資源簡介

2025高考數學一輪復習-2.2-函數的單調性與最值-專項訓練
【A級　基礎鞏固】
一、單選題
1．下列函數在其定義域上單調遞增的是( )
A．y＝2x－2－x B．y＝x－3
C．y＝tan x D．y＝logx
2．函數y＝的單調遞減區間為( )
A. B．
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
3．若函數f(x)＝在(－∞，0)上單調遞減，則k的取值范圍是( )
A．k＝0 B．k>0
C．k<0 D．k≥0
4．若函數f＝－＋1，則函數g(x)＝f(x)－4x的最小值為( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
5．已知f(x)是定義在[－1,1]上的增函數，且f(x－1)A. B．
C. D．(1，＋∞)
6．已知函數f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
7．已知函數f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)
8．若函數f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|在區間[－3,0]上不是單調函數，則實數a的取值范圍是( )
A．(－3,0)∪(0,9)
B．(－9,0)∪(0,3)
C．(－9,3)
D．(－3,9)
二、多選題
9．已知f(x)是定義在[0，＋∞)上的函數，根據下列條件，可以斷定f(x)是增函數的是( )
A．對任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
10．已知函數f(x)＝－x2＋2x＋1的定義域為(－2,3)，則函數f(|x|)的單調遞增區間是( )
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
11．已知函數f(x)＝x－(a≠0)，下列說法正確的是( )
A．當a>0時，f(x)在定義域上單調遞增
B．當a＝－4時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．當a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．當a>0時，f(x)的值域為R
三、填空題
12．已知函數f(x)＝x2－2ax－3在區間[1,2]上不具有單調性，則實數a的取值范圍為________.
13．若函數f(x)＝ex－e－x，則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集為_________.
14．已知函數f(x)為單調函數，且x∈(0，＋∞)時，均有f＝1，則f(2 021)＝________.
四、解答題
15．已知函數f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)當a＝－1時，求函數f(x)的最大值和最小值；
(2)求實數a的取值范圍，使y＝f(x)在區間[－5,5]上是單調函數．
16．已知函數f(x)＝.
(1)試判斷f(x)在[1,2]上的單調性；
(2)求函數f(x)在[1,2]上的最值．
【B級　能力提升】
1．(多選題)函數f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(1－x)2
C．f(x)＝e1－x D．f(x)＝ln(x＋1)
2．(多選題)已知函數f(x)＝關于函數f(x)的結論正確的是( )
A．f(x)的最大值為3
B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，則x＝2
D．f(x)在定義域上是減函數
3．函數f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的單調遞減區間是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
4．已知函數f(x)＝若f(0)是函數f(x)的最小值，則實數a的取值范圍為( )
A．[0,2] B．[－1,2]
C．[1,2] D．[2，＋∞)
5．(多選題)已知實數x，y滿足log3x－log3yA.> B．x3C．2x－y<1 D．ln(y－x)>0
6．設f(x)是定義在區間[－2,2]上的嚴格增函數．若f(2a2－1)>f(a＋2)，則a的取值范圍是________.
7．已知定義在(0，＋∞)上的函數f(x)滿足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當x>1時，f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)證明：f(x)為單調增函數；
(3)若f＝－1，求f(x)在上的最值．
參考答案
【A級　基礎鞏固】
一、單選題
1．( A )[解析]　對于A，y＝2x－2－x，其定義域為R，導數y′＝(2x＋2－x)ln 2，則y′＝(2x＋2－x)ln 2>0，則該函數在其定義域上為增函數，符合題意；對于B，y＝x－3，為冪函數，在其定義域上不是單調函數，不符合題意；對于C，y＝tan x，是正切函數，在其定義域上不是單調函數，不符合題意；對于D，y＝logx，是對數函數，在其定義域上為減函數，不符合題意．
2．( D )[解析]　由題意，x2＋3x≥0，可得x≤－3或x≥0，函數y＝的定義域為(－∞，－3]∪[0，＋∞)．令t＝x2＋3x，則外層函數y＝在[0，＋∞)上單調遞增，內層函數t＝x2＋3x在(－∞，－3]上單調遞減，在[0，＋∞)上單調遞增，所以函數y＝的單調遞減區間為(－∞，－3]．
3．( B )[解析]　∵f(x)＝－1在(－∞，0)上單調遞減，∴k>0.
4．( D )[解析]　由f＝－＋1可得，
f＝1－＋＝2，
所以f(x)＝x2(x≠1)．
所以g(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，當x＝2時，g(x)取得最小值，且最小值為－4.
5．( A )[解析]　由題意，函數f(x)是定義在[－1,1]上的增函數，因為f(x－1)可得解得0≤x<，所以x的取值范圍是.
6．( B )[解析]　因為函數f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數，且f(2)＝0，所以當x1∈(1,2)時，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.故選B.
7．( A )[解析]　f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上單調遞增，且此時f(x)>0.f(x)＝－x2在(－∞，0]上單調遞增，
所以f(x)在R上單調遞增．
c＝log20.9<0，又b＝log32，
所以01，
即a>b>c，
所以f(a)>f(b)>f(c)．
8．( B )[解析]　化簡f(x)的解析式，利用二次函數的性質得出f(x)的單調性，從而得出單調區間端點與區間[－3,0]的關系，從而得出a的范圍．f(x)＝(1)若a＝0，當x<0時，f(x)＝x2在[－3,0]上單調遞減，不符合題意；(2)若a>0，f(x)在(－∞，－a)上單調遞減，在(－a，＋∞)上單調遞增，若f(x)在[－3,0]上不是單調函數，則－3<－a<0，即0二、多選題
9．( CD )[解析]　根據題意，依次分析選項：對于選項A，對任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不滿足函數單調性的定義，不符合題意；對于選項B，當f(x)為常數函數時，對任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函數，不符合題意；對于選項C，對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2 <0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合題意；對于選項D，對任意x1，x2∈[0，＋∞)，設x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，則函數在[0，＋∞)上為增函數，符合題意．
10．( BC )[解析]　因為函數f(x)＝－x2＋2x＋1的定義域為(－2,3)，對稱軸為直線x＝1，開口向下，所以函數f(|x|)滿足－2<|x|<3，所以－311．( BCD )[解析]　當a>0時，f(x)＝x－，
定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞增，
故A錯誤；
又x→－∞時，f(x)→－∞，
x→0－時，f(x)→＋∞，
∴f(x)的值域為R，故D正確；
當a＝－4時，f(x)＝x＋，
由其圖象(圖略)可知，B、C正確．
三、填空題
12．_(1,2)__.[解析]　函數f(x)＝x2－2ax－3的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝a，函數在(－∞，a]和[a，＋∞)上都分別具有單調性，因此要使函數f(x)在區間[1,2]上不具有單調性，只需113．[解析]　由f(x)的定義域為R，且f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x為奇函數，又易證在定義域R上，f(x)是增函數，則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等價于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，則2x＋1>－x＋2，即x>，故不等式的解集為.
14．[解析]　由已知可得f(x)＋為常函數，可設f(x)＋＝k，則f(k)＝1，且k>0，代入可求k，進而可求．因為函數f(x)為單調函數，且x∈(0，＋∞)時，均有f＝1，所以f(x)＋為常函數，設f(x)＋＝k，則f(k)＝1，且k>0，因為f(x)＝k－，所以f(k)＝k－＝1，解得k＝2，所以f(x)＝2－，則f(2 021)＝2－＝.
四、解答題
15．[解析]　(1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因為x∈[－5,5]，所以x＝1時，f(x)取最小值1，
x＝－5時，f(x)取最大值37.
(2)f(x)的對稱軸為x＝－a；因為f(x)在[－5,5]上是單調函數，
所以－a≤－5，或－a≥5，
所以實數a的取值范圍為(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
16．[解析]　(1)解法一：任取x1，x2∈[1,2]，且x1則f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝，
＝
∵x1，x2∈[1,2]，
∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，
∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.
又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，
∴<0，
即f(x2)∴f(x)在[1,2]上為減函數．
解法二：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上為減函數．
(2)由(1)知f(x)在[1,2]上為減函數，
∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，
f(x)max＝f(1)＝＝－.
【B級　能力提升】
1．( AC )[解析]　由題意知f(x)在(0，＋∞)上是減函數，A中，f(x)＝滿足要求；B中，f(x)＝(1－x)2在(0,1]上是減函數，在(1，＋∞)上是增函數；C中，f(x)＝e1－x是減函數；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函數．故選AC.
2．( AB )[解析]　當x≤1時，f(x)＝x＋2是增函數，則此時f(x)≤f(1)＝3，
當x>1時，f(x)＝－x2＋3為減函數，則此時f(x)<－1＋3＝2，綜上f(x)的最大值為3，故A正確；
f(0)＝0＋2＝2，故B正確；
當x≤1時，由f(x)＝－1時，得x＋2＝－1，此時x＝－3≤1，成立，故C錯誤；
當x≤1時，f(x)＝x＋2是增函數，故D錯誤，故選AB.
3．( A )[解析]　由已知易得即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上單調遞減．
4．( A )[解析]　要使f(0)是函數f(x)的最小值，則當x≤0時，函數f(x)＝(x－a)2應為減函數，
那么此時f(x)＝(x－a)2圖象的對稱軸應位于y軸上或y軸右側，即a≥0.
當x>0時，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，當且僅當x＝1時取等號，
則2＋a≥f(0)＝a2，解得－1≤a≤2，
所以0≤a≤2.故選A.
5．( ABC )[解析]　根據題意，設f(x)＝log3x－x，易得f(x)在區間(0，＋∞)上為增函數，若log3x－log3y，正確，對于B，若00，但ln(y－x)無法判斷符號，錯誤，故選ABC.
6．.[解析]　由題意，函數f(x)是定義在區間[－2,2]上的嚴格增函數，
因為f(2a2－1)>f(a＋2)，
可得解得－≤a<－1，
所以實數a的取值范圍是.
7．[解析]　(1)∵函數f(x)滿足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)證明：設x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則>1，
∴f>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝f(x2)＋f－f(x2)＝f>0，
即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數，
若f＝－1，則f＋f＝f＝－2，
即f＝f(1)＝f＋f(5)＝0，即f(5)＝1，
∴f(5)＋f(5)＝f(25)＝2，f(5)＋f(25)＝f(125)＝3，
∴f(x)在的最小值為－2，最大值為3.

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