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三角函數專題訓練-2025年高三數學上學期一輪復習
一．選擇題（共8小題）
1．（2024秋 道里區校級期中）某圓拱橋的拱高為5m，現有寬10m，水面以上的高度為3米的一艘船恰能從橋下通過，則該拱橋的水面跨度（單位：m）在下列哪個區間內（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
2．（2024秋 玉山縣校級月考）已知，則sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 石家莊月考）已知sin（α+β）＝2cos（α﹣β），，則tanα tanβ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（2023秋 金壇區校級期末）已知，則＝（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
5．（2024秋 和平區校級月考）設函數f（x）＝3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，）的最小正周期為π，其圖象關于直線對稱，則下列說法正確是（　　）
A．f（x）的圖象過點
B．f（x）在上單調遞減
C．f（x）的一個對稱中心是
D．將f（x）的圖象向左平移個單位長度得到函數y＝3sin2x+1的圖象
6．（2024秋 龍鳳區校級月考）函數在區間上恰有2個極值點，則ω的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 定州市校級月考）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數f（x）的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）﹣m＝0在上有兩個不等實根，則實數m的取值范圍為（　　）
A．（﹣2，2] B． C． D．
8．（2024 天府新區校級模擬）已知函數f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在區間上單調遞增，直線和為函數f（x）的兩條對稱軸，則＝（　　）
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2024 東陽市模擬）已知函數的部分圖象如圖所示，則（　　）
A．
B．ω＝2
C．為偶函數
D．f（x）在區間的最小值為
（多選）10．（2024 花溪區校級模擬）已知f（x）＝sin+cos2﹣，ω＞0，下列結論正確的是（　　）
A．若f（x）的最小正周期為π，則ω＝2
B．若f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱，則ωmin＝1
C．若f（x）在[0，2π）上恰有4個極值點，則ω的取值范圍為
D．存在ω，使得f（x）在上單調遞減
（多選）11．（2024 安順二模）已知函數，，則（　　）
A．
B．
C．f（x）在上單調遞減
D．f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱
三．填空題（共3小題）
12．（2024 東城區一模）已知角α，β的終邊關于直線y＝x對稱，且sin（α﹣β）＝，則α，β的一組取值可以是α＝　 　，β＝　 　．
13．（2024 衡陽縣校級模擬）已知，則＝　 　．
14．（2024 撫順模擬）已知x1，x2是函數的兩個零點，且，若將函數f（x）的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于y軸對稱，且函數f（x）在內恰有2個最值點，則實數θ的取值范圍為 　 　．
四．解答題（共5小題）
15．（2023 海淀區校級三模）已知函數f（x）＝
（I）如果f（α）＝，試求sin2α的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．
16．（2023 威海二模）已知偶函數的部分圖象如圖所示，A，B，C為該函數圖象與x軸的交點，且D為圖象的一個最高點．
（1）證明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
17．（2023 濟寧二模）已知函數．
（1）求函數f（x）在上的單調遞增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）的圖象關于點成中心對稱，在上的值域為，求α的取值范圍．
18．（2023 遼寧二模）已知函數的圖象如圖所示．將函數f（x）的圖象向左平移個單位長度后得函數g（x）的圖象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，C＝2A，a＝3，求△ABC的面積．
19．（2023 徐匯區校級三模）如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（﹣1，2），賽道的中間部分為長千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置．
三角函數專題訓練-2025年高三數學上學期一輪復習
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2024秋 道里區校級期中）某圓拱橋的拱高為5m，現有寬10m，水面以上的高度為3米的一艘船恰能從橋下通過，則該拱橋的水面跨度（單位：m）在下列哪個區間內（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
【解答】解：由題意，建立平面直角坐標系如圖所示，
則G（0，5），C（﹣5，0），D（5，0），E（﹣5，3），F（5，3），
其中H為圓拱橋的圓心．設拱橋所在的圓的方程為x2+（y﹣a）2＝r2，
則，解得，
則圓形拱橋的水面跨度為．
故選：B．
2．（2024秋 玉山縣校級月考）已知，則sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以．
故選：C．
3．（2024秋 石家莊月考）已知sin（α+β）＝2cos（α﹣β），，則tanα tanβ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【解答】解：∵sin（α+β）＝2cos（α﹣β），
∴sinαcosβ+cosαsinβ＝2（cosαcosβ+sinαsinβ），
∴tanα+tanβ＝2（1+tanαtanβ），又，
∴，
解得tanα tanβ＝．
故選：D．
4．（2023秋 金壇區校級期末）已知，則＝（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【解答】解：由可得，sinα＝﹣2cosα，
所以，，
所以，＝．
故選：D．
5．（2024秋 和平區校級月考）設函數f（x）＝3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，）的最小正周期為π，其圖象關于直線對稱，則下列說法正確是（　　）
A．f（x）的圖象過點
B．f（x）在上單調遞減
C．f（x）的一個對稱中心是
D．將f（x）的圖象向左平移個單位長度得到函數y＝3sin2x+1的圖象
【解答】解：函數的最小正周期為π，
故ω＝2，
其圖象關于直線對稱，
所以φ＝（k∈Z），
由于，
故φ＝﹣，
所以f（x）＝3sin（2x﹣）+1．
對于A：當x＝0時，f（0）＝3sin（﹣）+1＝﹣+1＝﹣，故A錯誤；
對于B：由于，
所以，故B錯誤，
對于C：當x＝時，f（）＝3sinπ+1＝1，故C錯誤；
對于D：將f（x）的圖象向左平移＝個單位長度得到函數y＝3sin2x+1的圖象，故D正確．
故選：D．
6．（2024秋 龍鳳區校級月考）函數在區間上恰有2個極值點，則ω的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因為，
所以，
因為函數在區間上恰有2個極值點，
結合余弦函數的性質可得，，（k∈Z），解得，
故選：D．
7．（2024秋 定州市校級月考）已知函數的部分圖象如圖所示，將函數f（x）的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）﹣m＝0在上有兩個不等實根，則實數m的取值范圍為（　　）
A．（﹣2，2] B． C． D．
【解答】解：由函數圖象可知，A＝2，，
所以，
又，
所以，解得，
由，可得，
所以，
將f（x）的圖象向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，
令，由，可得，
函數y＝2sint在上單調遞減，在上單調遞增，且，
因為關于x的方程g（x）﹣m＝0在上有兩個不等實根，
即y＝m與y＝g（x）的圖像在上有兩個交點，
即y＝m與y＝2sint在上有兩個交點，
所以實數m的取值范圍為．
故選：B．
8．（2024 天府新區校級模擬）已知函數f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在區間上單調遞增，直線和為函數f（x）的兩條對稱軸，則＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函數f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在區間上單調遞增，
ωx+φ∈（+φ，+φ），
直線和為函數f（x）的兩條對稱軸，
∴+φ＝2kπ﹣，+φ＝2kπ+，k∈Z，且＝﹣．
解得ω＝2且φ＝﹣．
可得f（x）＝sin（2x﹣），
則＝sin（﹣）＝sin＝．
故選：D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2024 東陽市模擬）已知函數的部分圖象如圖所示，則（　　）
A．
B．ω＝2
C．為偶函數
D．f（x）在區間的最小值為
【解答】解：由題意得f（x）＝sin（2ωx+φ），
由圖象可得，
又，所以，
由五點法可得，
所以．
A：由以上解析可得，故A正確；
B：由以上解析可得ω＝1，故B錯誤；
C：，故C正確；
D：當時，，
所以最小值為，故D正確；
故選：ACD．
（多選）10．（2024 花溪區校級模擬）已知f（x）＝sin+cos2﹣，ω＞0，下列結論正確的是（　　）
A．若f（x）的最小正周期為π，則ω＝2
B．若f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱，則ωmin＝1
C．若f（x）在[0，2π）上恰有4個極值點，則ω的取值范圍為
D．存在ω，使得f（x）在上單調遞減
【解答】解：f（x）＝sin+cos2﹣
＝sinωx+cosωx＝sin（），
對于A，，又ω＞0，∴ω＝2，故A正確；
對于B，將f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到，
若所得圖象關于y軸對稱，則，得ω＝1+3k，k∈Z，所以ωmin＝1，故B正確；
對于C，由x∈[0，2π），得，
若f（x）在[0，2π）上恰有4個極值點，則，
解得，故C正確；
對于D，由，ω＞0，
結合正弦函數的性質可知，f（x）在上不可能單調遞減，故D錯誤．
故選：ABC．
（多選）11．（2024 安順二模）已知函數，，則（　　）
A．
B．
C．f（x）在上單調遞減
D．f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱
【解答】解：因為函數的圖象的一條對稱軸方程為，
所以，，
因為，所以，即，
對于A，，A錯誤；
對于B，因為f（x）圖象的一個對稱中心為，所以B正確：
對于C，當時，，
所以f（x）在上單調遞減，C正確；
對于D，f（x）的圖象向左平移個單位長度后，
所得圖象對應的函數解析式為，
顯然是偶函數，其圖像關于y軸對稱，D正確．
故選：BCD．
三．填空題（共3小題）
12．（2024 東城區一模）已知角α，β的終邊關于直線y＝x對稱，且sin（α﹣β）＝，則α，β的一組取值可以是α＝　　，β＝　　．
【解答】解：因為角α，β的終邊關于直線y＝x對稱，可得α+β＝2 （+kπ）＝+2kπ，k∈Z，
又因為sin（α﹣β）＝，可得α﹣β＝+2k1π或α﹣β＝+2k1π，k1∈Z，
所以，或，
取α＝，β＝．
故答案為：；．
13．（2024 衡陽縣校級模擬）已知，則＝　　．
【解答】解：
＝．
故答案為：．
14．（2024 撫順模擬）已知x1，x2是函數的兩個零點，且，若將函數f（x）的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于y軸對稱，且函數f（x）在內恰有2個最值點，則實數θ的取值范圍為 　（，]　．
【解答】解：由題意，函數 的兩個零點，且，
則ωx1+φ＝2kπ+，k∈Z，
ωx2+φ＝2nπ+，n∈Z，
所以ω（x2﹣x1）＝+2（n﹣k）π，
即，
所以ω＝2，
所以，
又因為將函數f（x）的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于y軸對稱，
所以f（x）＝2sin（2x+）為偶函數，
則+φ＝k，k∈Z，
又因為，
所以φ＝，f（x）＝2sin（2x﹣）﹣，
當 時，2x＜2，函數有且只有兩個最值點，
所以＜2≤，
解得．
故答案為：（，]．
四．解答題（共5小題）
15．（2023 海淀區校級三模）已知函數f（x）＝
（I）如果f（α）＝，試求sin2α的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝＝＝，
＝（cosx﹣sinx），
＝2cos（x+），
f（α）＝，即：2cos（α+）＝，
即cos（（α+）＝，
sin2α＝﹣cos（2α+），
＝﹣cos2（α+），
＝﹣2cos2（（α+）+1，
＝﹣2×+1，
＝，
∴sin2α＝；
（Ⅱ）f（x）＝2cos（x+），
∴當2kπ﹣π≤x+≤2kπ，k∈Z，f（x）單調遞增，
∴x∈[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z，f（x）單調遞增；
同理x∈[2kπ﹣，2kπ+，]，k∈Z，f（x）單調遞減；
故f（x）的單調遞增區間為：[2kπ﹣，2kπ﹣]，
單調遞減區間為：[2kπ﹣，2kπ+]．
16．（2023 威海二模）已知偶函數的部分圖象如圖所示，A，B，C為該函數圖象與x軸的交點，且D為圖象的一個最高點．
（1）證明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
【解答】證明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，
在△CBD中，由正弦定理可得，
又∠ABD+∠DBC＝π，所以sin∠ABD＝sin∠DBC，
所以，又BC＝2AB，
所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC．
（2）解：因為，CD＝2，，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC，
所以，所以，
在△ACD中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在Rt△BCD中，
又，則∠CBD＝30°，所以，
則xD＝BDcos30°﹣1＝2，
所以，則，
，
所以，
所以．
17．（2023 濟寧二模）已知函數．
（1）求函數f（x）在上的單調遞增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）的圖象關于點成中心對稱，在上的值域為，求α的取值范圍．
【解答】解：（1）＝，
∵，∴，
∴當，即時，函數f（x）單調遞增，
∴函數f（x）的單調遞增區間為；
（2）由題意得，
∵函數g（x）的圖象關于點成中心對稱，
∴，解得，
∵，∴，
∴，
∴當時，，
又g（x）在上的值域為，
則．解得，
故α的取值范圍為．
18．（2023 遼寧二模）已知函數的圖象如圖所示．將函數f（x）的圖象向左平移個單位長度后得函數g（x）的圖象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，C＝2A，a＝3，求△ABC的面積．
【解答】解：（1）由圖可知，，解得：T＝π，
所以，即：f（x）＝sin（2x+φ），
將點代入f（x）＝sin（2x+φ）得，
所以，k∈Z，解得：，k∈Z，
所以，
所以，
因為將函數f（x）的圖像向左平移個單位長度后得函數g（x）的圖像，
所以．
（2）因為g（x）＝cos2x，所以，
由C＝2A，得cosC＝，sinC＝，
因為cos2A＞0，
所以，即：，
所以由cos2A＝1﹣2sin2A，得sinA＝，
所以由cosA＝，得cosA＝，
所以sinB＝sin（A+C）＝，
由正弦定理，得，
所以△ABC的面積S＝＝．
19．（2023 徐匯區校級三模）如圖，某市準備在道路EF的一側修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（﹣1，2），賽道的中間部分為長千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區域內建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時P點的位置．
【解答】解：（1）由條件，得A＝2，
．
∵，
∴．
∴曲線段FBC的解析式為：．
∴當x＝0時，．
又CD＝，
∴．
（2）由（1）知．
當“矩形草坪”的面積最大時，
點P 在弧DE上，
故．
設∠POE＝θ，，
“矩形草坪”的面積為：
＝．
∵，
故，
，
S取得最大值．

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