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2024-2025學年第一學期期中考試高二數學試卷
學校：______姓名：______班級：______考號：______
一、單選題（每小題5分，共8小題40分）
1．已知向量，，且與互相垂直，則的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直線與直線互相平行，則實數的值為（ ）
A． B． C．2 D．或2
3．，，，若三向量共面，求實數（ ）
A． B． C． D．
4．設直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．圓心在直線上，且經過兩圓，的交點的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
6．一束光線自點出發，被平面反射到達點被吸收，那么光線所經過的距離是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一條公切線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
8．若圓上有四個不同的點到直線的距離為3，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每小題6分，3小題共18分，每題多選不給分，漏選按比例給分）
9．下列說法正確的是（ ）
A．若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為
B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
C．當點到直線的距離最大時，的值為
D．已知直線過定點且與以，為端點的線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是
10．已知圓，下列說法正確的是（ ）
A．的取值范圍是
B．若，過的直線與圓相交所得弦長為，方程為
C．若，圓與圓相交
D．若，，，直線恒過圓的圓心，則恒成立
11．已知直線，圓，點為圓上的任意一點，下列說法正確的是（ ）
A．直線l恒過定點
B．直線與圓恒有兩個公共點
C．直線被圓截得最短弦長為
D．當時，點到直線距離最大值是
三、填空題（每小題5分共3小題15分）
12．已知圓心在軸正半軸上的圓過原點，且與直線相交所得的弦長為，則圓的標準方程為______．
13．過直線上的點向圓引一條切線，設切點為A，則的最小值為______．
14．數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓．若對任意實數，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍為______．
四、解答題（本大題共77分，要求給出必要的步驟或證明過程）
15．（本題13分）如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設，，．
（1）試用向量表示向量；
（2）若，，求直線與夾角的余弦值．
16．（本題15分）三角形的頂點，邊上的中線所在直線為，的平分線所在直線為．
（1）求的坐標和直線的方程；
（2）若為直線上的動點，，，求取得最小值時點的坐標．
17．（本題15分）如圖：是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，且．
（1）求證：平面平面ABD
（2）求直線與平面所成角的正弦值。
18．（本題17分）在等腰梯形中，，，是的中點，將沿著翻折成，使平面平面，為線段的中點．
（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點，使得直線平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
19．（本題17分）已知圓關于軸對稱，圓心在直線上，與軸相交的弦長為4．
（1）求圓的方程；
（2）若點是圓上的動點，求的最大值和最小值；
（3）若在給定直線上任取一點，從點向圓引一條切線，切點為，若存在定點，恒有，求的取值范圍．

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