資源簡介

2024-2025學年度第一學期期中試卷
高二數學
2024年11月
本試卷共4頁，共150分．考試時長120分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第一部分（選擇題，共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．已知直線l的傾斜角為，則l的斜率為（ ）
A. B. C. D.
2．已知點P在橢圓上，點，，則（ ）
A.2 B. C. D.
3．已知圓關于直線對稱，則實數（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
4．以為圓心，并且與x軸相切的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
5．已知點Q為直線l∶上的動點，點P滿足，記P的軌跡為E，則（ ）
A.E上的點到l的距離均為 B.E是一條與l相交的直線
C.E是一個半徑為的圓 D.E是兩條平行直線
6．如圖，三棱錐中，平面ABC，，且為邊長等于2的正三角形，則DA與平面DBC所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
7．已知點M是直線上的動點，O是坐標原點，則以OM為直徑的圓一定經過點（ ）
A.和 B.和 C.和 D.和
8．已知橢圓C：的離心率為e，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
9．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點P到平面QGC的距離是（ ）
A. B. C. D.1
10．如圖，已知正方體的棱長為1，點M為棱AB的中點，點P在正方形的邊界及其內部運動．以下四個結論中錯誤的是（ ）
A.存在點P滿足 B.存在點P滿足
C.滿足的點P的軌跡長度為 D.滿足的點P的軌跡長度為
第二部分 （非選擇題，共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11．橢圓的離心率為______．
12．已知直線：，：．若，則實數m的值為______．
13．在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為______．
14．已知點P是圓上的動點，直線：，：，記P到直線，的距離分別為，（若P在直線上，則記距離為0），
（1）的最大值為______；
（2）若當點P在圓上運動時，為定值，則m的取值范圍是______．
15．伯努利雙紐線（簡稱雙紐線）是瑞士數學家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個定點距離之積為定值的點的軌跡是雙紐線．
在平面直角坐標系xOy中，到定點，的距離之積為的點的軌跡C就是伯努利雙紐線，C的方程為，其形狀類似于符號∞，若點是軌跡C上一點，給出下列四個結論：
①曲線C關于原點中心對稱；
②恒成立；
③曲線C上任一點到原點的距離不超過；
④當時，取得最大值或最小值．
其中所有正確結論的序號是______．
三、解答題共6小題，共85分．解答題應寫出文字說明、驗算步驟或證明過程．
16．（13分）
已知直線l：，．
（Ⅰ）當直線l與直線垂直時，求的值；
（Ⅱ）設直線l恒過定點P，求P的坐標；
（Ⅲ）若對任意的實數，直線l與圓總有公共點，直接寫出r的取值范圍．
17．（13分）
已知經過點，，并且圓心C在直線上，
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設過點的直線l與交于M，N兩點，若，求l的方程．
18．（14分）
已知橢圓C：的左、右焦點分別為和，長軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓C上一點，．若存在實數使得，求的取值范圍．
19．（15分）
如圖，在三棱臺中，平面ABC，，，，N為AB的中點，M為棱BC上一動點（不包含端點）．
（Ⅰ）若M為BC的中點，求證：平面；
（Ⅱ）是否存在點M，使得平面與平面所成角的余弦值為 若存在，求出BM的長度；若不存在，請說明理由．
20．（15分）
平面直角坐標系xOy中，點M到點的距離比它到x軸的距離多1，記點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設斜率為k的直線l過定點，若直線l與軌跡C恰好有一個公共點，求實數k的取值范圍．
21．（15分）
用一個矩形鐵皮制作成一個直角圓形彎管（如圖1）：將該矩形鐵皮圍成一個圓柱體（如圖2），再用一個與圓柱底面所成45°的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到直角圓形彎管．
現使用長為，寬為的矩形鐵皮制作一個直角圓形彎管，當得到的直角圓形彎管的體積最大時（不計拼接損耗部分），解答下列問題．
（Ⅰ）求該直角圓形彎管的體積；
（Ⅱ）已知在制造直角圓形彎管時截得的截口是一個橢圓，求該橢圓的離心率；
（Ⅲ）如圖3，若將圓柱被截開的一段的側面沿著圓柱的一條母線剪開，并展成平面圖形（如圖4），證明：該截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數的部分圖象，并指出該正弦型函數的最小正周期與振幅．
答案
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11． 12．－3 13． 14．3， 15．①②③
注：14題第一空3分，第二空2分；15題選對1個給3分，選對兩個給4分，有錯誤不給分．
三、解答題共6小題，共85分．解答題應寫出文字說明、驗算步驟或證明過程．
16．解：（Ⅰ）直線l的法向量為，
由題知，解得．
（Ⅱ）直線l：，
令，解得即點．
（Ⅲ）．
17．解：（Ⅰ）由，線段AB中點為，
可知線段AB的垂直平分線方程為，
由圓的對稱性知點C在AB的垂直平分線上，因此聯立解得即點．
又因為，所以，圓C：．
（Ⅱ）當的斜率不存在時，：，此時，，滿足題意；
當的斜率存在時，設：，即，
因為，所以C到的距離為，
因此，，解得，
此時，直線：，
綜上，直線的方程為或．
18．解：（Ⅰ）由題知解得
所以，C的方程為．
（Ⅱ）由橢圓的定義可知，
設點，其中，，
因為，所以，，即
當且僅當時，，時，，
因為，所以，．
綜上所述，的取值范圍是．
19．解：（Ⅰ）連接MN，由M，N分別為BC，AB的中點，知且，
因此，，且，所以，是平行四邊形，故，
因為面，面，所以，平面．
（Ⅱ）因為，AB，AC兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系，
則，，，，則，，
因為平面，所以平面的法向量為，
假設存在滿足題意的點M，且，則，
設平面的法向量為，
則有
不妨設，得，所以，，
兩邊平方，整理得，解得或（舍），經檢驗，滿足題意，
因此，存在點M，只需，即即可．
20．解：（Ⅰ）設點，由題知，
兩邊平方，并整理得
所以，軌跡C的方程為．
（Ⅱ）直線l：，當時，聯立
消去y得，，
當，即或時，有且僅有一個公共點且滿足題意；
當，即時，無公共點；
當時，令，，
當時，無公共點；當時，有一個公共點；
綜合以上可知當時，有且僅有一個公共點，
故k的取值范圍是．
21．解：（Ⅰ）當矩形的寬作為圓柱的高時，體積最大，
此時，圓柱體的底面圓的半徑為1，高為，體積為．
（Ⅱ）設該橢圓為，
因此，即，所以，．
（Ⅲ）以橢圓的短軸所在直線在底面的投影為x軸建立平面直角坐標系，
設對于底面圓上一點，則與P所連接的弧長為，
假設短軸對應的高度為0，則點P對應到橢圓上的點的高度為，
所以，截口展開形成的圖形的函數解析式為，
最小正周期為，振幅為1．

展開更多......

收起↑