題進行解決.(1)用待定系數法可得函數表達式；(2)結合(1),令y=0解得x的值即可.
變式 小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭 P 距地面0.7m，水柱在距噴水頭 P 水平距離 5m 處達到最高，最高點距地面 3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為 其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求拋物線的表達式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭 P 水平距離 3m.身高1.6m 的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離.
當堂測·夯基礎
1.一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經過t(秒)時球距離地面的高度 h(米)適用公式那么球彈起后又回到地面所花的時間t(秒)是 ( )
A.5 B.10 C.1 D.2
2.如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關系是 則鉛球推出的距離
3.廊橋是我國古老的文化遺產，如圖是某座拋物線形的廊橋示意圖.已知拋物線的函數表達式為 為保護廊橋的安全，在該拋物線上距水面 AB高為8米的點 E，F處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離 EF 是__________米.
4.一次足球訓練中，小明從球門正前方8 m的A 處射門，球射向球門的路線呈拋物線形.當球飛行的水平距離為6 m 時，球達到最高點，此時球離地面3 m . 已知球門高OB 為2.44 m,現以O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系.
(1)求拋物線的函數表達式，并通過計算判斷球能否射進球門(忽略其他因素)；
(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經過點 O 正上方 2.25 m處
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 (1)平面直角坐標系 (2)二次函數 (3)二次函數
【明考點·識方法】
典例 解：(1)由題意，得拋物線過(0，10)和(3,7),對稱軸為直線
設y關于x的函數表達式為
解得
∴y關于x 的函數表達式為
(2)在 中,令y=0,
得 解得 或 (舍去),
所以，運動員從起跳點到入水點的水平距離OB 的長為( 米.
變式 解：(1)由題意，得拋物線頂點為(5,3.2),P 點坐標(0,0.7),
設拋物線的表達式為
將(0,0.7)代入,得解得
所以，拋物線的表達式為
(2)當y=1.6時, 解得x=1或x=9,
∴她與爸爸的水平距離為3-1=2(m)或9-3=6(m),
所以，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，與爸爸的水平距離是 2m 或 6 m.
【當堂測·夯基礎】
1. D 2.10 3.
4.解:(1)∵8-6=2,∴拋物線的頂點坐標為(2，3)，
設拋物線為
把點 A(8,0)代入,得 解得
∴拋物線的函數表達式為
當x=0時, ∴球不能射進球門；
(2)設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為
把點(0,2. 25)代入,得 解得 (舍去)或
∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能 讓 足 球 經 過 點 O 正 上方2.25 m處.
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