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南京2024—2025學(xué)年度第1學(xué)期
高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷
命題人：高二數(shù)學(xué)備課組 審閱人：高二數(shù)學(xué)備課組
一．選擇題
1．過兩點(diǎn)和的直線在x軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
2．過圓上一點(diǎn)作圓的切線l，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
3．若，則“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．若拋物線上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
5．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．若直線上存在到曲線T上一點(diǎn)的距離為d的點(diǎn)，則稱該直線為曲線T的d距離可相鄰直線．已知直線為圓的3距離可相鄰直線，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為雙曲線右支上的一點(diǎn)．若M在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．已知A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)．若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
二．多選題
9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．的周長(zhǎng)為5
C． D．
10．已知，，在下列方程表示的曲線上，存在點(diǎn)P滿足的有（ ）
A． B． C． D．
11．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線．已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足（a，且均為常數(shù)）．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形 B．的最小值為2a
C．曲線E與x 軸可能有三個(gè)交點(diǎn) D．時(shí)，曲線E上存在Q點(diǎn)，使得
三．填空題
12．與雙曲線有公共漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的方程為______．
13．若直線l過拋物線的焦點(diǎn)．與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．則弦AB的長(zhǎng)為______．
14．已知點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)．若以點(diǎn)P，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為______．
四．解答題
15．已知直線與直線．
（1）當(dāng)時(shí)，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求與之間的距離．
16．已知點(diǎn)，，點(diǎn)P滿足．
（1）求點(diǎn)P的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)分別作直線MN，RS，交曲線于M，N，R，S四點(diǎn)，且，求四邊形MRNS面積的最大值與最小值．
17．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)圓與橢圓E交于A，B，C，D四點(diǎn)．動(dòng)圓與橢圓E交于，，，四點(diǎn)．若矩形ABCD與矩形的面積相等，證明：為定值．
18．已知橢圓和拋物線．從兩條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)混合記錄如下：，，，．
（1）求橢圓C和拋物線E的方程；
（2）設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知點(diǎn)，直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)．記直線TA，TB的斜率分別為，，判斷是否為定值，并說(shuō)明理由．
19．設(shè)a為實(shí)數(shù)，點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)作斜率為k的動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M，N，在線段MN上取異于點(diǎn)M，N的點(diǎn)H，滿足．
（?。┣笮甭蔾的取值范圍；
（ⅱ）證明：點(diǎn)H恒在一條定直線上．
南京2024—2025學(xué)年度第1學(xué)期
高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷
命題人：高二數(shù)學(xué)備課組 審閱人：高二數(shù)學(xué)備課組
一．選擇題
1．【答案】A
【解析】直線的斜率，∴直線的方程為，即，
∴直線在x軸上的截距為，故選A．
2．【答案】B
【解析】，故選B．
3．【答案】B
【解析】方程表示橢圓或，故選B．
4．【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)，由得，
∴或（舍去），即，
∴M到拋物線的準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線定義得選項(xiàng)C．
5．【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，則直線的斜率不存在，即直線的傾斜角為，
當(dāng)時(shí)，則直線的斜率，即直線傾斜角為，
綜上所述，直線的傾斜角的范圍為．故選C．
6．【答案】A
【解析】圓C的半徑為4，直線l上存在到圓C上一點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)，
故圓心到直線l的距離，即，解得，故選A．
7．【答案】D
【解析】設(shè)，則，，
根據(jù)雙曲線定義，
，，故，即，故選D．
8．【答案】C
【法一】由題意知，，設(shè)，
直線PA，PB的斜率分別為，，則，
由正弦定理得，
又，則，
聯(lián)立解得，即，
所以，即，
【法二】設(shè)，則，，
，
二．多選題
9．【答案】AB
對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知，
，∴離心率，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B：由橢圓的定義，，
∴的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，，
又∵，∴，即，
∴，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D：由橢圓的幾何性質(zhì)可知
，∴，故選項(xiàng)D正確．
10．【答案】BC
【解析】
對(duì)于A，，所以直線與圓相離，不存在點(diǎn)P；
對(duì)于B，，所以直線與圓相交，存在點(diǎn)P；
對(duì)于C，，所以兩圓外切，存在點(diǎn)P；
對(duì)于D，，所以兩圓內(nèi)含，不存在點(diǎn)P．
11．【答案】ACD
【解析】
對(duì)于A，用代x得，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，
用代y得，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，
用代x，代y得，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以曲線C既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，所以A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，顯然P與或重合，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)對(duì)稱性可得，曲線E與x軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，所以C正確；
對(duì)于D，若存在點(diǎn)P，使得，則，
因?yàn)?，，所以?br/>由得，化簡(jiǎn)得，所以D正確．
三．填空題
12．【答案】
【解析】設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，故方程為．
13．【答案】6
【解析】設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，
線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則，故．
14．【答案】
【解析】由拋物線方程得，準(zhǔn)線方程為，
又點(diǎn)，則，
在拋物線上取點(diǎn)H，過H作HG垂直直線，交直線于點(diǎn)G，
過P作PM垂直直線，交直線于點(diǎn)M，
由橢圓和拋物線定義得，故橢圓離心率．
四．解答題
15．【解析】（1）由，則，解得．
（2）由得，解得，
直線的方程為，即，
直線的方程為，
因此，與之間的距離為．
16．【解析】（1）設(shè)，則，故軌跡方程為．
（2）假設(shè)點(diǎn)O到MN的距離為m，到RS的距離為n，則，
因?yàn)椋?，所以?br/>所以，所以四邊形MRNS面積的最大值14，最小值．
17．【解析】（1） 橢圓
（2）設(shè)，矩形ABCD與矩形的面積相等
∴，即
∵A，均在橢圓上，
∴，即，
故為定值．
18．【解析】（1）將四個(gè)點(diǎn)帶入拋物線方程解得，，，，故拋物線E方程為
故，為橢圓上的點(diǎn)橢圓C方程
（2）設(shè)，，則
為定值．
19．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上，所以，整理得，
即，解得，則雙曲線C的方程為；
（2）（ⅰ）易知直線l的方程為，即，
聯(lián)立，消去y并整理得，
設(shè)，，
因?yàn)橹本€l與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，
所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的正數(shù)根，，
，
解得則斜率k的取值范圍為；
（ⅱ）設(shè)，
由（?。┑茫?，
因?yàn)?，，?br/>又P，M，N，H在同一直線l上，所以，，
由得，即，
化簡(jiǎn)得，所以，
整理得，解得，即
又點(diǎn)在直線上，所以
即，故點(diǎn)H恒在定直線上．

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