資源簡介

2024級高一上期半期考試
數學試題
數學試題共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘. 注意事項：
1.答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡 皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
第Ⅰ卷(選擇題 ，共58分)
一、單選題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項
中，只有一項符合題目要求）.
1 ．已知集合A = {x | -1 < x ≤ 2}, B = {x | -2 < x ≤ 1} ，則A UB = ( )
A ．{x | -1 < x < 1} B ．{x | -1 < x ≤ 1}
C ．{x | -2 < x < 2} D ．{x | -2 < x ≤ 2}
2 ．函數f 的定義域為 ( )
D .
3 ．已知集合A 滿足A ≤ {0, 1, 2, 3} ，則滿足條件的集合A 的個數為 ( )
A ．8 B ．10 C ．14 D ．16
4 ．已知函數f(x) 滿足f(x + 2) = 3x + 4 ，則f (2) = ()
A ．-2 B ．1 C ．4 D ．7
5 ．下列命題為真命題的是 ( )
A ．若a > b ，則a2 > b2 B ．若a > b ，則ac2 > bc2
C ．若a > b ，則 D ．若a > b > 0 ，則
6 ．已知 x>3 ，則對于y = x + 下列說法正確的是 ( )
A．y 有最大值 7 B．y 有最小值 7 C．y 有最小值 4 D．y 有最大值 4
7 ．設x, y ∈ R ，下列說法中錯誤的是 ()
A ．“ x > 1”是“ x2 > 1”的充分不必要條件
B ．“ x > 1 ，y > 1 ”是“x + y > 2 ，xy > 1 ”的充要條件
C ．“ xy = 0 ”是“ x2 + y2 = 0 ”的必要不充分條件
D ．“ x2 ≠ 4”是“x ≠ 2”的充分不必要條件
8 ．當x ∈(一1, 1) 時，不等式2kx2 一 kx 一 恒成立，則k 的取值范圍是 ()
A ．(一3, 0) B ．[一3, 0) C ． D .
二、多選題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項
中，有兩項或兩項以上符合題目要求）.
9 ．已知p：“ x ∈ R ，x2 一 (a + 1)x + 1 > 0 恒成立”為真命題，下列選項可以作為p 的 充分條件的有 ()
A ．一3 < a < 0 B ．a ≤ 一3或a ≥ 1
C ．0 < a < 1 D ．一3 < a < 1
10 ．下列說法正確的是 ()
A ． 1+x . 1一x 與y = 1一x2 表示同一個函數
B ．已知函數f (x) 的定義域為[一3, 1] ，則函數f (2x 一1) 的定義域為[一1, 1]
C ．函數y = x + 的值域為[0, +∞)
D ．已知函數滿足f = x ，則f = 一
11．已知集合{x x 2 + ax +b = 0,a > 0}有且僅有兩個子集，則下面正確的是 ()
A ．a2 一 b2 ≤ 4
B .
C ．若不等式x2 + ax 一 b < 0 的解集為(x1, x2 ) ，則x1x2 > 0
(
x
1
一
x
2
)D ．若不等式x2 + ax + b < c 的解集為(x1, x2 ) ，且
= 4 ，則 c = 4
第Ⅱ卷（非選擇題，共 92 分）
三、填空題（本大共 3 小題 ，每小題 5 分,滿分 15 分）.
12 ．命題“x > 0, 2x2 + x +1 > 0”的否定是 .
13 ．設函數f(x) ，g (x) 分別由下表給出：
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g (x) 3 2 3 2
則滿足f(g(x)) = g(f(x)) 的x 的值為 .
14．設函數 0 ，若f 則實數a 的取值范圍是 .
四、解答題（本題共計 5 小題，共 77 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演 算步驟）.
15 ．（13 分）已知函數
(1)在如圖給定的直角坐標系內畫出f (x) 的圖象；
(2)求不等式f (x) > 1 的解集.
16 ．（15 分）已知函數f (x) = x2 一 2bx + 3, b ∈R .
(1)若函數f (x ) 的圖象經過點(4, 3) ，求實數b 的值；
(2)在（1）的條件下，求不等式f (x) < 0 的解集；
(3)解關于x 的不等式2x2 + (1一 2a) x 一 a > 0 .
17 ．（15 分）通過技術創新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場．2023 年， 該種玻璃售價為 25 歐元/平方米，銷售量為 80 萬平方米，銷售收入為 2000 萬歐 元.
(1)據市場調查，若售價每提高 1 歐元/平方米，則銷售量將減少 2 萬平方米；要 使銷售收入不低于 2000 萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/ 平方米？
(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在 2024 年對該種玻璃實施二次技術 創新和營銷策略改革：提高價格到m 歐元/平方米（其中m > 25 ），其中投入
萬歐元作為技術創新費用，投入 500 萬歐元作為固定宣傳費用，投入2m 萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量n （單位/萬平方米）至少達 到多少時，才可能使 2024 年的銷售收入不低于 2023 年銷售收入與 2024 年投入 之和？并求出此時的售價.
18 ．（17 分）命題p :任意x ∈ R, x2 一 2mx 一 5m > 0 成立；命題 q : 3x ∈[0, 4], x2 一 2x 一 3 + m ≥ 0 成立.
(1)若命題p 為真命題，求實數m 的取值范圍；
(2)若命題p, q 至少有一個為真命題，求實數m 的取值范圍；
19．（17 分）問題：正實數a, b 滿足a + b = 1 ，求 的最小值．其中一種解法是： +2 ≥3 +2 當且僅當且a + b = 1 時，即
a = 一1且b = 2 一 時取等號．學習上述解法并解決下列問題：
(1)若正實數x, y 滿足x + y = 1 ，求 的最小值；
(2)若實數a, b, x, y 滿足 一 試比較a2 一 b2 和(x 一 y )2 的大小，并指明等號成立
的條件；
(3)求代數式3m一5 一 一2 的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.
2024級高一上期半期考試
數學參考答案
單選題
1～5:DDDCD 6～8:BBD
多選題
9:ACD 10:ABD 11:ABD
填空題
12 ． 3x > 0, 2x2 + x +1≤ 0 13 ．2 或 4 14 ． (-∞,
解答題
15 ．（滿分 13 分）
解：（1）當-1 ≤ x ≤ 2 時：
x - 1 0 1 2
f(x) 2 3 2 - 1
當2 < x ≤ 5 時：
x 2 5
f(x) - 1 2
………………………………………………………………………………………………（1 分）
圖像如下：
(
（
6
分）
)………………………………………………
( 2 ) 令f (x ) > 1 則
當-1 ≤ x ≤ 2 時，f (x) > 1 3 - x2 > 1，……………………………………………………（7 分）
所以x2 - 2 < 0 ，解得- 2 ≤ x ≤ ·2 ，………………………………………………………（8 分）
所以-1≤ x < ·2 ； …………………………………………………………………………（9 分）
當2 < x ≤ 5 時，f (x ) > 1 x - 3 > 1 ，……………………………………………………（10 分）
解得x > 4 ，所以4 < x ≤ 5 ；………………………………………………………………（11 分）
綜上， -1≤ x < ·2 或4 < x ≤ 5 ……………………………………………………………（12 分）
所以f (x)> 1 的解集為[-1, ) (4, 5]．…………………………………………………（13 分）
16 ．(滿分 15 分）
解：（1）因為f (x) = x2 - 2bx + 3 的圖象經過點(4, 3)，
所以f (4) = 42 - 8b + 3 = 3 ，則b = 2 ； ……………………………………………………（2 分）
（2）由（1）得f (x ) = x2 - 4x + 3 = (x -1)(x - 3) < 0 ，…………………………………（4 分）
解得1 < x < 3 ，………………………………………………………………………………（5 分）
所以不等式f (x)< 0 的解集為{x 1 < x < 3 }；………………………………………………（6 分）
（3）:2x2 + (1 - 2a )x - a > 0, : (x - a )(2x +1 )> 0 ，………………………………………（8 分）
當a > - 時，不等式的解集為；……………………………………
當a < - 時，不等式的解集為；……………………………………
當a = - 時，不等式的解集為 .………………………………………………
綜上所述：
當a > - 時，不等式的解集為 當a < - 時，不等式的解集為{l (〔)x∣x < a或x > -
(
1
〔
1
)
)當a = - 2 時，不等式的解集為{lx x ≠ - 2,} ………………………………………………（15 分）
17 ．（滿分 15 分）
解：（1）設該種玻璃的售價提高到x (x ≥ 25) 歐元/平方米，……………………………（1 分）
則有80 - 2(x - 25) x ≥ 2000 ，……………………………………………………………（3 分）
解得：25 ≤ x ≤ 40 ，…………………………………………………………………………（4 分）
所以該種玻璃的售價最多提高到 40 歐元/平方米. …………………………………………（5 分）
（2） 由題mn ≥2000 + 500 + 2m +m2 -600) ， ………………………………………（7 分）
整理得：mn ≥1500 + 2m + m2 ，…………………………………………………………（8 分）
除以m 得：n ≥m + 2 ，…………………………………………………………
由基本不等式得：
當且僅當 m ，即m = 30 > 25 時，等號成立，…………………………………（14 分）
所以該種玻璃的銷售量n 至少達到 102 萬平方米時，才可能使2024 年的銷售收入不低于2023
年銷售收入與2024 年投入之和，此時的售價為 30 歐元/平方米.………………………（15 分）
18 ．（滿分 17 分）
解：（1）對于命題p : 對任意x ∈ R ，不等式x2 - 2mx - 5m > 0恒成立，
則有Δ = 4m2 + 4× 5m = 4m( m + 5) < 0，……………………………………………………（2 分）
解的-5 < m < 0 ；……………………………………………………………………………（3 分）
綜上，當p 為真時，實數m 的取值范圍是{m | -5 < m < 0}………… …………………（4 分）
（2）對于命題q : 存在x ∈[0, 4] ，使得不等式x2 - 2x - 3 + m ≥ 0 成立，
只需(x2 - 2x - 3 + m)max ≥ 0 ，而x2 - 2x - 3 + m = (x -1)2 + m - 4 ，………………………（6 分）
: x = 4, (x2 - 2x - 3+ m )max = 9 + m - 4 = m + 5 ，: m + 5 ≥ 0 ，則m ≥ -5 ，………………（8 分）
所以當命題q 為真時，實數m 的取值范圍是m ≥ -5 ，……………………………………（9 分）
從而當命題p 為假命題， q 為真命題時，
m ≤ -5 或m ≥ 0 且m ≥ -5 ，則m ≥ 0 或m = -5 ； （11 分）
當命題p 為真命題，q 為假命題時，-5 < m < 0 且m < -5 ，無解； （13 分）
(
〔-
5
<
m
<
0
l
m
≥
-
5
)當命題p 為真命題，q 為真命題時，{ ，則-5 < m < 0 ；……………………（15 分）
綜上所述：m ≥ -5 .…………………………………………………………………………（16 分）
所以當命題p ，q 至少有一個為真命題時，實數m 的取值范圍是{m | m ≥ 5}…………（17 分）
19 ．（滿分 17 分）
解：（1）因為x > 0, y > 0 且x + y = 1，
所以 ≥ 5 + 2 = 5 + 26 ，…………………
當且僅當 即x = - 2, y = 3 - 時取等號，…………………………………（3 分）
y x
所以x + y 的最小值是5 + 26 ．……………………………………………………………（4 分）
(
………（
6
分）
)
(
又由
) (
等號成立，
……（
7
分）
)，當且僅當 時，
(
(
)
) (
2
) (
2
2
) (
，…………………（
8
分）
) (
2
) (
≤
+
-
=
-
) (
xy
x y
xy
x
y
)所以x2 + y2 - ≤ x2 + y2 -2
(
當且僅當
) = 且x, y 同號時等號成立，所以a2 -b2 ≤ (x - y )2 ，
2 2
(
此時
x
,
y
也滿足
)a (x)2 - b (y)2 = 1 . …………………………………………………………………（9 分）
(
，可得
m
≥
2
，………………………（
11
分）
) (
（
3
）令
)x = 3m - 5, y = m - 2 ，由
則x2 - y2 = (3m -5) -( m - 2) = 2m -3 > 0，………………………………………………（12 分）
(
，………………………………………（
13
分）
)因為x > 0, y > 0 ，所以x > y ，構造
(
因此
a
2
=
1,
b
2
=
) (
…………………………………（
14
分）
)由x2 - 3y2 = 1 ，可得
(
a
2
-
b
2
) (
1
1
-
3
)
(
、
6
=
，
) (
由（
2
）知
) (
=
)M = ·3m - 5 - ·m - 2 = x - y ≥
3
(
取等號時
x
2
=
3
y
2
且
x
,
y
)同正，………………………………………………………（15 分）
(
6
) (
6
) (
3
m
-
5
) (
結合
x
2
-
3
y
2
=
1
，解得
) (
，即
) (
…………………（
16
分）
) (
x
=
) (
,
y
=
) (
2
) (
6
) (
6
)
(
M
取得最小值
) (
所以
時，
)．……………………………………………………（17 分）
3

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