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重慶
2024－2025學(xué)年度（上）高2026屆期中考試
數(shù)學(xué)試題
（滿分150分，120分鐘完成）
命題人 數(shù)學(xué)命題組
審題人 數(shù)學(xué)命題組
一、單選題（共8個小題，每小題5分，共40分.每小題的四個選項中，只有一個符合題目要求）
1.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（ ）
A.和2 B.和2 C.和 D.和
2.若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（ ）
A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D
3.若直線和直線平行，則與之間的距離為（ ）
A. B. C. D.
4.“”是“曲線表示橢圓”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.如圖，空間四邊形中，點M、N分別是、的中點，設(shè)，則（ ）
A.－1 B.0 C. D.1
6.如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，，為半圓弧的中點，若異面直線和所成角的余弦值為，則該幾何體的體積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知圓的圓心為點，直線與圓交于，兩點，點在圓上，且，若，則（ ）
A.6 B.8 C. D.
8.對于平面上點和曲線，任取上一點，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作.下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）
①若曲線是一個點，則點集所表示的圖形的面積為；
②若曲線是一個半徑為2的圓，則點集所表示的圖形的面積為；
③若曲線是一個長度為2的線段，則點集所表示的圖形的面積為；
④若曲線是邊長為9的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多選題（3個小題，每小題6分，共18分.每小題的四個選項中，有多個符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部份分，有選錯的得0分）
9.下列四個結(jié)論不正確的是（ ）
A.任意向量，，若，則或
B.若空間中任意四點，，，滿足，則，，三點共線
C.空間中任意向量，，都滿足
D.已知向量，，若，則為鈍角
10.直線的傾斜角可以為（ ）
A. B. C. D.
11.已知正方體棱長為1，動點滿足，則下列選項正確的是（ ）
A.當(dāng)時，直線平面
B.當(dāng)，，時，點到直線的距離為
C.當(dāng)，，時，的值可能為3
D.當(dāng)且，當(dāng)時，點的軌跡長度為
三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）
12.已知量，，當(dāng)時，實數(shù)的值為__________.
13.已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點坐標(biāo)為，且橢圓的兩個焦點和短軸的一個端點構(gòu)成一個等腰直角三角形，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.
14.已知圓上有一動點，記點到直線的距離為，平面上有一定點，則的最小值為__________.
四、解答題（15題13分，16、17題每題15分，18、19題每題17分，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15.已知，，.
（1）求點到直線的距離；
（2）求的外接圓的方程.
16.如圖，在四棱錐中，，，平面，，，分別是棱，的中點.
（1）證明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
17.已知圓關(guān)于直線對稱，且過點.
（1）求證：圓與直線相切；
（2）若直線過點與圓交于、兩點，且，求此時直線的方程.
18.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，，平面平面.
（1）求證：平面；
（2）若，，點在棱上，且二面角的大小為.
設(shè)是線段上的點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
19.行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，二階行列式其運(yùn)算法則如下：.若，則稱為空間向量與的向量積，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知，是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點，且，，三點不共線.
（1）①若，，求；
②求證：是平面的一個法向量；且.
（2）①記的面積為，證明：.
②三棱錐，其中，，，求三棱錐的體積.（用，，表示）
（3）如圖，，兩點分別是三角形的兩條邊，上的動點（不含端點），其中的中點為，其中的中點為.求證：三角形面積是四邊形面積的四分之一.

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