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2024-2025學年度（上）高2027屆期中考試
數學試題
（滿分150分，120分鐘完成）
命題人：數學命題組 審題人：數學命題組
第Ⅰ卷 選擇題（共58分）
一、單項選擇題（共8題，每題5分，共40分，每題有且僅有一個正確答案）
1．已知集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
2．命題“，”的否定是（ ）
A．， B．,
C．， D．，
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．下列函數中，既是奇函數，又在區間上為增函數的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
7．已知函數滿足：對任意，當時，都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數，，若對任意的，總存在，使得成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．已知全集，集合，若有4個子集，且，則（ ）
A． B．集合有3個真子集 C． D．
10．已知正實數滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為4 B．的最小值為
C．的最大值為8 D．的最小值為4
11．我們知道，函數的圖象關于原點成中心對稱的充要條件是函數為奇函數，由同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于成中心對稱的充要條件是函數為奇函數．下列說法正確都有（ ）
A．若函數關于對稱，則函數滿足
B．函數的對稱中心為
C．若關于對稱，當時，則當時
D．若關于對稱，為偶函數，則為偶函數
第Ⅱ卷 非選擇題（共92分）
三、填空題（共3小題，每題5分，共15分）
12．已知，集合，則______．
13．已知函數為偶函數，則______．
14．記表示中最大的數，已知為正實數，記．若，則的最小值為______，若，則的最小值為______．
四、解答題（共5題，共77分，其中15題13分，16、17每題15分，18、19每題17分，請寫出必要的解答過程）
15．（本題滿分13分）
已知，集合，
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍．
16．（本題滿分15分）
為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調研，得到了某時間段內的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數據：
10 30 40 60 70
0.8 6 8 4.8 3.5
為了描述車流量和汽車平均速度的關系，現有以下三種模型供選擇：
，，
（1）選出你認為最符合實際的函數模型，請說明理由并計算的值；
（2）計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．
17．（本題滿分15分）
在①不等式解集為，②，且，③，，三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答
問題：已知函數，且______．
（1）求函數的解析式；
（2）若函數在區間上的值域為，求的值．
18．（本題滿分17分）
已知函數對任意實數恒有，且當時，，又．
（1）判斷的奇偶性；
（2）判斷在上的單調性，并證明你的結論；
（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍．
19．（本小題滿分17分）
定義在上的函數滿足：如果對任意的，都有（當且僅當時等號成立），則稱函數為定義在上的凹函數；如果對任意的，都有（當且僅當時等號成立），則稱函數為定義在上的凸函數，如果函數在定義域上為凹函數或凸函數，則稱函數具有凹凸性．
（1）判斷函數和的凹凸性并用上述定義證明；
（2）若函數為定義在上的凹函數，求的取值范圍；
（3）若是定義在上的凹函數，單調遞增，恒正；是定義在上的凸函數，單調遞減恒正，判斷函數在上的凹凸性并證明．

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