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5.3一次函數七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：正比例函數的定義
【經典例題1】下列函數中，是正比例函數的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查正比例函數的判斷．根據正比例函數的定義：形如，這樣的函數叫做正比例函數，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是正比例函數，本選項不符合題意；
B、是正比例函數，本選項符合題意；
C、不是正比例函數，本選項不符合題意；
D、不是正比例函數，本選項不符合題意；
故選：B．
【變式訓練1-1】如果是關于的正比例函數，則的值為（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】C
【分析】本題考查了正比例函數的定義．熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．
由是關于的正比例函數，可知中，求解作答即可．
【詳解】解：∵是關于的正比例函數，
∴中，
解得，，
故選：C．
【變式訓練1-2】若是正比例函數，則m的值為 ．
【答案】
【分析】此題考查了正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數定義是解題的關鍵．
根據正比例函數的定義得到且，即可得到答案．
【詳解】解：∵正比例函數為，
，且，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練1-3】已知函數，當a 時，它是正比例函數．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數的定義，一次函數的定義條件是：、為常數，，自變量次數為1，的一次函數是正比例函數．根據正比例函數的定義，可得答案．
【詳解】解：已知函數，當且時，它是正比例函數，
解得：．
故答案為：．
【變式訓練1-4】定義為一次函數的特征數，若特征數為的一次函數為正比例函數，則為 ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義、正比例函數的定義，熟練掌握正比例函數的定義是解題的關鍵．
根據特征數的定義及正比例函數的定義，可得，，解方程即可求解．
【詳解】解：根據題意，特征數為的一次函數表達式為：，
∵為正比例函數，
∴，，
解得：，
故答案為：．
題型二：識別一次函數
【經典例題2】下列函數中，是的一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一次函數的定義，熟練掌握一次函數的定義是解題的關鍵．根據一次函數的定義：，進行判斷即可．
【詳解】解：A、，未知數最高次不是1次，不符合題意一次函數的解析式形式，故不符合題意；
B、沒有未知數，不符合題意一次函數的解析式形式，故不符合題意；
C、不符合題意一次函數的解析式形式，一次函數解析式右邊應為整式，故不符合題意；
D、是一次函數，故符合題意．
故選：D．
【變式訓練2-1】在下列函數解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數的的定義，一次函數中自變量的系數不能為0，且自變量次數為1，據此對各個函數分析，得出正確答案．
【詳解】解：①，時不是一次函數；
②，不具備一次函數的特征，不是一次函數；；
③是一次函數；
④，是一次函數；
⑤是一次函數，
所以是一次函數的有3個．
故選：B．
【變式訓練2-2】有下列函數關系式：①；②；③；④，其中一次函數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查一次函數的定義，在某一個變化過程中，設有兩個變量x和y，如果滿足這樣的關系：(k為一次項系數且，b為任意常數)，那么我們就說y是x的一次函數，其中x是自變量，y是因變量 (又稱函數）．
【詳解】解：①是一次函數，②是一次函數，③的自變量的次數為2，不是一次函數，④的在分母上，不是一次函數，
所以一次函數有個，
故選B．
【變式訓練2-3】有下列函數：①；②；③ ；④．其中是一次函數的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數，根據一次函數的定義：一般的，形如（，為常數）的函數叫一次函數，據此即可判斷求解，掌握一次函數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：根據一次函數的定義可得①②是一次函數，③④不是一次函數，
∴一次函數有個，
故選：．
【變式訓練2-4】在下列函數解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】根據一次函數的定義，對各個函數進行分析，即可求解，
本題主要考查了一次函數的定義，解題的關鍵是：熟練掌握一次函數的定義．
【詳解】解：①當時，不是一次函數，
②，不是一次函數，
③，是一次函數，
④，是一次函數，
⑤，是一次函數，
綜上所述，③④⑤是一次函數，共3個，
故選：B．
【變式訓練2-5】函數：①；②；③；④；⑤．是一次函數的有 ．
【答案】②④
【分析】本題考查一次函數的定義，判定一個函數是否是一次函數，從三個方面出發：①含有一個未知數；②未知數的最高次數是1次；③是一個整式，對題中所給的五個逐項驗證即可得到答案，熟記一次函數定義是解決問題的關鍵．
【詳解】解：①，當時，不滿足一次函數定義，不符合題意；
②，滿足一次函數定義，符合題意；
③，是分式，不滿足一次函數定義，不符合題意；
④，滿足一次函數定義，符合題意；
⑤，是二次函數，不滿足一次函數定義，不符合題意；
綜上所述，②④是一次函數，
故答案為：②④．
題型三：根據一次函數的定義求參數
【經典例題3】已知函數．若這個函數是關于的一次函數，則 ．
【答案】0
【分析】本題主要考查了一次函數的定義，掌握一次函數的一次項系數不能為0成為解題的關鍵．
由于函數是一次函數，則二次項系數為0且一次項系數不為0，據此列不等式組求解即可．
【詳解】解：∵函數是關于的一次函數，
∴，解得：．
故答案為：0
【變式訓練3-1】已知函數，當k 時，它是一次函數，當 時，它是正比例函數．
【答案】
【分析】本題主要考查了一次函數和正比例函數的定義，對于函數（k、b）是常數，當時，該函數為一次函數，當且時，該函數是正比例函數，據此求解即可．
【詳解】解： ∵是一次函數，
∴，
∴；
∵是正比例函數，
∴，
∴，
故答案為：；．
【變式訓練3-2】已知函數．
(1)當，為何值時，此函數是一次函數？
(2)當，為何值時，此函數是正比例函數？
【答案】(1)當，為任意實數時，這個函數是一次函數
(2)當，時，這個函數是正比例函數
【分析】此題主要考查了一次函數以及正比例函數的定義，正確把握次數與系數的關系是解題關鍵．
（1）直接利用一次函數的定義分析得出答案；
（2）直接利用正比例函數的定義分析得出答案．
【詳解】（1）解：根據一次函數的定義，得：，
解得，
又即，
當，為任意實數時，這個函數是一次函數；
（2）解：根據正比例函數的定義，得：，，
解得，，
又即，
當，時，這個函數是正比例函數．
【變式訓練3-3】已知函數為一次函數，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數的定義，形如的函數叫做一次函數．根據一次函數的定義求解即可．
【詳解】解 ：函數是一次函數，
，
解得：．
【變式訓練3-4】已知．
(1)當m，n取何值時，y是x的一次函數？
(2)當m，n取何值時，y是x的正比例函數？
【答案】(1)，n為任意實數
(2)，
【分析】本題考查了一次函數和正比例函數的定義，形如的是一次函數，形如的是正比例函數．
（1）根據一次函數的定義即可解答；
（2）根據正比例函數的定義即可解答．
【詳解】（1）解：∵是一次函數，
∴，
解得：，
∴，n為任意實數；
（2）解：∵是正比例函數，
∴，
解得：．
題型四：求一次函數自變量或函數值
【經典例題4】已知與成正比例，且當時，．
(1)求y與的函數解析式；
(2)如果x的取值范圍是，求y的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了求正比例函數解析式，求一次函數值的取值范圍：
（1）設 ，然后利用待定系數法求解即可；
（2）根據一次函數的性質得到y隨x增大而減小，再分別求出當時，當時的函數值即可得到答案．
【詳解】（1）解：設 ，
∵當時，，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵在中，，
∴y隨x增大而減小，
當時，，
當時，，
∴當時，．
【變式訓練4-1】已知：y與成正比例，且時，．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)點在這個函數的圖像上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了正比例函數解析式，求自變量的值等知識．熟練掌握正比例函數解析式，求自變量的值是解題的關鍵．
（1）設y與x之間的函數關系式為，將，代入得，，可求，進而可得y與x之間的函數關系式；
（2）將代入得，，計算求解，然后作答即可．
【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為，
將，代入得，，
解得，，
∴，
∴y與x之間的函數關系式為；
（2）解：將代入得，，
解得，．
【變式訓練4-2】已知與成正比例，且當時，．
(1)求關于的函數解析式；
(2)若點關于軸的對稱點恰好落在該函數的圖象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，關于y軸對稱點的坐標特征等知識，解題的關鍵是：
（1）設，把，代入求解即可；
（2）利用軸對稱性求出對稱點的坐標，然后代入求解即可．
【詳解】（1）解：設，
把，代入，得，
解得，
∴
（2）解：點關于軸的對稱點為，
∵在的圖象上，
∴．
【變式訓練4-3】已知與成正比例函數關系，且時，．
(1)寫出與之間的函數解析式；
(2)求當時，的值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式、函數值．
（1）根據y與成正比例關系設出函數的解析式，再把當時，代入函數解析式即可求出k的值，進而求出y與x之間的函數解析式．
（2）根據（1）中所求函數解析式，將代入其中，求得y值；
【詳解】（1）解：依題意得：設．
將代入得：，
解得：．
故y與x之間的函數關系式為：．
（2）解：由（1）知，，
則當時，，
即．
【變式訓練4-4】已知與成正比例，當時，．
(1)求出y與x的函數關系式；
(2)設點在這個函數的圖象上，求a的值．
(3)試判斷點是否在此函數圖像上，說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)點不在此函數的圖象上，理由見解析
【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上的點的坐標特征、解一元一次方程，熟練掌握相關知識的運用是解答的關鍵．
（1）設，將x、y值代入求出k值即可求解；
（2）將點代入（1）中函數關系式中求解即可；
（3）將代入（1）中函數關系式中求解判斷即可．
【詳解】（1）根據題意，設，
∵當時，，
∴，
解得：，
∴，即，
∴y與x的函數關系式為；
（2）將點代入得：，
解得：；
（3）當時，，
則點不在此函數的圖象上．
【變式訓練4-5】已知與成正比例，且時．
(1)求與之間的函數關系式；
(2)當時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是靈活運用待定系數法建立函數解析式．
（1）已知與成正比例，可設，把，代入求出k的值，從而可得函數解析式；
（2）在解析式中，令求出x即可．
【詳解】（1）解：因為與成正比例，
所以可設，
將代入，得，
解得：，
所以與之間的函數關系式為：，即；
（2）解：將代入得：，
解得：．
題型五：列一次函數解析式并求值
【經典例題5】已知函數，
(1)當是何值時函數是一次函數．
(2)當函數是一次函數時，寫出此函數解析式．并計算當時的函數值．
(3)點在此一次函數圖象上，則的值為多少．
【答案】(1)
(2)，當時，
(3)
【分析】（1）根據一次函數的定義進行求解即可；
（2）根據（1）所求代入m得值求出對應的函數關系式，再把代入對應的函數關系式求出此時y的值即可；
（3）代入，求出此時x的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵函數是一次函數，
∴，
∴，
∴當時，函數是一次函數；
（2）解：由（1）得，
∴當時，；
（3）解：在中，當時，，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一次函數的定義，求一次函數的函數值和自變量的值，一般地，形如（其中k、b都是常數，且）的函數叫做一次函數．
【變式訓練5-1】某商超采購員李伯伯到臨沂皇山蔬菜水果批發市場批發甲、乙兩種蔬菜，已知甲、乙兩種蔬菜的批發價和零售價如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批發價/（元/kg）
零售價/（元/kg）
(1)若他批發甲、乙兩種蔬菜共花90元．求批發甲乙兩種蔬菜各多少千克？（列方程或方程組求解）
(2)若他批發甲、乙兩種蔬菜共花m元，設批發甲種蔬菜，求m與n的函數關系式；
(3)在（2）的條件下，全部賣完蔬菜后要保證利潤不低于元，至少批發甲種蔬菜多少千克？
【答案】(1)批發甲蔬菜，乙蔬菜；
(2)；
(3)至少批發甲種蔬菜．
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用、一元一次不等式的應用、列函數關系式等知識點，弄清量之間的關系成為解題的關鍵．
（1）設批發甲蔬菜，乙蔬菜，然后根據等量關系“批發甲、乙兩種蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可；
（2）設批發甲種蔬菜，乙蔬菜，然后根據銷售金額等于單價乘數量列出關系式即可；
（3）設批發甲種蔬菜，乙蔬菜，然后根據“全部賣完蔬菜后要保證利潤不低于元”列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設批發甲蔬菜，乙蔬菜，
由題意得：， 解得：，
乙蔬菜為：．
答：故批發甲蔬菜，乙蔬菜．
（2）解：設批發甲種蔬菜，乙蔬菜，
由題意得：．
答：m與n的函數關系為：．
（3）解:設批發甲種蔬菜，乙蔬菜，
由題意得， 解得．
答：至少批發甲種蔬菜．
【變式訓練5-2】書法是文字美的藝術表現形式，中國書法歷史悠久，書體沿革流變，書法藝術異采迷人，是中國漢字特有的一種傳統藝術．某校舉辦以“發揚藝術之光，傳承書法風采”為主題的書法比賽活動，校團委計劃購買某種標價為120元/套的書法套具，文具店老板給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10套，單價為120元/套；如果一次性購買超過10套，那么每增加1套，購買的所有書法套具的單價每套降低5元，但單價不得低于60元/套．設校團委一次性購買書法套具x套，購買的實際單價為y元/套．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)當時，求校團委購買這些書法套具的實際付款總額．
【答案】(1)
(2)1400元
【分析】本題考查一次函數的實際應用，正確的列出函數關系式是解題的關鍵：
（1）根據優惠方案，列出函數關系式即可；
（2）把代入（1）中的解析式進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得：；
（2）當時，，
故校團委購買這些書法套具的實際付款總額為元．
【變式訓練5-3】在某次抗震救災中，鄭州市組織20輛汽車裝運食品，藥品，生活用品三種救災物資共100噸到災民安置點．按計劃20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種救災物資，且必須裝滿．請根據下表信息，回答問題：
物資種類 食品 藥品 生活用品
每輛汽車運載量（噸） 6 5 4
每噸所需運費（元） 120 160 100
(1)設裝運食品的車輛數為x，裝運藥品的車輛數為y，求y與x之間的函數表達式；
(2)若裝運食品的車輛數不少于5，裝運藥品的車輛數不少于4，那么車輛的安排有幾種方案？
【答案】(1)
(2)安排方案有4種，見解析
【分析】（1）先表示出裝運生活用品的車輛數為，再結合表格中的數據解答即可；
（2）先根據題意得出關于x的不等式組，求出解集后結合x為整數即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據題意，裝運食品的車輛數為x，裝運藥品的車輛數為y，那么裝運生活用品的車輛數為，
則有，
整理得，，
∴y與x之間的函數表達式為；
（2）由（1）知，裝運食品，藥品，生活用品三種物資的車輛數分別為x，，x，
由題意，得，
解這個不等式組，得，
因為x為整數，所以x的值為5，6，7，8．
所以安排方案有4種：方案一：裝運食品5輛、藥品10輛，生活用品5輛；方案二：裝運食品6輛、藥品8輛，生活用品6輛；方案三：裝運食品7輛、藥品6輛，生活用品7輛；方案四：裝運食品8輛、藥品4輛，生活用品8輛．
【點睛】本題考查了列出實際問題中的函數關系式和一元一次不等式組的應用，正確理解題意、列出函數關系式和不等式組是解題的關鍵．
【變式訓練5-4】下面是八年級上冊《4.2一次函數與正比例函數》的問題解決：某電信公司手機的類收費標準如下：不管通話時間多長，每部手機每月必須繳月租費12元，另外，通話費按0.2元計．類收費標準如下：沒有月租費，但通話費按0.25元計．
(1)根據函數的概念，我們首先將問題中的兩個變量分別設為通話時間和手機話費，請寫出，兩種計費方式分別對應的函數表達式．
(2)月通話時間為多長時，兩種套餐收費一樣？
(3)若每月平均通話時長為300分鐘，選擇哪類收費方式較少？請說明理由．
【答案】(1)類：，類：
(2)
(3)類，理由見解析
【分析】（1）直接根據題意列代數式即可；
（2）將兩解析式聯立求解即可；
（3）分別將代入解析式求出y的值比較即可．
【詳解】（1）由題意可知，類：，類：
（2）因為，解得
所以當通話時間等于時，兩類收費方式所繳話費相等；
（3）當時，，
因為，所以應該選擇類繳費方式．
【點睛】本題考查了列一次函數解析式并求值，正確列出兩解析式是解題的關鍵．
【變式訓練5-5】“綠葉”家政服務公司選派16名清潔工去打掃新裝修的“海天”賓館的房間，房間有大、小兩種規格，每名清潔工一天能打掃4個大房間或5個小房間．設派x人去清掃大房間，其余人清掃小房間，清掃一個大房間工錢為80元，清掃一個小房間工錢為60元．
(1)寫出家政服務公司每天的收入y（元）與x（人）之間的函數關系式：
(2)應該怎樣安排這16名清潔工清掃？才能一天為“綠葉”家政服務公司創收5000元．
【答案】(1)
(2)應該安排這10名清潔工清掃大房間，6名清掃小房間
【分析】（1）設派x人去清掃大房間，則人清掃小房間，根據題意列出y（元）與x（人）之間的函數關系式即可；
（2）把，代入求解即可．
【詳解】（1）有x人清掃大房間，則有人清掃小房間
∴
（2）解得：，
答：應該安排這10名清潔工清掃大房間，6名清掃小房間．
【點睛】本題考查了列一次函數解析式，已知函數值求自變量x的值，屬于基礎題，第（1）問要寫出自變量的取值范圍是易錯點．
題型六：一次函數過定點問題
【經典例題6】已知直線的解析式為，則直線過定點（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】當時，得到，即可得到打答案，此題考查一次函數的圖象和性質，熟練掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：當時，，
∴直線過定點，
故選：B
【變式訓練6-1】無論取何值，直線（為常數，）恒過一定點，則該定點的坐標為 ．
【答案】
【詳解】解法一：，令，則，此時直線（為常數，所過的定點坐標為．
【變式訓練6-2】對于任意實數m，一次函數的圖像必過定點 ．
【答案】
【分析】本題考查了函數恒過定點的應用問題，是基礎題．把函數化為，令m的系數等于0，即可求得對應的值．
【詳解】解：∵一次函數，
∴可化為
令，則，
故，
∴函數的圖象必過定點．
故答案為：．
【變式訓練6-3】對任意實數m，直線經過一個定點，這個定點 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，將解析式變形為，結合題意得出，計算即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵對任意實數m，直線經過一個定點，
∴，
∴，此時，
∴定點為，
故答案為：．
【變式訓練6-4】無論取任何實數，一次函數必過一定點，此定點坐標為 ．
【答案】
【分析】解析式變形為，令，求出x，y的值即可
【詳解】解：由一次函數變形為，
令，
解得，
故一次函數必過一定點．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了恒過定點的直線．本題主要是利用了過兩條直線的交點的直線系方程求得定點，也可以利用的兩個不同值來確定交點坐標．
【變式訓練6-5】一次函數的圖象經過定點，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】將變形為，可知無論m取何值，當時，，由此可解．
【詳解】解：，
當時，，
因此該函數的圖象一定經過點，
即點的坐標是．
故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數過定點問題，解題的關鍵是將變形為．
題型七：已知一次函數求取值范圍
【經典例題7】如圖，在一次函數的圖像上存在點，使得點關于直線的對稱點在的邊上，其中，，，則的取值范圍是 ．（注：直線是指過且垂直于軸的直線）
【答案】
【分析】本題考查一次函數圖像上的點，不等式的應用，設點，根據點和點關于直線對稱得點，再根據點在的邊上得，由得，由得，由此可得的取值范圍，理解一次函數圖像上的點滿足一次函數的表達式，熟練掌握解不等式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：點在一次函數的圖像上，
設點的坐標為，
點和點關于直線對稱，
點和點的縱坐標相同，可設點的坐標為，
，即，
點的坐標為，
，，，點在的邊上，
，
由，得；由，得；
，
故答案為．
【變式訓練7-1】若，滿足，且為常數），則稱點為“和諧點”．一次函數存在“和諧點”，則b的取值范圍 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數的性質，因式分解的應用；根據新定義得出，進而得出，根據，即可求解．
【詳解】解：∵一次函數存在“和諧點”
∴，
∴，
∴
即
∵，即
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓練7-2】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，如果點滿足：，那么稱點M是點A，B的“雙減點”．
（i）若點，的“雙減點”M的坐標是，則點B的坐標是 ；
（ii）若點，的“雙減點”是點F，當點F在直線的上方時，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】（1）根據點是點、的“雙減點”的定義可求點坐標；
（2）點，的“雙減點”是點，可表示出點的坐標，根據點在直線下方可得出關于的不等式，解不等式即可．
【詳解】解：（1）點， “雙減點” M的坐標是，
，，
，，
點M坐標，
故答案為：；
（2）點，的“雙減點”是點，
，，即，，
點在直線上方，
，
解得，
故答案為：．
【點睛】此題考查了一次函數的圖象和性質，一次函數圖象上點的坐標特征，能夠利用新定義表示出點的坐標是解題的關鍵．
【變式訓練7-3】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，如果點滿足：，，那么稱點式點，的“雙減點”．
（1）若點，的“雙減點”的坐標是，則點的坐標是 ．
（2）若點，的“雙減點”是點，當點在直線的下方時，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】（1）根據點是點、的“雙減點”的定義可求點坐標；
（2）點，的“雙減點”是點，可表示出點的坐標，根據點在直線下方可得出關于的不等式，解不等式即可．
【詳解】解：（1）點，的“雙減點”的坐標是，
∴，，
∴，，
∴點坐標，
故答案為：；
（2）∵點，的“雙減點”是點，
∴，，
即，，
∵點在直線下方，
∴，
解得，
故答案為：．
【點睛】此題考查了一次函數的圖象和性質，一次函數圖象上點的坐標特征，能夠利用新定義表示出點的坐標是解題的關鍵．
【變式訓練7-4】在平面直角坐標系中點，．若，a為常數，且，則稱點B為點A的“a級上升點”．
如點為點的“級上升點”．
(1)點C為點的“1級上升點”，則點C的坐標為________；
(2)若點的“2級上升點”為點Q，且點Q恰好在y關于x的一次函數的圖象上，求t的值；
(3)若直線上恰有一點的“級上升點”在y關于x的函數的圖象上，求n的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用新定義計算解題；
（2）根據新定義可以得到點Q的坐標為，代入一次函數解析式即可求值；
（3）設直線上的點坐標為且，根據新定義得到“級上升點”坐標為，分兩種情況分別解題即可．
【詳解】（1）由定義可知點C的坐標為，即，
故答案為：．
（2）解：∵點的“2級上升點”為點Q，
∴點Q的坐標為，
又∵點Q在函數圖象上，
∴，
解得：；
（3）解：設直線上的點坐標為且，
則這點的“級上升點”坐標為，
即，
當時，則
整理得：，
則，解得無解；
當時，則，
解得：，
即，解得，
綜上所述：．
【點睛】本題考查新定義下的實數運算，解題的關鍵在于讀懂新定義，利用新定義給出的公式解決問題．
【變式訓練7-5】定義：對于給定的兩個函數，當時，它們對應函數值相等；當時，它們對應的函數值互為相反數．我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．
例如：一次函數，它的相關函數為
（1）已知點在一次函數的相關函數的圖象上，則的值為______；
（2）已知一次函數．
①這個函數的相關函數為______；
②若點在這個函數的相關函數的圖象上，求的值；
③當時，這個函數的相關函數的取值范圍是，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）；（2）①；②或2；③．
【分析】（1）將該點的橫坐標代入一次函數y= x+2的相關函數即可求值；
（2）①根據題意列出函數式即可，
②根據題意把點N的坐標代入函數式求解即可，
③分別討論n和n+1與0的關系代入不同函數式求解即可；
【詳解】由題意知：一次函數，它的相關函數為，
把x=-1代入 y= x+2 的相關函數得：y=-3，
故答案為：；
（2）①；
②的相關函數是，
當時，，解得；
當時，，解得；
∴或2；
③當n≥0時，x=n代入函數則：y=2n-1，
x=n+1代入函數則：y=2（n+1）-1=2n+1，
∵2n-1<2n+1，
∴-2n+1=-1，2n+1=3，
∴n=1，
則
當n+1<0時，x=n代入函數則：y=-2n+1，
x=n+1代入函數則：y=-2（n+1）+1=-2n-1，
∵-2n+1>-2n-1，
∴-2n+1=3，
則n=-1（舍去）；
當n+1≥0，n<0，即-1≤n<0時，
x=n代入函數則：y=-2n+1，
x=n+1代入函數則：y=2（n+1）-1=2n+1，
∵-2n+1>2n+1,
∴-2n+1=3，2n+1=-1，
∴n=-1，
則
綜上所述：．
【點睛】此題考查一次函數相關知識，利用相反數引入相關函數的定義，對題意理解是關鍵．
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5.3一次函數七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：正比例函數的定義
【經典例題1】下列函數中，是正比例函數的為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如果是關于的正比例函數，則的值為（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【變式訓練1-2】若是正比例函數，則m的值為 ．
【變式訓練1-3】已知函數，當a 時，它是正比例函數．
【變式訓練1-4】定義為一次函數的特征數，若特征數為的一次函數為正比例函數，則為 ．
題型二：識別一次函數
【經典例題2】下列函數中，是的一次函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】在下列函數解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓練2-2】有下列函數關系式：①；②；③；④，其中一次函數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練2-3】有下列函數：①；②；③ ；④．其中是一次函數的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練2-4】在下列函數解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函數的有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓練2-5】函數：①；②；③；④；⑤．是一次函數的有 ．
題型三：根據一次函數的定義求參數
【經典例題3】已知函數．若這個函數是關于的一次函數，則 ．
【變式訓練3-1】已知函數，當k 時，它是一次函數，當 時，它是正比例函數．
【變式訓練3-2】已知函數．
(1)當，為何值時，此函數是一次函數？
(2)當，為何值時，此函數是正比例函數？
【變式訓練3-3】已知函數為一次函數，求的值．
【變式訓練3-4】已知．
(1)當m，n取何值時，y是x的一次函數？
(2)當m，n取何值時，y是x的正比例函數？
題型四：求一次函數自變量或函數值
【經典例題4】已知與成正比例，且當時，．
(1)求y與的函數解析式；
(2)如果x的取值范圍是，求y的取值范圍．
【變式訓練4-1】已知：y與成正比例，且時，．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)點在這個函數的圖像上，求m的值．
【變式訓練4-2】已知與成正比例，且當時，．
(1)求關于的函數解析式；
(2)若點關于軸的對稱點恰好落在該函數的圖象上，求的值．
【變式訓練4-3】已知與成正比例函數關系，且時，．
(1)寫出與之間的函數解析式；
(2)求當時，的值．
【變式訓練4-4】已知與成正比例，當時，．
(1)求出y與x的函數關系式；
(2)設點在這個函數的圖象上，求a的值．
(3)試判斷點是否在此函數圖像上，說明理由．
【變式訓練4-5】已知與成正比例，且時．
(1)求與之間的函數關系式；
(2)當時，求的值．
題型五：列一次函數解析式并求值
【經典例題5】已知函數，
(1)當是何值時函數是一次函數．
(2)當函數是一次函數時，寫出此函數解析式．并計算當時的函數值．
(3)點在此一次函數圖象上，則的值為多少．
【變式訓練5-1】某商超采購員李伯伯到臨沂皇山蔬菜水果批發市場批發甲、乙兩種蔬菜，已知甲、乙兩種蔬菜的批發價和零售價如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批發價/（元/kg）
零售價/（元/kg）
(1)若他批發甲、乙兩種蔬菜共花90元．求批發甲乙兩種蔬菜各多少千克？（列方程或方程組求解）
(2)若他批發甲、乙兩種蔬菜共花m元，設批發甲種蔬菜，求m與n的函數關系式；
(3)在（2）的條件下，全部賣完蔬菜后要保證利潤不低于元，至少批發甲種蔬菜多少千克？
【變式訓練5-2】書法是文字美的藝術表現形式，中國書法歷史悠久，書體沿革流變，書法藝術異采迷人，是中國漢字特有的一種傳統藝術．某校舉辦以“發揚藝術之光，傳承書法風采”為主題的書法比賽活動，校團委計劃購買某種標價為120元/套的書法套具，文具店老板給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10套，單價為120元/套；如果一次性購買超過10套，那么每增加1套，購買的所有書法套具的單價每套降低5元，但單價不得低于60元/套．設校團委一次性購買書法套具x套，購買的實際單價為y元/套．
(1)求y與x之間的函數關系式；
(2)當時，求校團委購買這些書法套具的實際付款總額．
【變式訓練5-3】在某次抗震救災中，鄭州市組織20輛汽車裝運食品，藥品，生活用品三種救災物資共100噸到災民安置點．按計劃20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種救災物資，且必須裝滿．請根據下表信息，回答問題：
物資種類 食品 藥品 生活用品
每輛汽車運載量（噸） 6 5 4
每噸所需運費（元） 120 160 100
(1)設裝運食品的車輛數為x，裝運藥品的車輛數為y，求y與x之間的函數表達式；
(2)若裝運食品的車輛數不少于5，裝運藥品的車輛數不少于4，那么車輛的安排有幾種方案？
【變式訓練5-4】下面是八年級上冊《4.2一次函數與正比例函數》的問題解決：某電信公司手機的類收費標準如下：不管通話時間多長，每部手機每月必須繳月租費12元，另外，通話費按0.2元計．類收費標準如下：沒有月租費，但通話費按0.25元計．
(1)根據函數的概念，我們首先將問題中的兩個變量分別設為通話時間和手機話費，請寫出，兩種計費方式分別對應的函數表達式．
(2)月通話時間為多長時，兩種套餐收費一樣？
(3)若每月平均通話時長為300分鐘，選擇哪類收費方式較少？請說明理由．
【變式訓練5-5】“綠葉”家政服務公司選派16名清潔工去打掃新裝修的“海天”賓館的房間，房間有大、小兩種規格，每名清潔工一天能打掃4個大房間或5個小房間．設派x人去清掃大房間，其余人清掃小房間，清掃一個大房間工錢為80元，清掃一個小房間工錢為60元．
(1)寫出家政服務公司每天的收入y（元）與x（人）之間的函數關系式：
(2)應該怎樣安排這16名清潔工清掃？才能一天為“綠葉”家政服務公司創收5000元．
題型六：一次函數過定點問題
【經典例題6】已知直線的解析式為，則直線過定點（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】無論取何值，直線（為常數，）恒過一定點，則該定點的坐標為 ．
【變式訓練6-2】對于任意實數m，一次函數的圖像必過定點 ．
【變式訓練6-3】對任意實數m，直線經過一個定點，這個定點 ．
【變式訓練6-4】無論取任何實數，一次函數必過一定點，此定點坐標為 ．
【變式訓練6-5】一次函數的圖象經過定點，則點的坐標是 ．
題型七：已知一次函數求取值范圍
【經典例題7】如圖，在一次函數的圖像上存在點，使得點關于直線的對稱點在的邊上，其中，，，則的取值范圍是 ．（注：直線是指過且垂直于軸的直線）
【變式訓練7-1】若，滿足，且為常數），則稱點為“和諧點”．一次函數存在“和諧點”，則b的取值范圍 ．
【變式訓練7-2】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，如果點滿足：，那么稱點M是點A，B的“雙減點”．
（i）若點，的“雙減點”M的坐標是，則點B的坐標是 ；
（ii）若點，的“雙減點”是點F，當點F在直線的上方時，則m的取值范圍是 ．
【變式訓練7-3】定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，如果點滿足：，，那么稱點式點，的“雙減點”．
（1）若點，的“雙減點”的坐標是，則點的坐標是 ．
（2）若點，的“雙減點”是點，當點在直線的下方時，則的取值范圍是 ．
【變式訓練7-4】在平面直角坐標系中點，．若，a為常數，且，則稱點B為點A的“a級上升點”．
如點為點的“級上升點”．
(1)點C為點的“1級上升點”，則點C的坐標為________；
(2)若點的“2級上升點”為點Q，且點Q恰好在y關于x的一次函數的圖象上，求t的值；
(3)若直線上恰有一點的“級上升點”在y關于x的函數的圖象上，求n的取值范圍．
【變式訓練7-5】定義：對于給定的兩個函數，當時，它們對應函數值相等；當時，它們對應的函數值互為相反數．我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．
例如：一次函數，它的相關函數為
（1）已知點在一次函數的相關函數的圖象上，則的值為______；
（2）已知一次函數．
①這個函數的相關函數為______；
②若點在這個函數的相關函數的圖象上，求的值；
③當時，這個函數的相關函數的取值范圍是，直接寫出的取值范圍．
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