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中小學教育資源及組卷應用平臺
3.3.2 二次函數的圖象與性質同步學案
列清單·劃重點
知識點① 二次函數 的圖象
一般的，二次函數 的圖象是___________，我們把二次函數 0)的圖象叫做_____________________.
注意
是二次函數 成立的首要條件.
知識點② 二次函數 的性質
關于二次函數 的性質，主要從拋物線的開口方向、頂點、對稱軸、函數值的增減性以及函數的最大值或最小值幾個方面來確定.其性質歸納如表所示：
值
圖象
開口方向 開口_______，且_______無限延伸 開口_______，且______無限延伸
對稱軸 ____________ ____________
頂點 頂點坐標_________，頂點是它的最________點 頂點坐標_________，頂點是它的最________點
最大(小)值 最小值_________ 最大值________
增減性 0時,y 的值隨x 值的增大而___________;時，y的值隨x值的增大而_________ 0時,y的值隨x值的增大而_________;時,y的值隨x值的增大而_________
明考點·識方法
考點① 二次函數 的圖象
典例1 (1)在如圖所示的平面直角坐標系中作出二次函數 與 的圖象；
與 的圖象有何區別 你能由此總結出一個規律性的特征嗎
思路導析 用列表、描點、連線的方法作出二次函數 和 的圖象，再依據圖象回答問題.
易錯易混
對于二次函數 a的絕對值越大，拋物線的開口反而越小.
變式 在如圖所示的平面直角坐標系中，畫出函數 與 的圖象.
考點② 二次函數 的性質
典例2 已知 是二次函數，且當 時，y隨x的增大而減小.
(1)求k的值;
(2)作出該函數的圖象；
(3)根據圖象指出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
(4)若點 M(2,a)在該函數的圖象上,求a的值.
變式 已知函數 是關于x的二次函數.
(1)求滿足條件的m的值；
(2)m為何值時，拋物線有最高點 求出這個最高點的坐標，這時，拋物線的增減性如何
當堂測·夯基礎
1.對于函數 下列說法正確的是( )
A.當 時，y隨x的增大而減小 B.當 時，y隨x的增大而增大
C. y隨x的增大而減小 D. y隨x的增大而增大
2.拋物線 共有的性質是 ( )
A.開口向下 B.對稱軸是 y軸 C.都有最低點 D. y隨x的增大而減小
3.已知四個二次函數的圖象如圖所示，那么 的大小關系是______________________.(請用“＞”連接)
4.關于二次函數
(1)其圖象開口向________，對稱軸是_______軸，頂點坐標為___________，當 時,y隨x 的增大而_________，當 時，y隨x的增大而________，當 時,y有最_______值，最大值是______________；
(2)若A ,為函數圖象上的三點，則的大小關系是__________________.
5.已知如圖所示，直線經過點 A(4,0)和 B(0,4),它與拋物線 在第一象限內交于點 P，且的面積為4.
(1)求直線 AB 的表達式;
(2)求 a的值.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 拋物線 拋物線
知識點2 向上 向上 向下 向下 y軸 y軸 (0,0) 低 (0,0) 高 0 0 增大 減小 減小 增大
【明考點·識方法】
典例1
解:(1)列表:
… -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 …
… 12 3 0 3 12 …
… 4 1 0 1 4 …
根據表格描點、連線，作出二次函數 與 的圖象如圖所示；
(2)由圖象可以看出， 與 的圖象只有開口的大小不相同， 比 的開口要大一些.由此猜想：對于拋物線y=與 當 時， 的開口比 的開口小一些.
變式 參照典例 1 的列表、描點 和連線即可.
典例2
解:(1)要使 為二次函數，
則 解得 即k=2或k=-1;
又∵當x>0時，y的值隨x 值的增大而減小，
∴k-1<0,即k<1,∴k=-1;
(2)由(1)知 列表：
x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
描點、連線：
(3)對稱軸為y軸,頂點坐標為(0,0);
(4)把 M(2,a)代入 得
變式 解：(1)由題意，得 且解得m=2 或m=-3;
(2)當m=2時,m+2=4>0,拋物線開口向上，該拋物線有最低點；
當m=-3時,m+2=-1<0,拋物線開口向下，該拋物線有最高點，
此時拋物線表達式為 則最高點坐標為(0,0),
當x>0時,y 隨x的增大而減小;當x<0時，y隨x的增大而增大.
【當堂測·夯基礎】
1. B 2. B
4.(1)下 y (0,0) 減小 增大 0 大
5.解:(1)設直線 AB的表達式為y= kx+b,
將A(4,0),B(0,4)分別代入 y= kx+b,
得 解得
故直線AB的表達式為y=-x+4;
(2)∵△AOP的面積為4,
再把 yp=2代入 y=-x+4,得x=2,所以 P(2,2).
把 P(2,2)代入 得
故 a的值為 .
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