資源簡介

指對冪函數(shù)專題訓(xùn)練-2025年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)
一．選擇題（共8小題）
1．（2024 榆陽區(qū)校級一模）設(shè)，，，則（　　）
A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
2．（2024 福建模擬）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx與指數(shù)函數(shù)的圖象只可為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024 武漢模擬）已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝lg（x2+1）}，則A∩B＝（　　）
A．（﹣1，0] B． C． D．[0，1）
4．（2024 東莞市校級一模）已知集合，若a，b，c∈A且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)y＝ax，對數(shù)函數(shù)y＝logbx，冪函數(shù)y＝xc中至少有兩個函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增的有序數(shù)對（a，b，c）的個數(shù)是（　　）
A．16 B．24 C．32 D．48
5．（2024 渝中區(qū)校級模擬）已知a＝3ln7，b＝4ln6，c＝5ln5，d＝6ln4，則在|b﹣a|，|c﹣b|，|d﹣c|，|d﹣b|，|d﹣a|，|c﹣a|這6個數(shù)中最小的是（　　）
A．|b﹣a| B．|c﹣b| C．|d﹣b| D．|c﹣a|
6．（2024 寶山區(qū)三模）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　　）
A．y＝lnx B．y＝tanx C．y＝x3+x D．
7．（2024 東莞市校級模擬）高斯是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作[x]，是指不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如[6.8]＝6，[﹣4.1]＝﹣5，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域．若函數(shù)f（x）＝log2（﹣x2+x+2），則當(dāng)x∈[0，1]時，[f（x）]的值域為（　　）
A． B． C．{1} D．{2}
8．（2024 浙江模擬）如圖，假定兩點P，Q以相同的初速度運動．點Q沿直線CD做勻速運動，CQ＝x；點P沿線段AB（長度為107單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB＝y(tǒng)）．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對數(shù)的底．當(dāng)點P從線段AB的三等分點移動到中點時，經(jīng)過的時間為（　　）
A．ln2 B．ln3 C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2024 山東模擬）已知a＞0，b＞0，ab＝2，則（　　）
A．log2a log2b的最大值為
B．2a+4b的最小值為8
C．a(chǎn)3+b3的最小值為
D．的最小值為
（多選）10．（2024 孝南區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝ex和g（x）＝lnx的圖象與直線y＝2﹣x的交點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則（　　）
A．0＜x1＜1 B．x1+x2＜2
C．0＜x1x2＜1 D．
（多選）11．（2024 川匯區(qū)校級模擬）下列說法中正確的是（　　）
A．命題“ x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“ x∈R，x2﹣2x≥0”
B．函數(shù)f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過定點A（3，4）
C．冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則m的值為4
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞）
三．填空題（共3小題）
12．（2024 郫都區(qū)校級模擬）已知logab+4logba＝4，則的值為 　 　．
13．（2024 崇明區(qū)二模）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4），則f（3）＝　 　．
14．（2024 天河區(qū)校級模擬）“阿托秒”是一種時間的國際單位，1“阿托秒”等于10﹣18秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示．《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過 　 　天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離．（參考數(shù)據(jù)：光速為3×108米/秒，lg2≈0.3，lg3≈0.48）
四．解答題（共5小題）
15．（2023 撫松縣校級一模）（1）（log37+log73）2﹣；
（2）．
16．（2023 廣西一模）已知函數(shù)f（x）＝log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．
（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍．
17．（2022 黃浦區(qū)二模）設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)．
（1）若a＝0，求函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由．
18．（2022 德陽模擬）已知函數(shù)f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值為1．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）若 x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求證：x1+x2＜0．
19．（2021 普陀區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x（x＞0）的反函數(shù)為f﹣1（x）．
（1）解方程：f（x+2）﹣2f（x）＝0；
（2）設(shè)y＝g（x）是定義在R上且以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＝f﹣1（x），試求g（log210）的值．
指對冪函數(shù)專題訓(xùn)練-2025年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2024 榆陽區(qū)校級一模）設(shè)，，，則（　　）
A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：由題意可知，＝＝，b＝＝，c＝＝，
設(shè)f（x）＝（x＞0），
則f'（x）＝，
當(dāng)x∈（0，e）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
又因為4＞＞e，所以f（4）＜f（）＜f（e），
所以b＜a＜c，
故選：C．
2．（2024 福建模擬）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx與指數(shù)函數(shù)的圖象只可為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝（）x可知a，b同號且不相等
則二次函數(shù)y＝ax2+bx的對稱軸﹣＜0可排除B與D，
又因為二次函數(shù)y＝ax2+bx過坐標(biāo)原點，∴C正確．
故選：C．
3．（2024 武漢模擬）已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝lg（x2+1）}，則A∩B＝（　　）
A．（﹣1，0] B． C． D．[0，1）
【解答】解：集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}＝{x|﹣1＜x＜}，B＝{y|y＝lg（x2+1）}＝{y|y≥0}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜}．
故選：B．
4．（2024 東莞市校級一模）已知集合，若a，b，c∈A且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)y＝ax，對數(shù)函數(shù)y＝logbx，冪函數(shù)y＝xc中至少有兩個函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增的有序數(shù)對（a，b，c）的個數(shù)是（　　）
A．16 B．24 C．32 D．48
【解答】解：由題意知，滿足指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1），對數(shù)函數(shù)y＝logbx（b＞0且b≠1）的a，b取值，且使得它們在（0，+∞）單調(diào)遞增的a，b都只有2個，分別是2，3．滿足冪函數(shù)y＝xc的c取值，且使得它在（0，+∞）上單調(diào)遞增的c有4個，分別為，，2，3．
由于a，b，c互不相等，有三種情況：①指數(shù)函數(shù)y＝ax，對數(shù)函數(shù)y＝logbx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而冪函數(shù)y＝xc不滿足，有2×1×2＝4種；
②指數(shù)函數(shù)y＝ax，冪函數(shù)y＝xc 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而對數(shù)函數(shù)y＝logbx不滿足，有2×2×2＝8種；
③對數(shù)函數(shù)y＝logbx，冪函數(shù)y＝xc在（0，+∞）單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)y＝ax不滿足，有2×2×2＝8種（與②相同）；
④三個函數(shù)都在（0，+∞）單調(diào)遞增，有2×2＝4種；
由分類加法計數(shù)原理，共有4+8+8+4＝24種選法，也即滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）有24個．
故選：B．
5．（2024 渝中區(qū)校級模擬）已知a＝3ln7，b＝4ln6，c＝5ln5，d＝6ln4，則在|b﹣a|，|c﹣b|，|d﹣c|，|d﹣b|，|d﹣a|，|c﹣a|這6個數(shù)中最小的是（　　）
A．|b﹣a| B．|c﹣b| C．|d﹣b| D．|c﹣a|
【解答】解：a＝3ln7，b＝4ln6，c＝5ln5，d＝6ln4，
則lna＝ln3 ln7，lnb＝ln4 ln6，lnc＝ln5 ln5，lnd＝ln4 ln6，則d＝b，故|d﹣b|＝0，
又|b﹣a|＞0，|c﹣b|＞0，|d﹣c|＞0，|c﹣a|＞0，|d﹣a|＞0，
故最小值是|d﹣b|．
故選：C．
6．（2024 寶山區(qū)三模）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　　）
A．y＝lnx B．y＝tanx C．y＝x3+x D．
【解答】解：y＝lnx為對數(shù)函數(shù)，不為奇函數(shù)，故A錯誤；
y＝tanx為奇函數(shù)，在（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）內(nèi)為增函數(shù)，故B錯誤；
y＝x3+x為奇函數(shù)，且y′＝3x2+1＞0，可得y＝x3+x為增函數(shù)，故C正確；
y＝﹣為奇函數(shù)，在（﹣∞，0），（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，故D錯誤．
故選：C．
7．（2024 東莞市校級模擬）高斯是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作[x]，是指不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如[6.8]＝6，[﹣4.1]＝﹣5，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域．若函數(shù)f（x）＝log2（﹣x2+x+2），則當(dāng)x∈[0，1]時，[f（x）]的值域為（　　）
A． B． C．{1} D．{2}
【解答】解：由題意得﹣x2+x+2＞0，解得﹣1＜x＜2，則f（x）的定義域為{x|﹣1＜x＜2}，當(dāng)x∈[0，1]時，令t＝﹣x2+x+2，函數(shù)y＝﹣x2+x+2在[0，]上單調(diào)遞增，在[，1]上單調(diào)遞減，又u＝log2t在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f（x）的值域為，所以[f（x）]的值域為{1}．
故選：C．
8．（2024 浙江模擬）如圖，假定兩點P，Q以相同的初速度運動．點Q沿直線CD做勻速運動，CQ＝x；點P沿線段AB（長度為107單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB＝y(tǒng)）．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對數(shù)的底．當(dāng)點P從線段AB的三等分點移動到中點時，經(jīng)過的時間為（　　）
A．ln2 B．ln3 C． D．
【解答】解：由題意，P點初始速度107即為Q點的速度．
當(dāng)P在靠近A點的三等分點時：，解得：x＝，
當(dāng)P在二等分點時：，解得：x＝107ln2，
所以經(jīng)過的時間為：＝．
故選：D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2024 山東模擬）已知a＞0，b＞0，ab＝2，則（　　）
A．log2a log2b的最大值為
B．2a+4b的最小值為8
C．a(chǎn)3+b3的最小值為
D．的最小值為
【解答】解：因為a＞0，b＞0，ab＝2，
對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A錯誤；
對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，b＝1時等號成立，故B正確；
對于C：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝（a+b）（a2﹣2+b2），
又，a2+b2≥2ab＝4，a2+b2﹣2≥2，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；
對于D：，
設(shè)，則，
所以當(dāng)b＞1時，f′（b）＞0，則f（b）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜b＜1時，f′（b）＜0，則f（b）單調(diào)遞減，
所以f（b）≥f（1）＝3，
所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1、a＝2時取等號，故D正確．
故選：BCD．
（多選）10．（2024 孝南區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝ex和g（x）＝lnx的圖象與直線y＝2﹣x的交點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則（　　）
A．0＜x1＜1 B．x1+x2＜2
C．0＜x1x2＜1 D．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝ex和g（x）＝lnx互為反函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）＝ex和g（x）＝lnx的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，
由解得，
又因為直線y＝2﹣x與直線y＝x垂直，
所以A，B兩點的中點為（1，1），
所以0＜x1＜1，1＜x2＜2，且x1+x2＝2，所以A正確，B錯誤；
由，可得0＜x1x2＜1，所以C正確；，所以D正確．
故選：ACD．
（多選）11．（2024 川匯區(qū)校級模擬）下列說法中正確的是（　　）
A．命題“ x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“ x∈R，x2﹣2x≥0”
B．函數(shù)f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過定點A（3，4）
C．冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則m的值為4
D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞）
【解答】解：由于命題“ x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是“ x∈R，x2﹣2x≥0”，故A正確；
對于函數(shù)f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1），令x﹣3＝0，求得x＝3，y＝4，可得它的圖象經(jīng)過定點A（3，4），故B正確；
根據(jù)冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得，求得m＝4，故C正確；
對于函數(shù)，它的單調(diào)遞增區(qū)間，即y＝x2﹣2x﹣3＞0時的增區(qū)間，
再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得是（3，+∞），故D錯誤，
故選：ABC．
三．填空題（共3小題）
12．（2024 郫都區(qū)校級模擬）已知logab+4logba＝4，則的值為 　　．
【解答】解：∵logab+4logba＝4，
∴l(xiāng)ogab+＝4，可得（logab）2﹣4logab+4＝0，
解得logab＝2，即a2＝b，
∴＝．
故答案為：．
13．（2024 崇明區(qū)二模）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點（2，4），則f（3）＝　9　．
【解答】解：設(shè)冪函數(shù)y＝f（x）＝xα（α∈R），
其圖象經(jīng)過點（2，4），
∴2α＝4，
解得α＝2，
∴f（x）＝x2；
∴f（3）＝32＝9．
故答案為：9．
14．（2024 天河區(qū)校級模擬）“阿托秒”是一種時間的國際單位，1“阿托秒”等于10﹣18秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示．《莊子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過 　31　天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離．（參考數(shù)據(jù)：光速為3×108米/秒，lg2≈0.3，lg3≈0.48）
【解答】解：依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為2×10﹣18×3×108＝6×10﹣10米，
經(jīng)過n天后，剩余的長度米，
由f（n）＜6×10﹣10，得，
兩邊同時取對數(shù)，得，
而n∈N*，則n＝31，
所以至少需要經(jīng)過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離．
故答案為：31．
四．解答題（共5小題）
15．（2023 撫松縣校級一模）（1）（log37+log73）2﹣；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝
＝．﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）原式＝
＝
＝4+lg（5×2）﹣3+2＝4+1﹣1
＝4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
16．（2023 廣西一模）已知函數(shù)f（x）＝log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．
（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：函數(shù)的定義域滿足|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0，即|x﹣1|+|x﹣5|＞a，
（1）當(dāng)a＝2時，f（x）＝log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣2）
設(shè)g（x）＝|x﹣1|+|x﹣5|，則．（3分）
g（x）min＝4，f（x）min＝log2（4﹣2）＝1．（5分）
（2）由（I）知，g（x）＝|x﹣1|+|x﹣5|的最小值為4，7分|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0，
∴a＜4
∴a的取值范圍是（﹣∞，4）．（10分）
17．（2022 黃浦區(qū)二模）設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)．
（1）若a＝0，求函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由．
【解答】解：（1）由，得，于是，且y≠0．
因此，所求反函數(shù)為．
（2）當(dāng)a＝﹣1時，，定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
，故函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)；
當(dāng)a≤0且a≠﹣1時，函數(shù)y＝f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（﹣a，+∞），函數(shù)y＝f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
18．（2022 德陽模擬）已知函數(shù)f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值為1．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）若 x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求證：x1+x2＜0．
【解答】解：（1）由題意x∈R，f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x﹣）．
由于ax＞0，
所以若﹣lna＞0，即0＜a＜1，
當(dāng)x＜時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞時，f′（x）＞0；
即f（x）在（﹣∞，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；
若﹣lna＜0，即a＞1，
當(dāng)x＜時，f′（x）＞0；當(dāng)x＞時，f′（x）＜0；
即f（x）在（﹣∞，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，
f（x）max＝f（）＝，
所以＝lna，兩邊取自然對數(shù)得：lna﹣1＝ln（lna），
即ln（lna）﹣lna+1＝0，
令h（x）＝lnx﹣x+1，
則h′（x）＝﹣1＝，
易知0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；x＞1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（x）max＝h（1）＝0，
即lnx﹣x+1＝0的根為1，
所以lna＝1，
即a＝e；
（2）由（1）知f（x）＝ex（1﹣x），且在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
f（1）＝0，f（0）＝1，
當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時，f（x）→﹣∞，
由f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），不妨設(shè)x1＜0＜x2＜1，
則f（﹣x2）﹣f（x1）＝f（﹣x2）﹣f（x2）＝（1+x2）﹣（1﹣x2），
令m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），
于是m′（x）＝x（ex﹣e﹣x）＞0，
所以m（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
所以m（x2）＞m（0）＝0，
所以f（﹣x2）＞f（x1），且x1，﹣x2∈（﹣∞，0），
從而x1＜﹣x2，
即x1+x2＜0．
19．（2021 普陀區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x（x＞0）的反函數(shù)為f﹣1（x）．
（1）解方程：f（x+2）﹣2f（x）＝0；
（2）設(shè)y＝g（x）是定義在R上且以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＝f﹣1（x），試求g（log210）的值．
【解答】解：（1）因為函數(shù)f（x）＝log2x（x＞0），
故方程f（x+2）﹣2f（x）＝0即為log2（x+2）﹣2log2x＝0，
所以log2（x+2）＝log2x2，則有，解得x＝2，
故f（x+2）﹣2f（x）＝0的解為x＝2；
（2）當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＝f﹣1（x）＝2x，
因為3＜log210＜4，且y＝g（x）是定義在R上且以2為周期的奇函數(shù)，
故g（log210）＝g（log210﹣4）＝﹣g（4﹣log210）＝﹣＝．

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