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廣東梅縣
2024-2025學年度第一學期高三中段考試試卷（數學科）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.
1.己知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.若是的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（ ）.
A. B. C. D.
3.若復數z滿足（i為虛數單位），則z的模（ ）
A. B.1 C. D.5
4.己知，，，則（ ）
A. B. C. D.
5.若數列滿足，，則（ ）
A.2 B.6 C.12 D. 20
6. 如圖所示，在中，M為線段的中點，為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點. 設，，則的最小值為（ ）
A. B.3 C. D. 6
7.若直線是曲線和的公切線，則實數k的值是（ ）
A. B. C.0 D.1
8.己知是定義域為R的奇函數，若的最小正周期為1，則下列說法中正確的個數是（ ）
① ②
③的一個對稱中心為 ④的一條對稱軸為
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.己知，，則（ ）
A.當時，
B.當時，
C.當時，在上的投影向量為
D. 當時，，的夾角為鈍角
10. 己知函數，則下列說法正確的是（ ）
A. 的圖像可由的圖像向左平移個單位得到
B. 圖像關于點對稱
C.在區間上單調遞減
D.若，，則
11.表示不超過x的最大整數，例如，，，己知函數，下列結論正確的有（ ）
A. 若，則
B.
C.設，則
D.所有滿足的點組成的區域的面積和為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.己知非零向量，滿足，且，則與的夾角為______.
13.設實數，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是______.
14.己知函數，方程有六個不相等實根，則實數b的取值范圍是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題13分）己知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面積.
16.（本小題15分）己知函數在處取得極大值.
（1）求a的值；
（2）若有且只有3個零點，求實數b的取值范圍.
17.（本小題15分）己知，，函數.
（1）求函數的解析式及對稱中心；
（2）若，且，求的值.
（3）在銳角中，角A，B，C分別為a，b，c三邊所對的角，若，，求 周長的取值范圍.
18.（本小題17分）設函數.
（1）當時，求在上的最小值；
（2）若與關于y軸對稱，當時，恒成立，求實數a的取值范圍.
19.（本小題17分）牛頓在《流數法》一書中，給出了代數方程的一種數值解法——牛頓法.具體做法如下：如圖，設r是的根，首先選取作為r的初始近似值，若在點處的切線與x軸相交于點，稱是r的一次近似值；用替代重復上面的過程，得到，稱是r的二次近似值；一直重復，可得到一列數：，，，…，，….在一定精確度下，用四舍五入法取值，當近似值相等時，該值即作為函數的一個零點r.
（1）若，當時，求方程的二次近似值（保留到小數點后一位）；
（2）牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數學思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數在點處的切線，并證明：；
（3）若，若關于x的方程的兩個根分別為，，證明：.
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2024-2025學年度第一學期高三中段考試試題答案（數學科）
一、選擇題（1-8每小題5分，共40分。9-11多選題每小題6分，共18分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B D D B D B BC BCD AD
8、【答案】B【詳解】因為的最小正周期為1，所以；即，所以2是的周期；
因為為奇函數，所以，②正確；
，不一定為零，①不正確；
因為，所以的一個對稱中心為，③正確；
通過題目條件無法得出的一條對稱軸為，④不正確；故選：B
11、【答案】AD詳解A選項，由題時，，，則，故A正確；
B選項，取，，則，故B錯誤；
C選項，，則當時，，
則，
又，則，故C錯誤；
D選項，由題要使，則，或，或，或， 或，所表示區域如下圖陰影部分所示：
則區域面積為：，故D正確.故選：AD
二、填空題（共3題，每題5分，共15分）
12、 13、 14、
14、【答案】【詳解】在同一平面直角坐標系中畫出的圖象以及直線如圖所示，
發現當且僅當時，關于x的方程的根的個數最多，且有3個根，而關于t的一元二次方程最多有兩個根，若方程有六個不相等實根，則當且僅當關于t的一元二次方程有兩個不同的根，，且，
所以當且僅當，解得，
即實數b的取值范圍是.故答案為.
三、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
15.（13分）（1）由以及正弦定理得，即，，
所以，
因為，所以.
（2）由正弦定理得，，
又
的面積為.
16、（15分）（1）由題意且，
，解得或3.
當時，，則有或；有；
極小值為，不合題意.
當時，，則有或；有；
上遞增，上遞減，上遞增；
極大值.
綜上，.
（2）由（1），極大值，極小值，又因為有且只有3個零點.
，，；，；.
17. （15分）（1）.
令，則，，
函數的對稱中心為，.
（2）由可知，
化簡有，
，，，
（3）由可得， 即，
又，所以
由正弦定理有
所以
，
因為為銳角三角形，所以，解得
所以，則，
所以，則，所以的周長的取值范圍為.
18.（1）當時，
所以，
令，得，
因為，得，，
所以，故在單調遞增；
所以，所以在單調遞增，
故在上的最小值為.
（2）由題得
得當時，恒成立，
整理得恒成立，
令，顯然，，
要使時，恒成立，則
，所以有，
驗證，當時，
令，，
令
，
故在單調遞增；
所以，
故在單調遞增；
所以，
故在單調遞增；
所以，故符合題意.
當時，由前面可知在上為單調增函數，
且，時，，
所以存在，使得，
則當時，，所以在上單調遞減，
所以，這與時，恒成立矛盾，所以不合.
綜上可知a的取值范圍為.
19.（17分）（1），
當時，，在點處的切線方程為，與x軸的交點橫坐標為，所以，，在點處的切線方程為，與x軸的交點為，所以方程的二次近似值為1.8.
（2）由題可知，，，，
所以在處的切線為，即；
設，，
則，顯然單調遞減，令，解得，
所以當時，，則在單調遞增，
當時，，則在單調遞減，
所以
所以，即.
（3）由， 得，
當時，；當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以是的極大值點，也是的最大值點，即，
又時，，時，，
所以當方程有兩個根時，必滿足；
曲線過點和點的割線方程為
下面證明：
設，則
所以當時，；當時，，
所以在上單調遞增，
在上單調遞減，，
所以當時，，即（當且僅當或時取等號），由于，所以，解得；①
下面證明當時，，
設，，因為，
所以當時，（當且僅當時取等號），
由于所以，解得，②
①+②，得.

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