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【期中卷】高二數學精選模擬（人教A版）1
一、單選題（共8題，共 40 分）
1. （5分）已知橢圓：的一個焦點為，則橢圓的離心率為(　　)
A. B. C. D.
2. （5分）在三棱錐中，，，是的中點，滿足，則異面直線，所成角的余弦值為（　）．
A. B. C. D.
3. （5分）曲線與直線有兩個不同交點，實數的取值范圍是（　）．
A. B. C. D.
4. （5分）如圖，在正方體中，點是線段上的動點（含端點），點是線段的中點，設與平面所成角為，則的最小值是（　）．
A. B. C. D.
5. （5分）已知雙曲線：，為坐標原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若為直角三角形，則（　）．
A. B. C. D.
6. （5分）設，是橢圓：的左、右焦點，是橢圓上的一點且滿足的面積是，則（　）．
A. B. C. D.
7. （5分）如下圖，邊長為的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．當三棱錐體積最大時，則面與面所成二面角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.
8. （5分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線、，經過右焦點且垂直于的直線分別交、于、兩點，且，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C. D.
二、多選題（共3題，共 18 分）
9. （6分）已知空間三點, , ，則下列說法正確的是（　）．
A. B.
C. D.
10. （6分）已知圓，直線，則（　）．
A. 直線過定點
B. 直線與圓可能相離
C. 圓被軸截得的弦長為
D. 圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為
11. （6分）已知雙曲線的左，右頂點分別為，，點，是雙曲線上關于原點對稱的兩點（異于頂點），直線，，的斜率分別為，，，若，則下列說法正確的是（　）．
A. 雙曲線的漸近線方程為 B. 雙曲線的離心率為
C. 為定值 D. 的取值范圍為
三、填空題（共3題，共 15 分）
12. （5分）點關于直線對稱的點坐標為 　　　 ．
13. （5分）點為橢圓上一點，、分別是圓和上的動點，則的取值范圍是 　　　 ．
14. （5分）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，是雙曲線右支上的一點，與軸交于點，的內切圓在上的切點為，若，則雙曲線的離心率是 　　　　 ．
四、解答題（共5題，共 77 分）
15. 已知圓的圓心坐標為，且圓與軸相切．
（1）（6分）已知，，點是圓上的任意一點，求的最小值．
（2）（7分）已知，直線的斜率為，且與軸交于點．若直線與圓相離，求的取值范圍．
16. 如圖，點，分別是橢圓（）的左、右焦點，點是橢圓上一點，且滿足軸，，直線與橢圓相交于另一點．
（1）（7分）求橢圓的離心率．
（2）（8分）若的周長為 ，求橢圓的標準方程．
17. 如圖，在三棱錐中，，，為的中點．
（1）（6分）證明：平面．
（2）（9分）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
18. 已知點、為雙曲線：的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且．
（1）（7分）求雙曲線的方程．
（2）（10分）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值．
19. 已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．
（1）（5分）求橢圓的方程．
（2）（12分）已知點滿足，點在橢圓上(異于橢圓的頂點)，直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．
參考答案
一、單選題（共8題，共 40 分）
1【答案】C
【解析】解：由橢圓：的一個焦點為，
可得，解得，
，
．
故選：C．
2【答案】D
【解析】三棱錐中，由于，，
則三棱錐可以補在長方體中，
則設長方體的長寬高分別為，，，
則，，，
解得，，，
如圖，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，
，，
所以，
則異面直線，所成角的余弦值為，
故選．
3【答案】D
【解析】解：可化為，，
所以曲線為以為圓心，為半徑的圓的部分．
直線過定點，
由圖知，當直線經過點時恰與曲線有兩個交點，順時針旋轉到與曲線相切時交點變為一個，
，由直線與圓相切得，解得，
則實數的取值范圍為．
故選：．
4【答案】A
【解析】如圖，以點為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
設，，
不妨設，則，，，，，
故，，
，，
則
，
設平面的法向量為，
則，
可取，
則
，
所以
，
當時，，
當時，
，
當，即時，，
綜上所述，的最小值是，
故選：．
5【答案】B
【解析】解：雙曲線：的漸近線方程為，漸近線的夾角為，不妨設過的直線為，
聯立，可得，
聯立，可得，
則．
故選：．
6【答案】B
【解析】不妨設，，
則，，
在中，①，
由余弦定理易得：，
即②，
由①②可得：，
∴③，
又④，
由③④解得：或（舍），
，
∴．
故選．
7【答案】B
【解析】解：的面積為定值，
要使三棱錐體積最大，則三棱錐的高最大，
此時為圓弧的中點，
建立以為原點，如圖所示的空間直角坐標系，
正方形的邊長為，
，，，
則平面的法向量為，
設平面的法向量為，
則，，
由，，
令，
則，，即，
則，
則面與面所成二面角的正弦值．
8【答案】A
【解析】雙曲線，其漸近線方程為，直線經過右焦點且垂直于，有直線：，聯立，解得，，且，，，化簡得，離心率．
二、多選題（共3題，共 18 分）
9【答案】A C
【解析】A 選項：，，，
故，故正確；B 選項：令，即，無解，故錯誤；C 選項：，故正確；D 選項：，故錯誤．故選 AC.
10【答案】A C
【解析】直線，
由，得，
即恒過定點，故選項正確；
點與圓心的距離，
故直線與圓恒相交，故選項錯誤；
令，則，可得，
故圓被軸截得的弦長為，故選項正確；
要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線，
所以直線的斜率，可得，
故直線為，故選項錯誤．
故選．
11【答案】B C D
【解析】設，則，
因為，，
故，
依題意有，
所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，
離心率，故選項錯誤，選項正確；
因為點，關于原點對稱，
所以四邊形為平行四邊形，即有，
所以，故正確；
設的傾斜角為，的傾斜角為，
由題意可得，則，
根據對稱性不妨設在軸上方，則，則，
則
，
因為在軸上方，則，或，
函數在和上單調遞增，
所以，故正確．
故選．
三、填空題（共3題，共 15 分）
12【答案】
【解析】解：設對稱點的坐標為，
所以，解得，
故對稱點的坐標為．
故答案為．
13【答案】
【解析】解：依題意，橢圓的焦點分別是
兩圓和的圓心，
所以，
，
則的取值范圍是．
故答案為：．
14【答案】2
【解析】解：如圖，記、分別與的內切圓相切于點、，
則，，，，
則，
則，
則，
即，則．
由得，
則．
故答案為：．
四、解答題（共5題，共 77 分）
15（1）【答案】
【解析】解：當時，圓的方程為，
又，
的最小值為．
15（2）【答案】
【解析】直線的斜率為，且與軸交于點，
直線的方程為，即，
直線與圓相離，
，又，則，解得，
的取值范圍為．
16（1）【答案】．
【解析】在中，∵，
∴，，
由橢圓的定義，，，
∴橢圓離心率．
16（2）【答案】．
【解析】周長，
則 ，
∵，∴，則，
∴橢圓的標準方程為．
17（1）【答案】證明見解析．
【解析】連接，
∵，是的中點，
∴且，
又，
∴，，
則，則，
∵，
∴平面．
17（2）【答案】．
【解析】建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系，
如圖：
，，，，，，
設，，
則
，
平面的法向量為，
設平面的法向量為，
，，
則，
令，則，，
即，
∵ 二面角為，
∴，
即，
解得或（舍），
則平面的法向量，
又，
設與平面所成角為，
則．
18（1）【答案】．
【解析】方法一：由題意得：，，
∵，
∴，
，
，
解得：或（舍去），
∴雙曲線的方程為．方法二：由題意知，設點的坐標為，
因為點在雙曲線上，
所以，
所以，即，
在中，，，
所以，
由雙曲線的定義可知，
故雙曲線的方程為．
18（2）【答案】．
【解析】由（）可知雙曲線的兩條漸近線方程分別為：，：．
設，與的夾角為，
則點到兩條漸近線的距離分別為，，易得，
因為在雙曲線：上，
所以，
所以
．
19（1）【答案】
【解析】解：由已知可得，記半焦距為，由，可得，
由，可得，
橢圓的方程為．
19（2）【答案】或
【解析】方法一：解：直線與以為圓心的圓相切于點，
，
根據題意可得直線和直線的斜率均存在，設直線的方程為，
由方程組，消去可得，解得，或，
依題意可得點的坐標為，
為線段的中點，點的坐標為，
點的坐標為，
由，可得點的坐標為，
故直線的斜率為，
，
，
整理可得，
解得或，
直線的方程為或．方法二：點差法．
，，設，
∴．
∴，．
將、兩點代入橢圓中，，
∴．
∴或（舍）．
∴或．
∴的方程為或．

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