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5.4一次函數的圖象八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：根據一次函數增減性判斷自變量的變化情況
【經典例題1】點和都在直線上，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．大小關系無法確定
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的增減性，根據一次函數的增減性即可作出判斷．
【詳解】解：∵中，
∴y隨x的增大而減小，
∵，即，
∴，
故選：A．
【變式訓練1-1】已知點和點都在一次函數的圖象上，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一次函數的增減性，根據解析式可得y隨x增大而減小，再由，即可得到．
【詳解】解：
∵在中，，
∴y隨x增大而減小，
∵，
∴，
故選：C．
【變式訓練1-2】一次函數的自變量的取值范圍是，相應函數值的取值范圍是，則下列符合題意的函數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數的性質及一次函數圖象上點的坐標特征，對和進行分類討論，分別求出對應的函數解析式即可解決問題．
【詳解】解：∵一次函數的自變量的取值范圍是，相應函數值的取值范圍是，
∴當時，一次函數過，，
∴，
解得，
∴一次函數解析式為；
當時，一次函數過，，
∴，
解得，
∴一次函數解析式為；
∴只有D選項符合題意．
故選：D．
【變式訓練1-3】我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．請用這句話提到的數學思想方法解決下面的問題，已知函數，且關于，的二元一次方程有兩組解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數圖象與方程組的解的問題，熟練掌握一次函數的圖象和性質，利用數形結合思想，畫出圖象并分析是解題的關鍵．求出恒過，作出函數的圖象，通過數形結合，觀察圖象和函數式進行作答．
【詳解】解：∵可化簡為，
無論取何值，恒過，
該函數圖象隨值不同繞旋轉，
作出函數的圖象如下：
當與平行時，可得，
此時，
當過點時，可得，
解得：，
此時，
如圖可得：當時，的圖像與函數的圖象有兩個交點，即關于，的二元一次方程有兩組解．
故選：C．
【變式訓練1-4】已知點，是一次函數圖象上兩點，且滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，一元一次不等式的解法，一次函數的性質，先解，再根據一次函數的性質可得，再建立不等式解題即可；
【詳解】解：∵，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴，，
∵點，是一次函數圖象上兩點，，
∴，
∴，
解得：；
故選B
【變式訓練1-5】我是一條直線，很有名氣的直線，數學家們給我命名為．在我的圖象上有兩點，且，，當時，m的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，將，兩點坐標代入一次函數解析式，再將兩式相減即可解決問題．
【詳解】解：將，兩點坐標分別代入一次函數解析式得，
，
兩式相減得， ，
所以，
因為，
所以，
則，
所以，
則．
故選：A．
題型二：比較一次函數值大小
【經典例題2】已知點都在一次函數的圖象上，且，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因為一次函數的，得出隨的增大而減小，結合，得出，據此即可作答．本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，利用一次函數圖象上點的坐標特征求出，的值是解題的關鍵．
【詳解】解：依題意，一次函數的，
隨的增大而減小，
，
．
故選：A．
【變式訓練2-1】已知是一次函數圖象上的兩點，下列判斷中正確的是（ ）
A． B．
C．當時， D．當時，
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的性質，由可得隨的增大而減小，據此即可判斷求解，掌握一次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴隨的增大而減小，
當時，，故正確，
故選：．
【變式訓練2-2】點，在一次函數的圖象上，則，的大小關系是（　　）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，由得到隨的增大而減小，由即可求解．
【詳解】解：一次函數的，
隨的增大而減小，
，點，在一次函數的圖象上，
，
故選：A．
【變式訓練2-3】已知一次函數的圖像經過三個點、、，則、、的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數圖像的性質，即：當時，y的值隨著x的值增大而減小；當時，y的值隨著x的值增大而增大，熟練掌握一次函數圖象的性質是解題的關鍵．
根據，可得y的值隨著x的值增大而減小，然后進行比較即可．
【詳解】解：∵，
∴y的值隨著x的值增大而減小，
∵，
∴．
【變式訓練2-4】已知一次函數的圖象經過點，，則 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查一次函數的圖象與性質，根據一次函數解析式得到隨的增大而增大，即可判斷與的大小．
【詳解】解：一次函數的圖象經過點，，
又，，
，
故答案為：．
【變式訓練2-5】已知點，都在直線上，則、大小關系是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，根據已知函數的解析式得出y隨x的增大而減小，再比較即可．
【詳解】解：∵，
∴隨x的增大而減小，
又∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓練2-6】若點A、B：（﹣2，y1）、（﹣1，y2）都在直線y＝kx+b上，且直線y＝kx+b和直線y＝﹣2x+5平行，則y1 y2（填＞，＜，＝）．
【答案】＞
【分析】根據兩直線平行值相等，再根據，一次函數隨的增大而減小即可解答
【詳解】直線與平行
直線隨的增大而減小
故答案為：
【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征，熟練掌握兩直線平行值相等及一次函數的圖像及其性質是解題關鍵．
題型三：一次函數的位置關系（平行）
【經典例題3】已知直線與直線平行，若點、、都在直線上，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數的平移問題，比較一次函數值的大小，先根據平行的兩直線一次項系數相同得到，進而得到在中，y隨x增大而增大，再由，即可得到．
【詳解】解：∵直線與直線平行，
∴，
∴，
∴在中，y隨x增大而增大，
∵點、、都在直線上，且，
∴，
故選：B．
【變式訓練3-1】已知直線與直線平行，若點，，都在直線上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直線與直線平行，有k=1，將A、B、C代回比較即可．
【詳解】直線與直線平行，
，
，故B正確，符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查平行線的解析式之間的關系，知道兩直線平行，k值相等是解題關鍵．
【變式訓練3-2】關于函數，下列結論正確的是（ ）
A．圖象與直線平行
B．圖象經過第一、二、三象限
C．圖象一定經過點
D．若點和點在直線上，則
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題關鍵．根據的系數大小可判斷A選項；根據了一次函數的圖象與性質可判斷B和D選項，將代入求解即可判斷C選項，從而解題．
【詳解】解：A、與中的系數不同，
與不平行，故本選項錯誤，不符合題意；
B、的圖象是隨的增大而增大的，與軸的交點是，圖象經過第一、三、四象限，故本選項錯誤，不符合題意；
C、將代入得，即過點，故本選項錯誤，不符合題意；
D、的圖象是隨的增大而增大的，，
，故本選項正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練3-3】已知一個一次函數的圖象與直線平行，且與函數的圖象交y軸上于同一點，那么這個一次函數的表達式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，一次函數的性質，掌握“利用待定系數法求解函數解析式”是解本題的關鍵．
設一次函數為根據兩直線平行的性質先求解的值，再根據與函數的圖象交y軸于同一點，求解的值，從而可得答案．
【詳解】解：設一次函數為
一次函數的圖象與直線平行，
∴一次函數為
由可得函數與軸的交點為
與函數的圖象交y軸于同一點，
∴一次函數的解析式為：．
故選：C．
【變式訓練3-4】關于一次函數的一些性質，下列說法正確的是（ ）
A．與y軸的交點為 B．隨著x的增大而減小
C．與垂直 D．與平行．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，一次函數圖象與系數的關系，
根據一次函數的性質逐項判斷即可得出答案．
【詳解】∵一次函數，
∴當時，，
∴與y軸的交點為，故A選項錯誤；
∵一次函數中自變量系數為，
∴隨著x的增大而增大，故B選項錯誤；
∵與x軸平行，與x軸不平行，
∴與不垂直，故C選項錯誤；
∵與中，自變量的系數，
∴與平行，故D選項錯誤．
故選：D．
【變式訓練3-5】直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】C
【分析】此題考查了一次函數平移中兩直線的位置關系，根據，，，
即可判定位置關系，解題的關鍵是正確理解直線平行時的值相等．
【詳解】∵，，
∴直線與直線兩直線平行，
故選：．
【變式訓練3-6】已知直線與直線平行，且經過點，則b的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了兩條平行線的性質、直線解析式的求法，由平行線的性質得出，再把點代入，求出b，即可得出結果．
【詳解】解：∵直線與直線平行，
∴，
把代入得：，
解得：，
故答案為：．
題型四：一次函數的位置關系（垂直）
【經典例題4】下列直線中，與直線垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據若兩直線垂直，則它們自變量系數的乘積等于，即可求解．
【詳解】解：A、因為，所以與直線不垂直，故本選項不符合題意；
B、因為，所以與直線不垂直，故本選項不符合題意；
C、因為，所以與直線不垂直，故本選項不符合題意；
D、因為，所以與直線垂直，故本選項符合題意；
故選：D
【點睛】本題主要考查了兩直線垂直的問題，熟練掌握若兩直線垂直，則它們自變量系數的乘積等于是解題的關鍵．
【變式訓練4-1】若直線 y=kx+b與直線y=-2x+3相互垂直，則k= .
【答案】.
【分析】根據兩直線垂直，解答即可．
【詳解】解：∵直線 y=kx+b與直線y=-2x+3相互垂直，
∴ ，
解之得：．
故答案為：
【點睛】本題考查的是兩直線的位置關系，如果兩直線垂直，那么.
【變式訓練4-2】直線經過點，且與直線垂直，求直線的函數表達式．
【答案】直線解析式為．
【分析】此題考查了一次函數的圖象及性質，待定系數法求解析式，等腰直角三角形的性質，由得：，根據題意畫出圖象，當時，，當時，，得到，，再根據等腰直角三角形的性質與判定得出，求出，最后根據待定系數法求解析式即可，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點的應用．
【詳解】解：由得：，
∴圖象如圖，
當時，，當時，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設直線解析式為，
∴，解得：，
∴直線解析式為．
【變式訓練4-3】閱讀理解：已知兩直線，L1：y＝k1x+b1，L2：y＝k2x+b2，
若L1⊥L2，則有k1 k2＝﹣1，根據以上結論解答下列各題：
（1）已知直線y＝2x+1與直線y＝kx﹣1垂直，求k的值；
（2）若一條直線經過A（2，3），且與y＝﹣x+3垂直，求這條直線所對應的一次函數的關系式．
【答案】（1）-；（2）y=3x﹣3
【分析】（1）根據兩直線互相垂直，兩個函數的比例系數k的乘積是﹣1列方程求解即可；
（2）根據y=﹣x+3設出直線l1的解析式，然后將點A的坐標代入計算，從而得解．
【詳解】（1）∵L1⊥L2，則有k1 k2=﹣1，
∴2k=﹣1，
∴k=﹣；
（2）∵過點A的直線與y=﹣x+3垂直，
∴設過點A的直線解析式為y=3x+b，
將點A（2，3）代入，得：6+b=3，
解得：b=﹣3，
所以過點A的直線解析式為y=3x﹣3．
【點睛】本題考查了兩直線相交的問題，讀懂題目信息，理解互相垂直的兩直線的函數關系式的k的關系式是解題的關鍵．
題型五：一次函數規律探究
【經典例題5】如圖，在平面直角坐標系中，函數和的圖象分別為直線，，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，…，依次進行下去，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、正比例函數的圖象以及規律型中點的坐標，根據坐標的變化找出變化規律是解題的關鍵．根據一次函數圖象上點的坐標特征可得出點、、、、、、、、等的坐標，根據坐標的變化找出變化規律“，，，（n為自然數）”，依此規律結合即可找出點的坐標．
【詳解】解：當時，，
點的坐標為；
當時，，
點的坐標為；
同理可得：，，，，，，，
∴，，，（n為自然數），
∵，
點的坐標為，即．
故選：C．
【變式訓練5-1】如圖，在平面直角坐標系中，點…都在 x 軸上，點…都在直線上，，，，，…都是等腰直角三角形，且則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標，點坐標規律的探索；利用等腰直角三角形的性質求得，是解題的關鍵．
利用直線上點的坐標特點及等腰直角三角形的性質，可分別求得，，由此歸納總結即可求得的坐標．
【詳解】解：是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵ 是等 腰 直 角 三 角 形，
∴，
又∵為等腰直角三角形，
∴為等腰直角三角形．
∴
∴．
同理可得，
∴點的坐標是．
故選 A．
【變式訓練5-2】如圖，在平面直角坐標系中，函數和的圖象分別為直線，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點……依次進行下去，則點的橫坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征及規律型中數字的變化類，找出點的橫坐標是解題的關鍵．由題意分別求出的坐標，找出的橫坐標的規律，即可求解．
【詳解】解：∵過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，……依次進行下去，
∴與橫坐標相同，與縱坐標相同，
∴當時，，
∴，
∴當時，，
，
同理可得：，，，，…
∴的橫坐標為，
當時，，
∴點的橫坐標．
故選：C．
【變式訓練5-3】在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，如圖所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得點在直線上，點在軸正半軸上，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數與坐標規律，分別求出、、、、的坐標，找到對應的、、、、，得到規律，，再用這規律解決問題即可．
【詳解】當時，有，解得，
，
四邊形是正方形，
，
當時，解得，
∴，
同理可得出：，，，
對應的點，．，，
，，
點的坐標為．
故選：B．
【變式訓練5-4】如圖，在平面直角坐標系中，點，，，…，和，，，…，分別在直線和軸上，，，，…都是等腰直角三角形．如果點，那么的縱坐標是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查一次函數的規律題，解題的關鍵是找到點的坐標規律．
由題意易得，設，，，，，則有，，…..，，然后根據等腰直角三角形的性質可得，，….，進而將點的坐標依此代入即可求解．
【詳解】解：在直線，
∴
，
，
設，，，，，
則有，
，
，
又∵，，，…都是等腰直角三角形，
，
，
，
將點坐標依次代入直線解析式得到：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式訓練5-5】如圖，在平面直角坐標系中，直線：交軸于點，交軸于點，點，，在直線上，點，，，在軸的正半軸上，若，，，，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在軸上，則第個等腰直角三角形頂點的橫坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查規律型：點的坐標、等腰直角三角形的性質等知識．先求出、、的坐標，探究規律后，即可根據規律解決問題．
【詳解】解：對于直線：，
令，則；令，則；
∴，
∴，
，，
∴，，，
，，，
∴的橫坐標為．
故答案為：．
題型六：待定系數法求一次函數解析式
【經典例題6】已知一次函數（k為常數，）的圖象經過點和兩點．
(1)求這個一次函數的解析式．
(2)當時，求自變量x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解此題的關鍵．
（1）利用待定系數法求解即可得出答案；
（2）求出當時，的值，再結合一次函數的性質即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵一次函數（為常數，且）的圖象經過和兩點，
∴，
解得：，
∴該一次函數的表達式為；
（2）解：在中，
當時，，
解得：，
當時，，
解得：，
對于，隨的增大而增大，
∴當時，自變量的取值范圍為．
【變式訓練6-1】如圖，已知點、點．

(1)求直線所對應的函數表達式；
(2)在直線上有點P，滿足點P到x軸的距離等于6，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題主要考查了求一次函數解析式，求一次函數自變量的值，點到坐標軸的距離：
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）根據點到x軸的距離為該點縱坐標的絕對值得到點P的縱坐標為6或，再求出一次函數值分別為6和時自變量的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設直線解析式為，
把、代入中得：，
∴，
∴直線解析式為；
（2）解：∵點P到x軸的距離等于6，
∴點P的縱坐標的絕對值為6，
∴點P的縱坐標為6或，
在中，當時，，當時，，
∴點P的坐標為或．
【變式訓練6-2】一次函數的圖象經過點，且截距為2．
(1)求，的值．
(2)當時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查一次函數圖象的性質以及一次函數解析式求解，需要熟練掌握并靈活運用．
（1）根據過點，且截距為2列方程組即可求解；
（2）把代入解析式求解即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象經過點，且截距為2．
∴，
解得．
（2）解：由（1）得一次函數的表達式為，
當時，．
【變式訓練6-3】已知與成正比例，且當時，．
(1)求與之間的函數表達式．
(2)若點在這個函數的圖象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題綜合考查了正比例的定義，一次函數圖象上點的坐標特征．
（1）根據正比例的定義設，然后把，代入計算求出k值，再整理即可得解；
（2）將點代入（1）中所求的函數的解析式求a的值．
【詳解】（1）解：∵與成正比例，
∴設，
∵當，，
∴，
解得，
∴，即；
（2）解：點在函數的圖象上，
∴，
解得：．
【變式訓練6-4】已知一次函數的圖像經過，兩點．
(1)求這個一次函數的表達式；
(2)求此函數與軸、軸圍成的三角形的面積．
【答案】(1)一次函數的表達式為
(2)
【分析】此題考查了待定系數法求函數解析式以及圖像與坐標軸圍成的三角形面積求法，掌握一次函數的圖像與性質是解題的關鍵．
（1）設函數解析式為，將，兩點代入可得出和的值，進而可得出函數解析式；
（2）求出一次函數的圖像與坐標軸的交點坐標，即可求出所圍成的三角形面積．
【詳解】（1）解：設這個一次函數的表達式為，
將，代入得：，
解得：，
一次函數的表達式為；
（2）解：當時，，
解得：，
該一次函數圖像與軸交于點，
當時，，
該一次函數圖像與軸交于點，
此函數圖像與軸、軸圍成的三角形的面積為．
【變式訓練6-5】已知關于x的一次函數．
(1)若該函數圖象向上平移2個單位后過點，求m的值；
(2)若函數圖象經過第一、二、四象限，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了一次函數的圖象和性質，一次函數的平移，熟練掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）根據一次函數的平移求出平移后的函數解析式為，然后把求解即可；
（2）根據函數圖象的性質得到一元一元不等式組，解不等式組即可得到答案．
【詳解】（1）解：一次函數圖象向上平移2個單位得，
將代入得：，
解得；
（2）解：由題意得：，解得：，
的取值范圍是．
題型七：一次函數圖像的判斷
【經典例題7】在同一坐標系中，函數與的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的圖象，依據正比例函數的圖象從左往右下降，則，進而得到一次函數的圖象與軸交于負半軸，故A選項正確．
【詳解】解：A、若正比例函數的圖象從左往右下降，則，此時，一次函數 的圖象與軸交于負半軸，故A選項符合題意；
B、若正比例函數的圖象從左往右下降，則，此時，一次函數 的圖象應該與軸交于負半軸，故B選項不符合題意；
C、若正比例函數的圖象從左往右上升，則，此時，一次函數 的圖象與應該軸交于正半軸，且從左往右上升，故C選項不符合題意；
D、正比例函數的圖象應該要過原點，明顯D選項不符合題意．
故選：A．
【變式訓練7-1】已知與是一次函數．若，那么如圖所示的個圖中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查一次函數的圖象，其圖象是直線，要求學生掌握通過函數的解析式，判斷直線的位置及與坐標軸的交點．
聯立方程，得出兩直線的交點為，依次分析選項可得答案．
【詳解】解：聯立方程，可解得，故兩直線的交點為，
選項中交點縱坐標是0，即，但根據圖象可得，故選項不符合題意；
而選項中交點橫坐標是負數，故選項不符合題意；
選項中交點橫坐標是負數，選項不符合題意；
選項中交點橫坐標是正數，縱坐標是正數，即，根據圖象可得，故選項符合題意；
故選：．
【變式訓練7-2】已知直線：與直線：在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，掌握一次函數的圖象與性質，數形結合是本題的關鍵．根據兩個一次函數的圖象逐一分析系數符號即可解決．
【詳解】解：A、直線中，，中，，b的取值相矛盾，故本選項不符合題意；
B、直線中，，中，，k、b的取值一致，故本選項符合題意；
C、直線中，，中，，k的取值相矛盾，故本選項不符合題意；
D、直線中，，中，，b的取值相矛盾，故本選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練7-3】在平面直角坐標系中，一次函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質，對于一次函數（k為常數，），當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小．當，圖象與y軸的正半軸相交，當，圖象與y軸的負半軸相交，當，圖象經過原點．根據一次函數的性質逐項分析即可．
【詳解】解：∵，
∴y隨x的增大而增大，
∵，
∴函數圖象與y軸的正半軸相交．
故選B．
【變式訓練7-4】如圖，兩個不同的一次函數與的圖象在同一平面直角坐標系內的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數的圖象，熟知一次函數的圖象與系數的關系是解答此題的關鍵．
對于各選項，先確定一條直線的位置得到a和b的符號，然后根據此符號判斷另一條直線的位置是否符合要求．
【詳解】解：A、若經過第一、二、三象限的直線為，則，，所以直線經過第一、二、三象限，故A選項錯誤，不符合題意．
B、若經過第一、二、四象限的直線為，則，，所以直線經過第一、二、四象限，故B選項錯誤，不符合題意．
C、若經過第一、三、四象限的直線為，則，，所以直線經過第一、二、四象限，故C選項正確，符合題意．
D、若經過第一、二、三象限的直線為，則，，所以直線經過第一、二、三象限，故D選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
【變式訓練7-5】兩條直線與在同一直角坐標系中的圖象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數圖象與性質，假設其中一條直線是，由一次函數圖象與性質得到的正負，從而得到另一條直線是否是的大致圖象，逐項驗證即可得到答案，熟記一次函數圖象與性質是解決問題的關鍵．
【詳解】
解：A、若①是，則，則②不可能是的圖象，不符合題意；
B、若①是，則，則②可能是的圖象，符合題意；
C、若①是，則，則②不可能是的圖象，不符合題意；
D、若①是，則，則②不可能是的圖象，不符合題意；
故選：B．
題型八：一次函數綜合
【經典例題8】如圖，直線l是一次函數的圖象，且經過點和點．
(1)求直線l的表達式；
(2)求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積；
(3)設點P在y軸上，若的面積為，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題考查了求一次函數解析式，一次函數與坐標軸交點．
（1）把點和點代入，求出k和b的值，即可解答；
（2）先求出當時x的值，得出點C的坐標，再根據三角形的面積公式，即可解答；
（3）根據三角形的面積公式，得出，再進行分類討論：當點P在點A上方時，當點P在點A上方時，即可解答．
【詳解】（1）解：把點和點代入得：
，
解得：，
∴直線l的表達式為；
（2）解：當時，，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵的面積為，
∴，
解得：，
當點P在點A上方時，，
當點P在點A上方時，，
綜上：或．
【變式訓練8-1】已知一次函數的圖象與直線平行，且與軸交于點
(1)求該一次函數的函數表達式；
(2)根據（1）的結果，對于，請說明隨的變化情況；
(3)若一次函數圖象上有兩點、，，求的值；
【答案】(1)；
(2)隨的增大而增大；
(3)．
【分析】此題考查兩直線平行問題，關鍵是根據兩直線平行的特點解答．
（1）根據兩直線平行，則函數解析式的一次項系數相同，即可確定k的值，把的坐標代入求得b，求出即可．
（2）根據一次函數的性質解答即可；
（3）聯立方程組解答即可．
【詳解】（1）因為一次函數的圖象與直線平行，
所以；
又因為一次函數的圖象與軸交于點；
所以有，即可得；
該一次函數的函數表達式為．
（2）∵中,∴隨的增大而增大；
（3）因為點、在函數圖象上，
所以有，
兩式相減，得，
所以．
【變式訓練8-2】已知函數．
(1)若函數的圖象平行直線，求的值；
(2)若這個函數是不經過原點的一次函數，且隨著的增大而減小，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了兩直線相交與平行，一次函數的定義與性質，熟記平行直線的解析式的k值相等是解題的關鍵，
(1)根據互相平行的兩條直線比例系數相等求出m的值即可；
(2)這個函數不經過原點，排除，時，根據一次函數的性質，時，y隨著x的增大而減小，常數項不等于0，求出m的取值范圍．
【詳解】（1）函數的圖象與直線平行，
，
解得；
（2）當函數的圖象不經過原點，
即當時，，
∴，
這個函數是一次函數，且隨著的增大而減小，
，解得．
∴且，
即
【變式訓練8-2】如圖， ABC的三個頂點的坐標分別是，，．
(1)作出 ABC向左平移4個單位長度后得到的，并寫出點的坐標．
(2)已知與 ABC關于直線對稱．若點的坐標為，畫出直線并寫出直線的函數表達式．
注：點，，及點，，分別是點，，按題中要求變換后對應得到的點．
【答案】(1)見解析，
(2)見解析，
【分析】（1）利用網格特點和平移的性質得到點、、的對應點、、的坐標，然后描點得到；
（2）根據題意可知直線垂直平分直線，連接交直線于點，求得點坐標，結合，得到點在直線上，即可得出解析式．
【詳解】（1）解：將，，分別向左平移4個單位得到，，，依次連接得到，
如圖所示，即為所求，
點的坐標為．
（2）解：，，與關于直線對稱
直線垂直平分線段
連接交直線于點，不妨設點
那么有，
解得，
點的坐標為
連接，，根據網格性質可知
點在直線上
設直線的解析式為，代入
則，即
直線的函數解析式為
故如圖所示，直線即為所求，
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，平移變換，軸對稱變換，垂直平分線的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
【變式訓練8-3】如圖，直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點 B．
(1)直接寫出 AOB的面積；
(2)若C為y軸上一點，且 ABC的面積是，求點C的坐標；
(3)若P是x軸上一點，且，求P的坐標．
【答案】(1)9
(2)點C的坐標為或
(3)點或
【分析】（1）先求出點，點坐標，由三角形的面積公式可求解；
（2）由三角形的面積公式可求解；
（3）由勾股定理可求的長，即可求解．
【詳解】（1）解：直線與軸相交于點，與軸相交于點，
點，點，
，，
的面積；
（2）解：設點，
的面積是12，
，
，
，，
點坐標為或；
（3）解：，，
，
，
點或．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積公式，勾股定理等知識，解答此題的關鍵是熟知一次函數與坐標軸的交點坐標的求法．
【變式訓練8-4】在平面直角坐標系中，已知點C為直線上在第一象限內的一點，若點關于原點對稱．
(1)求的值；
(2)將直線沿射線方向平移個單位，求平移后的直線解析式．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了代數式求值、一次函數的圖象與性質及一次函數的平移變換，運用數形結合的思想解決問題．
（1）根據題意求得，代入代數式即可求出答案；
（2）設直線的解析式為，利用待定系數法即可求出直線的解析式，設直線平移后與射線的交點為D，過D作軸于點E，根據題意可知，，即將直線沿射線方向平移個單位，其實是先向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度，根據函數平移的性質即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵點關于原點對稱，
∴，
∴；
（2）設直線的解析式為，
∵，
∴，
解得，
∴直線為，
設直線平移后與射線的交點為D，
過D作軸于點E，
∵沿射線方向平移個單位，
∴，
∴，
∴將直線沿射線方向平移個單位，其實是先向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度．
∴，
即．

【變式訓練8-5】在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點．
(1)求的值；
(2)已知點，是該一次函數圖象上一點，當的面積為6時，求點的坐標．
【答案】(1)，
(2)點的坐標為或
【分析】本題考查了利用待定系數法求一次函數的解析式、一次函數圖象的平移規律等知識點，根據一次函數圖象的平移規律得出k的值是解題關鍵．
（1）根據一次函數平移的性質得出一次函數解析式為，把代入求出b的值，即可得出一次函數解析式；
（2）根據題意得出，結合，，得出，求出或，即可得出點P的坐標．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，
∴，
∵一次函數經過點，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知一次函數解析式為，
如圖，∵是該一次函數圖象上一點，
∴，
∵，，
∴，
解得：或，
當時，，
當時，，
∴點的坐標為或．
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5.4一次函數的圖象八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：根據一次函數增減性判斷自變量的變化情況
【經典例題1】點和都在直線上，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．大小關系無法確定
【變式訓練1-1】已知點和點都在一次函數的圖象上，則與的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】一次函數的自變量的取值范圍是，相應函數值的取值范圍是，則下列符合題意的函數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．請用這句話提到的數學思想方法解決下面的問題，已知函數，且關于，的二元一次方程有兩組解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】已知點，是一次函數圖象上兩點，且滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】我是一條直線，很有名氣的直線，數學家們給我命名為．在我的圖象上有兩點，且，，當時，m的取值范圍是( )
A． B． C． D．
題型二：比較一次函數值大小
【經典例題2】已知點都在一次函數的圖象上，且，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-1】已知是一次函數圖象上的兩點，下列判斷中正確的是（ ）
A． B．
C．當時， D．當時，
【變式訓練2-2】點，在一次函數的圖象上，則，的大小關系是（　　）
A． B． C． D．無法確定
【變式訓練2-3】已知一次函數的圖像經過三個點、、，則、、的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】已知一次函數的圖象經過點，，則 ．（填“”“”或“”）
【變式訓練2-5】已知點，都在直線上，則、大小關系是 ．
【變式訓練2-6】若點A、B：（﹣2，y1）、（﹣1，y2）都在直線y＝kx+b上，且直線y＝kx+b和直線y＝﹣2x+5平行，則y1 y2（填＞，＜，＝）．
題型三：一次函數的位置關系（平行）
【經典例題3】已知直線與直線平行，若點、、都在直線上，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】已知直線與直線平行，若點，，都在直線上，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】關于函數，下列結論正確的是（ ）
A．圖象與直線平行
B．圖象經過第一、二、三象限
C．圖象一定經過點
D．若點和點在直線上，則
【變式訓練3-3】已知一個一次函數的圖象與直線平行，且與函數的圖象交y軸上于同一點，那么這個一次函數的表達式是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-4】關于一次函數的一些性質，下列說法正確的是（ ）
A．與y軸的交點為 B．隨著x的增大而減小
C．與垂直 D．與平行．
【變式訓練3-5】直線與直線的位置關系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【變式訓練3-6】已知直線與直線平行，且經過點，則b的值是 ．
題型四：一次函數的位置關系（垂直）
【經典例題4】下列直線中，與直線垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】若直線 y=kx+b與直線y=-2x+3相互垂直，則k= .
【變式訓練4-2】直線經過點，且與直線垂直，求直線的函數表達式．
【變式訓練4-3】閱讀理解：已知兩直線，L1：y＝k1x+b1，L2：y＝k2x+b2，
若L1⊥L2，則有k1 k2＝﹣1，根據以上結論解答下列各題：
（1）已知直線y＝2x+1與直線y＝kx﹣1垂直，求k的值；
（2）若一條直線經過A（2，3），且與y＝﹣x+3垂直，求這條直線所對應的一次函數的關系式．
題型五：一次函數規律探究
【經典例題5】如圖，在平面直角坐標系中，函數和的圖象分別為直線，，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，…，依次進行下去，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-1】如圖，在平面直角坐標系中，點…都在 x 軸上，點…都在直線上，，，，，…都是等腰直角三角形，且則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，在平面直角坐標系中，函數和的圖象分別為直線，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點……依次進行下去，則點的橫坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-3】在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，如圖所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得點在直線上，點在軸正半軸上，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-4】如圖，在平面直角坐標系中，點，，，…，和，，，…，分別在直線和軸上，，，，…都是等腰直角三角形．如果點，那么的縱坐標是 ．
【變式訓練5-5】如圖，在平面直角坐標系中，直線：交軸于點，交軸于點，點，，在直線上，點，，，在軸的正半軸上，若，，，，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在軸上，則第個等腰直角三角形頂點的橫坐標為 ．
題型六：待定系數法求一次函數解析式
【經典例題6】已知一次函數（k為常數，）的圖象經過點和兩點．
(1)求這個一次函數的解析式．
(2)當時，求自變量x的取值范圍．
【變式訓練6-1】如圖，已知點、點．

(1)求直線所對應的函數表達式；
(2)在直線上有點P，滿足點P到x軸的距離等于6，求點P的坐標．
【變式訓練6-2】一次函數的圖象經過點，且截距為2．
(1)求，的值．
(2)當時，求的值．
【變式訓練6-3】已知與成正比例，且當時，．
(1)求與之間的函數表達式．
(2)若點在這個函數的圖象上，求的值．
【變式訓練6-4】已知一次函數的圖像經過，兩點．
(1)求這個一次函數的表達式；
(2)求此函數與軸、軸圍成的三角形的面積．
【變式訓練6-5】已知關于x的一次函數．
(1)若該函數圖象向上平移2個單位后過點，求m的值；
(2)若函數圖象經過第一、二、四象限，求m的取值范圍．
題型七：一次函數圖像的判斷
【經典例題7】在同一坐標系中，函數與的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】已知與是一次函數．若，那么如圖所示的個圖中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-2】已知直線：與直線：在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-3】在平面直角坐標系中，一次函數的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-4】如圖，兩個不同的一次函數與的圖象在同一平面直角坐標系內的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練7-5】兩條直線與在同一直角坐標系中的圖象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
題型八：一次函數綜合
【經典例題8】如圖，直線l是一次函數的圖象，且經過點和點．
(1)求直線l的表達式；
(2)求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形的面積；
(3)設點P在y軸上，若的面積為，求點P的坐標．
【變式訓練8-1】已知一次函數的圖象與直線平行，且與軸交于點
(1)求該一次函數的函數表達式；
(2)根據（1）的結果，對于，請說明隨的變化情況；
(3)若一次函數圖象上有兩點、，，求的值；
【變式訓練8-2】已知函數．
(1)若函數的圖象平行直線，求的值；
(2)若這個函數是不經過原點的一次函數，且隨著的增大而減小，求的取值范圍．
【變式訓練8-2】如圖， ABC的三個頂點的坐標分別是，，．
(1)作出 ABC向左平移4個單位長度后得到的，并寫出點的坐標．
(2)已知與 ABC關于直線對稱．若點的坐標為，畫出直線并寫出直線的函數表達式．
注：點，，及點，，分別是點，，按題中要求變換后對應得到的點．
【變式訓練8-3】如圖，直線與x軸相交于點A，與y軸相交于點 B．
(1)直接寫出 AOB的面積；
(2)若C為y軸上一點，且 ABC的面積是，求點C的坐標；
(3)若P是x軸上一點，且，求P的坐標．
【變式訓練8-4】在平面直角坐標系中，已知點C為直線上在第一象限內的一點，若點關于原點對稱．
(1)求的值；
(2)將直線沿射線方向平移個單位，求平移后的直線解析式．
【變式訓練8-5】在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象平移得到，且經過點．
(1)求的值；
(2)已知點，是該一次函數圖象上一點，當的面積為6時，求點的坐標．
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