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安徽2024-2025學年第一學期期中考查
高二數學試題
考試時間：120分鐘 滿分：150分
一 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知，則（ ）
A. B. C. D.
2.如圖，空間四邊形中，，點在上，且，點為中點，則等于（ ）
A. B.
C. D.
3.在空間直角坐標系中，已知點，點，則（ ）
A.點和點關于軸對稱 B.點和點關于軸對稱
C.點和點關于軸對稱 D.點和點關于原點中心對稱
4.已知直線的斜率的范圍為，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A.或 B.
C. D.或
5.已知點，則外接圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
6.與橢圓有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是橢圓的兩個焦點，焦距為6.若為橢圓上一點，且的周長為16，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知是圓上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二 多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知直線和直線，下列說法正確的是（ ）
A.直線始終過定點 B.若，則或
C.若，則或 D.當時，不過第四象限
10.點在圓上，點在圓上，則（ ）
A.兩個圓的公切線有2條
B.的取值范圍為
C.兩個圓上任意一點關于直線的對稱點仍在該圓上
D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為
11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，是線段上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）
A.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為
B.點到平面的距離為
C.點到所在直線的距離為2
D.若線段的中點為，則一定平行于平面
12.雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布 伯努利用來描述他所發現的曲線.在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知曲線為一條雙紐線，曲線上的點到定點的距離之積為4，點是曲線上一點，則下列說法中正確的是（ ）
A.點在曲線上
B.面積的最大值為1
C.點在橢圓上，若，則點也在曲線上
D.的最大值為
三 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.直線過點且在兩坐標軸上的截距相等，則直線的一般式方程為__________.
14.已知圓與圓相交，則的取值范圍為__________.
15.加斯帕爾 蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點，過可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是__________.
16.閱讀材料：數軸上，方程可以表示數軸上的點；平面直角坐標系中，方程不同時為0可以表示坐標平面內的直線；空間直角坐標系中，方程不同時為0可以表示坐標空間內的平面.過點且一個法向量為的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.
四 解答題：本題共6小題，共66分.解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分8分）
已知的頂點邊上的中線所在直線方程邊上的高所在直線方程為.
（1）求頂點的坐標；
（2）求直線的斜率.
18.（本小題滿分10分）
已知圓的方程為.
（1）過點的直線截圓所得弦長為，求直線的方程；
（2）過直線上任意一點向圓引切線，切點為，求的最小值.
19.（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為2的正三角形，，平面平面.
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
20.（本小題滿分12分）
已知直線與橢圓交于兩點，線段的中點坐標為.
（1）求直線的方程；
（2）求的面積.
21.（本小題滿分12分）
如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點.
（1）證明：平面；
（2）在棱（不包括端點）上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.
22.（本小題滿分12分）
已知橢圓分別為橢圓的左頂點和上頂點，為右焦點.過的直線與橢圓交于的最小值為，且橢圓上的點到的最小距離為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓的右頂點為是橢圓上的動點（不與頂點重合）.若直線與直線交于點，直線與軸交于點.記直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值.
安徽高二期中考試數學答案
一 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D A B C A
8.【詳解】由題設知，圓的圓心坐標，半徑為2，因為，所以.
設為的中點，所以.所以點的軌跡方程為.
其軌跡是以為圓心，半徑為的圓.設點到直線的距離分別為，所以，
所以.因為點到直線的距離為，
所以，即，
所以.所以的取值范圍為.故選：A.
二 多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9 10 11 12
AC BC BCD ACD
12.【詳解】對選項A，動點，由題可得的軌跡方程.
把點代入上式，上式顯然成立.所以點在曲線上，故A正確；
對選項B，.當時，即當時，即當或時，，
此時，的面積取得最大值，即，故B錯誤；
對選項C，橢圓上的焦點坐標恰好為與，則，
又，所以，故，
所以點也在曲線上，C正確；
對選項D，因為，所以
由余弦定理得，于是有
因此.
所以，當且僅當，等號成立，
所以的最大值為，故D正確.故選：ACD.
三 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.或
14.
15.
16.
15.【詳解】由題可知，點在橢圓的蒙日圓上，又因為點在直線上，所以，問題轉化為直線和蒙日圓有公共點.由橢圓方程可知蒙日圓半徑為，所以蒙日圓方程為，因此，需滿足圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，所以橢圓離心率，所以.故答案為：.
16.【詳解】平面的方程為，所以平面的法向量可取，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
設兩平面的交線的方向向量為，由，
所以可取.設直線與平面所成角的大小為，
則.故答案為：.
四 解答題：本題共6小題，共66分.解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.
17.【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）高所在直線方程為，其斜率為，故直線的斜率為，則直線的方程為：，即，
聯立方程與中線所在直線方程，可得，
故點的坐標為.
（2）設點的坐標為，由點在直線上可得；
的中點的坐標為，點的坐標滿足直線方程，即；
故可得，即點坐標為.
則直線的斜率為.
18.【答案】（1），或；（2）6.
【詳解】（1）圓的標準方程為.
①當斜率不存在時，直線的方程為：，直線截圓所得弦長為，
符合題意；
②當斜率存在時，設直線，
圓心到直線的距離為
根據垂徑定理可得，，解得.
直線的方程為，或
（2）圓心.因為與圓相切，所以.
當最小.所以.
所以
19.【答案】（1）證明見解析（2）
【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，
因為是邊長為2的正三角形，所以，
在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）由（1）得，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
如圖，以點為原點，分別以為軸正方向建立空間直角坐標系.
因，則.
設平面的法向量為，則有，
令，則，所以，
因為，記直線與平面所成角為，則
所以直線與平面所成角的正弦值為.
20.【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）設，
由是橢圓上兩點得，，
兩式相減得，即，
因為線段的中點坐標為，所以，
所以，即，所以直線的方程為，
即.
（2）由得，，則，
所以，
點到直線的距離，
所以.
21.【答案】（1）證明見解析（2）不存在
【詳解】（1）如圖，取中點，取中點，
因為為等邊三角形，所以，平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，又底面為矩形，則.
以為坐標原點，分別為軸，軸，軸
建立空間直角坐標系，
由題意可得，，
，已知是的中點.則，可知，，由四邊形為平行四邊形，
得，設平面的法向量，
則，取，得，則平面的一個法向量
故，
則.且平面，則平面.
（2）設.設.因為，所以.于是有.所以.
又.設平面法向量，則
即：
所以平面的一個法向量為.平面的一個法向量為.則，
化簡得.所以無實數解，不存在這樣的點.
22.【答案】（1）（2）
【詳解】（1）由題意得，又，解得，
橢圓的標準方程為.
（2）因為.所以直線的方程為，
直線的方程為.
由，解得，所以.
由，得，由
，
則，所以，則，
，
因為不重合，所以，即，又，
所以，
直線的方程為，
令得.
，
，
當時，取得最小值為.

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