資源簡介

2024年下學期第一次階段性考試
高一數學（試題卷）
（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 若，則下列不等式成立的是（）
A B. C. D.
3. 設，不等式的解集為或，則（）．
A B. C. D.
4. “函數在區間上不單調”的一個必要不充分條件是（）
A. B. C. D.
5. 我們從商標中抽象出一個圖象如圖所示，其對應的函數解析式可能是（）
A. B. C. D.
6. 已知函數，若，則的最大值和最小值分別是（）
A. B. C. D. 3，1
7. 設是定義在上的奇函數，對任意的，滿足：，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函數在定義域上的值域為，則稱為“函數”．已知函數是“函數”，則實數的取值范圍是（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題、每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全都選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知，且，則下列結論正確的是（）
A. 的最大值為 B. 的最大值為
C. 最小值為 D. 的最大值為
10. 說法正確的是（）
A. 已知，則的定義域為
B. 若冪函數在區間上是減函數，則
C. 函數的值域為
D. 已知函數滿足，則
11. 高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，也稱取整函數，例如：，，已知，則函數的函數值可能為（）
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數的定義域是______．
13. 已知關于的不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是___________.
14. 若對任意，有，則函數在上的最大值與最小值的和______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，.
（1）當時，求，；
（2）若“”是“”成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
16. 計算下列各式值：
（1）；
（2）若，求的值；
（3）已知實數，滿足，求的值．
17. 在園林博覽會上，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放市場，已知該種設備年固定研發成本為50萬元，每生產一臺需另投入90元，設該公司一年內生產該設備萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（萬元）與年產量（萬臺）滿足如下關系式：.
（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬臺）的函數解析式（利潤=銷售收入-成本）
（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大，并求出最大利潤．
18. 已知函數為奇函數.
（1）利用函數單調性的定義證明函數在上單調遞增；
（2）若正數滿足，求的最小值；
（3）解不等式.
19. “函數的圖像關于點對稱”的充要條件是“對于函數定義域內的任意x，都有”．若函數的圖像關于點對稱，且當時，．
（1）求的值；
（2）設函數．
（ⅰ）證明：函數圖像關于點對稱；
（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實數a的取值范圍．2024年下學期第一次階段性考試
高一數學（試題卷）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】A
8.
【答案】C
二、選擇題：本題共3小題、每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全都選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.
【答案】BC
10.
【答案】BCD
11.
【答案】ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】6
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）當時，求出，再根據集合并集，交集的運算求解即可．
（2）根據題意可得 ，再求得，列出方程組求出的取值范圍即可得答案．
【小問1詳解】
解：當時，，，
，．
【小問2詳解】
解：是成立的充分不必要條件，
，
，，，
則，，
經檢驗知，當時，，不合題意，
實數的取值范圍．
16.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據對數的運算性質即可求解，
（2）（3）根據指數與對數互化，結合對數的運算性質即可求解.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
，又，
所以．
【小問3詳解】
由，得．由，
所以，所以，解得：，
則，即，
所以，所以．
17.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由利潤等于銷售收入減去投入成本和固定成本可得解析式；
（2）分別求出分段函數每一段的最大值后比較可得結論.
【小問1詳解】
因為，
所以；
【小問2詳解】
當時，，
由函數性質可知當時單調遞增，所以當時，，
當時，，
由不等式性質可知，
當且僅當，即時，等號成立，所以，
綜上當時，.
18.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函數的奇偶性得出，然后利用函數單調性的定義證明即可；
（2）由已知條件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；
（3）令，易知是奇函數，且在上單調遞增，又，不等式，從而，求解即可．
【小問1詳解】
函數的定義域是，由題意得，解得：，則，
，為奇函數，故，
任取，且，
則，
因為，且，所以，
所以，故，
所以函數在上單調遞增；
【小問2詳解】
因為為奇函數，
所以，又函數在上單調遞增，
所以正實數滿足，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
【小問3詳解】
令，
因為和都是奇函數，且在上單調遞增，所以是奇函數，且在上單調遞增.
又，不等式.
從而，解得或.
故不等式的解集為.
19. “
【解析】
【分析】（1）由函數的圖像關于點對稱，可得；
（2）（ⅰ）證明即可；（ⅱ）由在的值域為，設在上的值域為A，問題轉化為，先求解，分類討論軸與區間的關系，研究二次函數的值域即可.
【小問1詳解】
因為函數的圖像關于點對稱，
則，
令，可得．
【小問2詳解】
（ⅰ）證明：由，
得，
所以函數的圖像關于對稱．
（ⅱ），
則在上單調遞增，
所以的值域為，
設在上值域為A，
對任意，總存在，使得成立，
則，
當時，，
函數圖象開口向上，對稱軸為，且，
當，即，函數在上單調遞增，
由對稱性可知，在上單調遞增，所以在上單調遞增，
因為，，
所以，
所以，由，可得，解得．
當，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
由對稱性可知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
結合對稱性可得或，
因為，所以，，
又，，
所以，，
所以當時，成立．
當，即時，函數在上單調遞減，
由對稱性可知在上單調遞減，因為，，
所以，所以，由，
可得，解得．
綜上所述，實數a的取值范圍為．
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