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平面向量及其應用專題特訓-2025年高三數學上學期一輪復習
一．選擇題（共8小題）
1．（2024 荔灣區校級模擬）已知，，則在上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 平谷區模擬）在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”的（　　）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．（2024 浙江一模）設，是單位向量，則（+）2﹣ 的最小值是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
4．（2024 環翠區校級模擬）已知在等腰△ABC中，，點D在線段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，則的值為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 朝陽區一模）在△ABC中，AB＝AC＝2，，點P在線段BC上．當取得最小值時，PA＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 海淀區校級模擬）我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動．如圖（2），傘完全收攏時，傘圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三點共線，AD'＝40cm，B為AD'的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，∠BAC的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 貴陽模擬）已知向量，若∥，則實數x＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣4
8．（2024 天府新區校級模擬）已知向量滿足，且，則＝（　　）
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2024 故城縣校級模擬）給出下列命題，其中正確的命題是（　　）
A．若空間向量，滿足，則
B．空間任意兩個單位向量必相等
C．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
D．向量的模為
（多選）10．（2024 城廂區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（0，2），C（0，1），D是線段OA上的動點，點O與點P關于直線CD對稱．則下列結論正確的是（　　）
A．當CD∥AB時，點P的坐標為
B．的最大值為4
C．當點P在直線AB上時，直線DP的方程為4x+3y﹣8＝0
D．∠OAP正弦的最大值為
（多選）11．（2024 鯉城區校級模擬）如圖，某旅游部門計劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線．已知AB，BC是扇岸上的兩條甬路，∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，∠DQE＝60°（觀光亭Q視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計），則（　　）
A．DE＝0.7km
B．當∠DEQ＝45°時，DQ＝km
C．△DEQ面積的最大值為km2
D．游覽路線DQ+QE最長為1.4km
三．填空題（共3小題）
12．（2024 西湖區校級模擬）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，則sinC＝　 　．
13．（2024 順義區校級模擬）△ABC為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為 　 　，若||＝1，＝，則的最小值為 　 　．
14．（2024 蘭陵縣模擬）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則λ﹣μ的值為 　 　．
四．解答題（共5小題）
15．（2024 湛江一模）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若△ABC外接圓的直徑為，求2c﹣b的取值范圍．
16．（2024 泉州模擬）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有．
（1）求角B；
（2）若AC邊上的高，求cosAcosC．
17．（2024 江西一模）在△ABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且△ABC的面積為，點D是線段BC上靠近點B的一個三等分點，AD＝1．
（1）若，求c；
（2）若b2+4c2＝11，求sin∠BAC的值．
18．（2024 興慶區校級一模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）設邊BC的中點為D，若，且△ABC的面積為，求AD的長．
19．（2024 大慶模擬）法國數學家費馬在給意大利數學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內到三角形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：
①當△ABC的三個內角均小于120°時，滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點O為費馬點；
②當△ABC有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點．
請用以上知識解決下面的問題：
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點M為△ABC的費馬點，且cos2A+cos2B﹣cos2C＝1．
（1）求C；
（2）若c＝4，求|MA| |MB|+|MB| |MC|+|MC| |MA|的最大值；
（3）若|MA|+|MB|＝t|MC|，求實數t的最小值．
平面向量及其應用專題特訓-2025年高三數學上學期一輪復習
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2024 荔灣區校級模擬）已知，，則在上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，，
則，解得，
故在上的投影向量為：＝．
故選：D．
2．（2024 平谷區模擬）在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”的（　　）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：在△ABC中，若sinA＝cosB，則或，即或，
故在△ABC中，“sinA＝cosB”推不出“C＝”；
若，則，則，
故在△ABC中，“C＝” “sinA＝cosB”；
故在△ABC中，“sinA＝cosB”是“C＝”必要不充分條件．
故選：B．
3．（2024 浙江一模）設，是單位向量，則（+）2﹣ 的最小值是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【解答】解：因為，是單位向量，
所以 ＝，
又因為，且，
所以，
所以的最小值為2﹣1＝1．
故選：D．
4．（2024 環翠區校級模擬）已知在等腰△ABC中，，點D在線段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：已知在等腰△ABC中，，點D在線段BC上，且S△ACD＝3S△ABD，
則|DC|＝3|BD|，，
即，
則＝
＝
＝
＝
＝，
故選：B．
5．（2024 朝陽區一模）在△ABC中，AB＝AC＝2，，點P在線段BC上．當取得最小值時，PA＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因為在△ABC中，AB＝AC＝2，，點P在線段BC上，
所以以BC的中點O為坐標原點，BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，
則B（，0），C（），A（0，1），
設P（λ，0）（），
則，，
所以＝＝，
所以當時，取得最小值，
此時，所以＝．
故選：B．
6．（2024 海淀區校級模擬）我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動．如圖（2），傘完全收攏時，傘圈D已滑到D'的位置，且A，B，D'三點共線，AD'＝40cm，B為AD'的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當傘完全張開時，∠BAC的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由題意得當傘完全張開時，AD＝40﹣24＝16cm，
∵B為AD的中點，∴AB＝AC＝AD'＝20cm，
當傘完全收攏時，AB+BD＝AD'＝40cm，則BD＝20cm，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝，
∴cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD﹣1＝2×﹣1＝﹣，
故選：A．
7．（2024 貴陽模擬）已知向量，若∥，則實數x＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣4
【解答】解：，
則，，
∥，
則1 （2x﹣2）＝5（﹣6﹣x），解得x＝﹣4．
故選：D．
8．（2024 天府新區校級模擬）已知向量滿足，且，則＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，且，設＝（1，0），＝（0，1），＝（﹣1，﹣1），
可得﹣＝（2，1），﹣＝（1，2），
所以|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，（﹣） （﹣）＝2+2＝4，
可得cos＜﹣，﹣＞＝＝＝．
故選：D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2024 故城縣校級模擬）給出下列命題，其中正確的命題是（　　）
A．若空間向量，滿足，則
B．空間任意兩個單位向量必相等
C．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
D．向量的模為
【解答】解：對于A，兩個向量相等需要方向相同，模長相等，所以不能得到，A錯誤；
對于B，空間任意兩個單位向量的模長均為1，但是方向不一定相同，故B錯誤；
對于C，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，的方向相同，長度相等，故，故C正確；
對于D，由向量，可得||＝，故D正確．
故選：CD．
（多選）10．（2024 城廂區校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（0，2），C（0，1），D是線段OA上的動點，點O與點P關于直線CD對稱．則下列結論正確的是（　　）
A．當CD∥AB時，點P的坐標為
B．的最大值為4
C．當點P在直線AB上時，直線DP的方程為4x+3y﹣8＝0
D．∠OAP正弦的最大值為
【解答】解：如圖，
由題意可得點P在以C為圓心，半徑為1的圓上，
設∠POB＝θ，，則P（2sinθcosθ，2cos2θ），
對于A，當CD∥AB時，可得∠POB＝θ＝∠OAB，
∴，，此時點P的坐標為，故A正確；
對于B，，當且僅當時等號成立，故B正確；
對于C，當點P在直線AB上時，可得∠POB＝θ＝∠OAB，此時點P的坐標為，
直線DP與圓C：x2+（y﹣1）2＝1相切，所以，所以直線DP的方程為4x+3y﹣8＝0，故C正確；
對于D，當直線AP與圓C相切時，∠OAP正弦的最大，設直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為y＝k（x﹣4），
有，解得，即，從而可得，
所以∠OAP正弦的最大值為，故D錯誤．
故選：ABC．
（多選）11．（2024 鯉城區校級模擬）如圖，某旅游部門計劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線．已知AB，BC是扇岸上的兩條甬路，∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，∠DQE＝60°（觀光亭Q視為一點，游覽路線、甬路的寬度忽略不計），則（　　）
A．DE＝0.7km
B．當∠DEQ＝45°時，DQ＝km
C．△DEQ面積的最大值為km2
D．游覽路線DQ+QE最長為1.4km
【解答】解：A中，在△DBE中，∠DBE＝∠ABC＝120°，BD＝0.3km，BE＝0.5km，
由余弦定理可得DE＝＝＝0.7km，所以A正確；
B中，因為∠DQE＝60°，DE＝0.7，若∠DEQ＝45°時，
由正弦定理可得＝，即DQ＝×0.7＝×＝km，所以B不正確；
C中，在△DQE中，由余弦定理可得DE2＝QD2+QE2﹣2QD QEcos∠DQE≥QD QE，當且僅當QD＝QE時取等號，
所以QD QE≤DE2＝0.49＝，
所以S△DQE＝QD QEsin∠DQE≤××＝km2，所以C正確；
D中，在△DQE中，由余弦定理可得DE2＝QD2+QE2﹣2QD QEcos∠DQE＝（QD+QE）2﹣3QD QE，
所以（QD+QE）2＝DE2+3QD QE≤DE2+3 （）2，當且僅當QE＝QD時取等號，
所以（QD+QE）2≤4DE2，即QD+QE≤2DE＝2×0.7＝1.4km，所以D正確．
故選：ACD．
三．填空題（共3小題）
12．（2024 西湖區校級模擬）△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，則sinC＝　　．
【解答】解：△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝2：3：4，
則由正弦定理有a：b：c＝2：3：4，
不妨設a＝2k，b＝3k，c＝4k（k＞0），
則有，
由C∈（0，π），得．
故答案為：．
13．（2024 順義區校級模擬）△ABC為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為 　120°　，若||＝1，＝，則的最小值為 　﹣3﹣　．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴則與的夾角為B的補角，
即與的夾角大小為120°，
∵||＝1，∴D在以B為圓心，1為半徑的圓上，
又＝，△ABC為等邊三角形，且邊長為2，
∴BE⊥AC，且BE＝，
設＝θ，則θ∈[0，π]，
∴＝
＝
＝，θ∈[0，π]，
∴θ＝π時，cosθ＝﹣1，取得最小值，
故答案為：120°；．
14．（2024 蘭陵縣模擬）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則λ﹣μ的值為 　1　．
【解答】解：由圖以及平行四邊形的性質可得，，，
所以由可得：＝＝（），
則λ﹣μ＝1，
故答案為：1．
四．解答題（共5小題）
15．（2024 湛江一模）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若△ABC外接圓的直徑為，求2c﹣b的取值范圍．
【解答】解：（1）在三角形中，cosA＝﹣cos（B+C）＝﹣cosBcosC+sinBsinC，
cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC，
又因為．
所以a（cosBcosC+sinBsinC）﹣a（cosBcosC﹣sinBsinC）＝2csinBcosA，
整理可得asinBsinC＝csinBcosA，
由正弦定理可得sinAsinBsinC＝sinCsinBcosA，
因為sinB≠0，sinC≠0，
所以tanA＝，而A∈（0，π），
所以A＝；
（2）設△ABC外接圓的半徑為R，而圓的直徑為，所以2R＝2，
由正弦定理可得＝＝2R＝2，A＝；
可得b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（B+A），
所以2c﹣b＝4sin（B+）﹣2sinB＝6cosB，
因為B∈（0，），所以cosB∈（﹣，1），
所以2c﹣b∈（﹣3，6）．
所以2c﹣b的取值范圍為（﹣3，6）．
16．（2024 泉州模擬）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有．
（1）求角B；
（2）若AC邊上的高，求cosAcosC．
【解答】解：（1）因為，
由正弦定理可得2sinB（cosA+sinA）＝sinA+sinC＝sinA+sin（A+B），
而sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以sinBsinA＝sinA+sinAcosB，
在三角形中，sinA＞0，
所以sinB﹣cosB＝1，
即sin（B﹣）＝，因為B∈（0，π），
可得B﹣＝，
可得B＝；
（2）因為AC邊上的高，
所以S△ABC＝b h＝bb＝b2，①
又S△ABC＝acsinB＝ac×＝ac，②
由①②可得b2＝2ac，
由正弦定理可得sin2B＝2sinAsinC，
可得sinAsinC＝，
因為cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinBsinC＝，
所以cosAcosC＝sinBsinC﹣＝﹣＝﹣．
17．（2024 江西一模）在△ABC中，已知內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且△ABC的面積為，點D是線段BC上靠近點B的一個三等分點，AD＝1．
（1）若，求c；
（2）若b2+4c2＝11，求sin∠BAC的值．
【解答】解：（1）由題可得：CD＝2BD，故，
又，即，
∴，即，
在△ABD中，根據余弦定理得AB2＝BD2+AD2﹣2AD BD cos∠ADB，
即，
∴，即；
（2）∵CD＝2BD，∴，
∴，即，
又b2+4c2＝11，∴①，
又②，
由①②得：，
∴．
18．（2024 興慶區校級一模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）設邊BC的中點為D，若，且△ABC的面積為，求AD的長．
【解答】解：（1）在△ABC中，因為，
因為，所以，
整理可得：b2+c2﹣a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，
可得cosA＝，
又因為0＜A＜π，
所以；
（2）因為A＝，，
解得bc＝3，
由a2＝b2+c2﹣2bccosA，而a＝，
即7＝b2+c2﹣3，所以b2+c2＝10，
又因為邊BC的中點為D，
所以，
所以．
19．（2024 大慶模擬）法國數學家費馬在給意大利數學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內到三角形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：
①當△ABC的三個內角均小于120°時，滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點O為費馬點；
②當△ABC有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點．
請用以上知識解決下面的問題：
已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點M為△ABC的費馬點，且cos2A+cos2B﹣cos2C＝1．
（1）求C；
（2）若c＝4，求|MA| |MB|+|MB| |MC|+|MC| |MA|的最大值；
（3）若|MA|+|MB|＝t|MC|，求實數t的最小值．
【解答】解：（1）∵cos2A+cos2B﹣cos2C＝1，
∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B﹣1+2sin2C＝1，
即sin2A+sin2B＝sin2C，
由正弦定理得：a2+b2＝c2，
∴C＝90°．
（2）由（1）知C＝90°，
∴△ABC的三個角都小于120°，
∵點M為△ABC的費馬點，
∴∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°，
由S△ABC＝S△AMB+S△BMC+S△CMA得：
，
即，
整理得，
又∵c2＝a2+b2＝16≥2ab，
∴ab≤8，當且僅當a＝b時等號成立，
∴，
∴|MA| |MB|+|MB| |MC|+|MC| |MA|的最大值為．
（3）由（2）知∠AMB＝∠BMC＝∠CMA＝120°，
設|MC|＝x，|MA|＝mx，|MB|＝nx，（x＞0，m＞0，n＞0），
由|MA|+|MB|＝t|MC|得m+n＝t，
∵|AC|2＝x2+m2x2﹣2mx2cos120°＝（m2+m+1）x2；
|BC|2＝x2+n2x2﹣2nx2cos120°＝（n2+n+1）x2；
|AB|2＝m2x2+n2x2﹣2mnx2cos120°＝（m2+n2+mn）x2；
∵|AC|2+|BC|2＝|AB|2，
∴（m2+m+1）x2+（n2+n+1）x2＝（m2+n2+mn）x2，
即（m2+m+1）+（n2+n+1）＝（m2+n2+mn），
即m+n+2＝mn，
∵，當且僅當m＝n時等號成立，
∴，整理得t2﹣4t﹣8≥0，
解得或者（舍去），
∴實數t的最小值為．

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