資源簡介

江西省2024－2025學年上學期期中調研測試
高二數學
試卷共4頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1.考查范圍：必修第二冊第五章，選擇性必修第一冊第一章至第三章第二節。
2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上。
3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，請將答題卡交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知，，則，兩點間的距離為
A. B. C.12 D.24
2.若直線的斜率為，在軸上的截距為－1，則的方程為
A. B. C. D.
3.若雙曲線的一個焦點為，其中一條漸近線與直線平行，則的標準方程為
A. B. C. D.
4.已知在復平面內對應的點的坐標為，則，滿足的關系式為
A. B. C. D.
5.若存在點，使得圓與圓關于點對稱，則
A.1 B.－1 C.2 D.－2
6.如圖，在三棱錐中，平面，，，點為的中點，則
A.8 B.4 C.－8 D.－4
7.已知拋物線的焦點為，是上第一象限內的一點，且，直線過點，當原點到的距離最大時，的方程為
A. B. C. D.
8.函數的值域為
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.如圖，在四面體中，點，分別為，的中點，則
A. B.
C. D.
10.已知曲線，則
A.關于點對稱 B.關于直線對稱
C.與軸圍成一個面積為2的三角形 D.不經過第二、三象限
11.已知橢圓，我們把圓稱為的蒙日圓，為原點，點在上，延長與的蒙日圓交于點，則
A.的最大值為 B.若為的中點，則的離心率的最大值為
C.過點不可能作兩條互相垂直的直線都與相切 D.若點在上，則的蒙日圓面積最小為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.拋物線的準線方程為________.
13.已知曲線可以由雙曲線繞原點逆時針旋轉得到，則________.
14.過點的直線分別與軸、軸交于不同的，兩點，為坐標原點，若存在4條直線使得的面積均為，則的取值范圍是________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知曲線經過點.
（1）若經過點，求的離心率；
（2）若表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍.
16.（15分）已知點及圓.
（1）若直線經過點，，求的方程；
（2）若直線過點且截圓所得的弦長為6，求的方程.
17.（15分）已知橢圓經過點，且右焦點為.
（1）求的方程；
（2）若直線與交于點，，點關于軸的對稱點為，判斷直線是否過定點，若過定點，求出該點坐標；若不過定點，請說明理由.
18.（17分）已知拋物線的焦點為.過的直線與交于，兩點，.
（1）求的值；
（2）求直線與的公共點個數；
（3）證明：.
19.（17分）若集合表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合中的每一條直線都是某圓上一點處的切線，且該圓上每一點處的切線都是中的一條直線，則稱該圓為集合的包絡圓.
（1）若圓是集合的包絡圓.
（i）求，滿足的關系式；
（ii）若，求的取值范圍；
（2）若集合的包絡圓為，是上任意一點，判斷軸上是否存在定點，，使得，若存在，求出點，的坐標；若不存在，請說明理由.
江西省2024－2025學年上學期期中調研測試
高二數學參考答案及評分細則
1.【答案】B
【解析】，兩點間的距離為.故選B.
2.【答案】A
【解析】斜率為，在軸上的截距為－1的直線的方程為，即.故選A.
3.【答案】C
【解析】的焦點在軸上，設的標準方程為，則，，解得，.所以的標準方程為.故選C.
4.【答案】C
【解析】因為，所以，，則.故選C.
5.【答案】A
【解析】存在點，使得圓與圓關于點對稱，則兩圓半徑相等，圓的標準方程為，所以，即.故選A.
6.【答案】B
【解析】因為，所以.故選B.
7.【答案】D
【解析】設，由，得，，，直線的斜率為，當原點到的距離最大時，，的斜率為，所以的方程為，即.故選D.
8.【答案】B
【解析】設，，則，表示圓弧上的點與點連線的斜率，當過點的直線與圓弧相切時斜率最大，最大為，所以的值域為.故選B.
9.【答案】ACD（每選對1個得2分）
【解析】易得A正確，B錯誤；，C正確；，D正確.故選ACD.
10.【答案】BD（每選對1個得3分）
【解析】曲線關于直線對稱，不關于點對稱，A錯誤，B正確；與軸只有1個交點，不能圍成三角形，C錯誤；由，可得，不經過第二、三象限，D正確.故選BD.
11.【答案】AD（每選對1個得3分）
【解析】對于A，，A正確；對于B，若為的中點，則，，，B錯誤；取，則直線，互相垂直，且都與相切，C錯誤；對于D，因為點在上，所以，所以，當且僅當時取等號，所以的蒙日圓面積最小為，D正確.故選AD.
12.【答案】
【解析】拋物線的標準方程為，所以其準線方程為.
13.【答案】4
【解析】雙曲線的右頂點坐標為，且雙曲線繞點逆時針旋轉，得曲線，曲線的其中一個頂點坐標為，，所以.
14.【答案】
【解析】若分別與軸負半軸、軸正半軸相交，對任意，符合條件的直線僅有1條；若分別與軸正半軸、軸負半軸相交，對任意，符合條件的直線僅有1條；若分別與軸負半軸、軸負半軸相交，設的方程為，把代入得，，當且僅當，時取等號，此時的面積，當時滿足條件的不存在，當時滿足條件的有1條，當時滿足條件的有2條，綜上可得當時滿足條件的有4條.
【評分細則】
12.寫成也正確.
14.寫成或均不扣分.
15.解：（1）因為點在上，所以，，（1分）
因為經過點，所以，，（2分）
代入得，（3分）
所以的標準方程為，（4分）
，，，（5分）
所以的離心率.（7分）
（2）的方程可化為，
因為表示焦點在軸上的橢圓，所以，
即，（9分）
因為，
所以，（11分）
解得，所以的取值范圍是.（13分）
【評分細則】
1.第（1）小題離心率寫成扣1分；
2.如用其他解法，若正確，也給滿分.
16.解：（1）由題意得，，（2分）
所以的斜率，（4分）
所以的方程為，即.（6分）
（2）圓的標準方程為，（7分）
圓心，半徑，（8分）
因為擮圓所得弦長為6，
所以點到的距離為，（10分）
當的斜率不存在時，的方程為，符合題意，（12分）
當的斜率存在時，設的方程為，即，
所以，解得，的方程為，（14分）
所以的方程為或.（15分）
【評分細則】
1.第（1）小題的方程寫成其他形式，若正確不扣分；
2.如用其他解法，若正確，也給滿分.
17.解：（1）由橢圓經過點，且右焦點為得（3分）
解得，，
故的方程為.（6分）
（2）設，，則，
將與聯立得，
，
，，（8分）
所以，，，（10分）
直線方程為，
即，即，
整理得，（14分）
所以直線過定點.（15分）
【評分細則】
其他解法酌情給分.
18.（1）解：設直線的方程為，
與聯立得，（3分）
所以.（5分）
（2）解：直線的斜率為，（7分）
所以直線的方程為，
即，（9分）
與聯立得，
解得，（10分）
所以直線與只有1個公共點.（11分）
（3）證明：由（1）知，，
所以
，（15分）
所以.（17分）
【評分細則】
如用其他解法，若正確，也給滿分.
19.解：（1）（i）因為圓是集合的包絡圓，
所以圓心到直線的距離為2，
即，
所以.（4分）
（ii）由，滿足及，
可得圓與直線有公共點，
所以，解得，故的取值范圍是.（8分）
（2）設，由題意可知點到直線的距離為與無關的定值，
即為與無關的定值，
所以，.故，此時，.（9分）
所以的方程為，（10分）
設，則，即，
假設軸上存在定點，，使得，設，，
則
，（12分）
所以（14分）
解得或（16分）
所以，或，.（17分）
【評分細則】
如用其他解法，若正確，也給滿分.

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