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(共17張PPT)
2.1 等式性質與不等式性質
（第一課時）
教學目標：
1.能夠根據題意將不等關系用不等式表示出來.
2.能夠利用作差法判斷兩個數（式）的大小關系.
教學重點：
能夠利用作差法判斷兩個數（式）的大小關系.
教學難點：
能在在實際情景中建立不等式(組).
情境引入
在現實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等關系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．類似于這樣的問題，反映在數量關系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
用不等號（如> 、<、 ≥ 、≤）連接的式子就是不等式。
新知探索
問題1 你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的質量檢查規定,酸奶中脂肪的含量f 應不少于 2.5%， 蛋白質的含量p應不少于2.3%；
（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；
（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．
對于（1），設在該路段行駛的汽車的速度為v km/h，
“限速40km/h”就是v的大小不能超過40，于是
0< v ≤ 40．
新知探索
問題1 你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的質量檢查規定,酸奶中脂肪的含量f 應不少于 2.5%， 蛋白質的含量p應不少于2.3%；
（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；
（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．
對于（2），由題意，得
新知探索
問題1 你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的質量檢查規定,酸奶中脂肪的含量f 應不少于 2.5%， 蛋白質的含量p應不少于2.3%；
（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；
（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．
對于（3），設△ABC的三條邊為a，b，c，則
a+b > c，a－b < c．
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問題1 你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
（1）某路段限速40km/h；
（2）某品牌酸奶的質量檢查規定,酸奶中脂肪的含量f 應不少于 2.5%， 蛋白質的含量p應不少于2.3%；
（3）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；
（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短．
對于（4），設C是直線AB外任意一點，CD垂直于AB，垂足為D，E是直線AB上不同于D的任意一點，則CDC
A E D B
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問題2 你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關系嗎
某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本．據市場調查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元
設提價后雜志的定價為x元，則銷售的總收入為 萬元，
那么不等關系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：
①
求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價范圍。
新知探索
如何解上述不等式呢？與解方程要用等式的性質一樣，解不等式要用不等式的性質．為此，我們需要先研究不等式的性質．
在初中我們已經通過具體實例歸納出了一些不等式的性質．那么，這些性質為什么是正確的？還有其他不等式的性質嗎？
回答這些問題要用到關于兩個實數大小關系的基本事實．
新知探索
關于實數a,b大小的比較，有以下基本事實：
如果a－b是正數，那么a>b；如果a－b等于0，那么a=b；如果a－b是負數，那么a這個基本事實可以表示為：
從上述基本事實可知：要比較兩個實數的大小,可以轉化為比較它們的差與0的大小．
例題精講
例1.比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：∵(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)
= 2 > 0，
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)．
這里，我們借助多項式減法運算，得出一個明顯大于0的數（式）．
這是解決不等式問題的常用方法．這種方法叫做作差法，其過程分為
四個步驟：作差、變形、判號、結論。
作差
變形
判號
結論
新知探索
作差法比較大小的基本步驟：
（1）作差：對要比較大小的兩個數(或式子)作差；
（2）變形：對差進行變形(通常方法有因式分解、通分、配方等，注意變形要到位才行)；
（3）判斷符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號；
（4）作出結論．
課堂練習
已知a>b且ab>0,證明
證明：
探究
如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．
你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？
探究
把上圖的“風車”抽象成右圖,
正方形ABCD中有4個全等的直角
三角形.
設直角三角形的兩直角邊的長分別
為 a，b.那么正方形的邊長為 ，
這樣4個直角三角形的面積和為 ，正方形
的面積為 ，由于正方形的面積大于
4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式：
當且僅當E、F、G、H四點重合即a=b時，
四個直角三角形面積和等于正方形面積，
即：
D
A
B
C
a
b
E(FGH)
探究
重要不等式:
一般地， a, b∈R，有
a2+b2 ≥ 2ab
當且僅當a=b時，等號成立
另證：∵a2+b2－2ab =(a－b)2 ≥ 0 ,
∴a2+b2 ≥ 2ab.
（當且僅當a=b時，等號成立）
課堂小結
1．不等式與不等關系：
用不等式表示不等關系，注意文字語言與符號語言之間的轉化．
2．比較兩個實數大小關系的依據：
3．作差比較法：
作差 → 變形 → 判斷符號 → 作出結論
課后練習
1.比較2x2+3與x+2的大小.

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