資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.2函數八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：函數的概念（圖像法）
【經典例題1】下列曲線中，能表示是的函數的是（ ）
A．B．C． D．
【變式訓練1-1】下列圖象中，表示y是x的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下列各曲線中，不能表示是的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】下列各曲線中，不能表示y是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-4】下面平面直角坐標系中的曲線不表示 y是x的函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】下列各曲線中表示y是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：函數的概念（解析式法）
【經典例題2】下列說法正確的是（ ）
A．變量，滿足，則是的函數
B．變量，滿足，則是的函數
C．變量，滿足，則是的函數
D．在中，是常量，，是自變量，是的函數
【變式訓練2-1】下列等式中，①，②，③，④其中函數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練2-2】下列關系式中，y不是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】下列式子中，y是x的函數關系的有 個．
①；②；③；④；
【變式訓練2-4】下列與的關系中，不是的函數關系的是 ．（填序號）
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
【變式訓練2-5】①；②；③；④； ⑤；⑥．
題型三：函數解析式
【經典例題3】周長的等腰三角形，其底邊長與腰長的函數關系式為 ．(要求寫出自變量取值范圍)
【變式訓練3-1】一輛汽車以的速度行駛，設行駛的路程為，行 駛 的 時 間 為，則s與t的關系式為 ．
【變式訓練3-2】某人購進一批蘋果到集貿市場零售，已知賣出的蘋果質量與售價y（元）之間的關系如下表：
質量 1 2 3 4
售價元
則y與x的關系式為 ，若賣出蘋果，售價為 元．
【變式訓練3-3】彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度與所掛物體的質量有下面關系：
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
那么彈簧總長與所掛物體質量之間的關系式為 ．
【變式訓練3-4】銀行存款，一年定期年利率為r，取款時還要上交的利息稅，某人存一年定期x元，到期后所得本金與利息之和為y元，則y與x之間的函數關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-5】一輛汽車油箱內有油48升，從某地出發，每行1千米，耗油0.6升，如果設剩油量為（升），行駛路程為（千米）
(1)上述變化過程中，哪個量是自變量，哪個量是因變量；
(2)用含的代數式表示；（寫出自變量的取值范圍）
(3)當時，是多少？當時，是多少？
題型四：求自變量的取值范圍
【經典例題4】函數中，自變量的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【變式訓練4-2】函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【變式訓練4-3】在周長為的等腰三角形中，底邊長為，腰長為，則關于的函數解析式為 ，定義域為 ．
【變式訓練4-4】要把儲水量為600立方米的一段河道的水抽干，現用每小時出水量30立方米的水泵抽水，則河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水時間t（小時）的函數關系式為 ，其時間t的取值范圍為 ．
【變式訓練4-5】如圖，線段的長為，點C是線段上一動點（點C不與A，B重合），分別以，為邊，在同側作正方形．設線段的長為，兩正方形的面積和為．
(1)寫出兩正方形的面積和關于線段的長的函數解析式及自變量的取值范圍；
(2)當時，求此時兩正方形的面積和S．
題型五：函數圖像的識別
【經典例題5】用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水時間t的函數關系的大致圖象如圖，則該容器可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】在某次救援活動中，我軍某部奉命前往災區，途中遇到塌方路段，經過一段時間的清障，該部加速前進，最后到達救災地點．則該部行進路程y 與行進時間x 的函數關系的大致圖象是（ ）
A．B． C． D．
【變式訓練5-2】用不同大小的橡皮泥捏同樣高的圓柱體，下面符合圓柱體的體積和底面積的關系的圖像是（ ）．
A．B．
C．D．
【變式訓練5-3】星期一早上，小明從家里出發勻速地步行去學校上學，他走了一半的路程后，發現快遲到了，于是他又加快速度勻速地跑步到學校，結果按時到達了學校．在這個過程中，小明與學校的距離y（米）與他步行的時間x（分鐘）的函數關系的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-4】如圖，一輛貨車勻速通過一條隧道（隧道長大于貨車長），從貨車頭剛進入隧道開始，貨車在隧道內的長度與行駛的時間之間的關系用圖象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
題型六：從函數圖像中獲取信息
【經典例題6】一條公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人騎自行車分別從A村、B村同時出發前往C村，甲、乙之間的距離s（km）與騎行時間t（h）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①A，B兩村相距；②甲出發后到達C村；③甲每小時比乙多騎行；④相遇后，乙又騎行了或時兩人相距．其中正確的是（　?。?br/>A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【變式訓練6-1】甲、乙兩車從A城出發勻速行駛至B城．在整個行駛過程中，甲、乙兩車離A城的距離與甲車行駛的時間之間的函數關系如圖所示．下列結論：①A，B兩城相距；②乙車比甲車晚出發，卻早到；③甲車的速度為；④乙車的速度為．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練6-2】在一條筆直的道路上依次有A，B，C三地，小明從A地跑步到達B地，休息后按原速跑步到達C地．小明距B地的距離與時間之間的函數圖象如圖所示．下列說法中①從A地到C地的距離為；②小明從B地到C地的速度是；③小明出發后到達C地；④小明距B地時所用的時間是．其中正確的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練6-3】“龜兔賽跑”的故事同學們都非常熟悉，下面情境草圖中的線段和折線表示“龜兔賽跑時路程與時間的關系”，根據圖中給出的信息，可得以下結論：
①兔子和烏龜賽跑的全過程是1500米；
②兔子在起初每分鐘跑350米，烏龜每分鐘爬30米；
③烏龜用了分鐘追上了正在睡覺的兔子；
④兔子醒來后，若以400米/分鐘的速度跑向終點，結果還是比烏龜晚到了1分鐘，可知兔子睡覺用了48分鐘．其中正確結論的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練6-4】車點從地出發，以千米時的速度勻速行駛，并往返于，兩地之間．乘客上、下車停留時間忽略不計
(1)從折線圖可以看出，騎車人一共休息______次，共休息______小時；點至點之間騎車人騎了______千米．
(2)通過計算說明，騎車人返回家時的平均速度是多少？
(3)請在圖中畫出點至點之間客車與地距離隨時間變化的函數圖象．
【變式訓練6-5】已知A、B兩城由筆直的鐵路連接，動車甲從A向B勻速前行，同時動車乙從B向A勻速前行，到達目的地時停止，其中動車乙速度較快，設甲乙兩車相距，甲行駛的時間為，y關于t的函數圖象如圖所示．
(1)填空：動車甲的速度為 ，動車乙的速度為 ；
(2)求圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義：
(3)兩車何時相距？
題型七：用描點法畫函數圖像
【經典例題7】小紅根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究．如圖是小紅的探 究過程，請你補充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 k …
根據函數的解析式和表中的數據，可計算 ；
(2)描點并畫出該函數的圖象；
(3)①根據函數圖象，寫出函數圖象的兩條性質： ；
② 若關于x的方 程有兩個實數解 ，則 n的取值范圍是 ．
【變式訓練7-1】在平面直角坐標系中畫出的圖像
解：列表（將下表填寫完整）
描點
連線
【變式訓練7-2】有這樣一個問題：探究函數的圖象與性質．
下面是小藝的探究過程，請補充完整：
(1)函數的自變量x的取值范圍是 ；
(2)下表是y與x的幾組對應值．
x … 1 2 …
y … 2 …
補全表格中的數據
(3)并畫出該函數的圖象．
【變式訓練7-3】電動汽車續航里程也可以稱作續航能力，是指電動汽車的動力蓄電池在充滿電的狀態下可連續行駛的總里程，它是電動汽車重要的經濟性指標．高速路況狀態下，電動車的續航里程除了會受到環境溫度的影響，還和汽車的行駛速度有關，某科研團隊為了分析續航里程與速度的關系，進行了如下的探究：下面是他們的探究過程，請補充完整：
(1)他們調取了某款電動汽車在某個特定溫度下的續航里程與速度的有關數據：
速度（千米/小時） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
續航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
則自變量是______，因變量是______．
(2)如果設速度為，續航里程為，請在下圖中畫出變量關系的圖象：
(3)結合畫出的圖象，下列說法正確的有______；
①y隨的增大而減??；
②當汽車的速度在千米/小時左右時，汽車的續航里程最大；
③實驗表明，汽車的速度過快或過慢時，汽車的續航里程都會變小．
(4)若想要該車輛的續航里程保持在500千米以上，該車的車速大約控制在______至______千米/小時范圍內．
【變式訓練7-4】某數學學習小組在研究函數時，對函數的圖像和性質進行了探究．探究過程如下：
x … 0 1 3 4 5 6 …
y … m 0 n 5 3 2 …
(1)x與y的幾組對應值如上表，其中______，______；
(2)在平面直角坐標系中，描出上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點畫出該函數的圖像；
(3)觀察圖像，我們可以認為函數的圖像可由函數的圖像向右平移______個單位，再向上平移______個單位得到；
(4)根據函數圖像，當時，自變量x的取值范圍為______．
【變式訓練7-5】某同學根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行了探究．下面是他的探究過程，請補充完整∶
(1)填表
x … …
y … …
(2)根據（1）中的結果，請在所給坐標系中畫出函數的圖像．
題型八：函數圖像中的動點問題
【經典例題8】如圖，在中，，D 為斜邊的中點，動點P 從B 點出發，沿運動，如圖 1所示，設 ，點P 運動的路程為x ，若y 與x 之間的函數圖象如圖2 所示，則y 的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【變式訓練8-1】如圖1，在矩形中，動點從點出發，以的速度沿折線向終點運動．設點的運動時間為，的面積為，圖2是點運動過程中與之間函數關系的圖象，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-2】如圖，點從的頂點出發，沿勻速運動到點，圖是點運動時，線段的長度隨時間變化的關系圖象，其中為曲線部分的最低點，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-3】如圖1，在長方形中，動點P 從點B 出發，以每秒2個單位長度的速度，沿運動至點A 停止，設點 P 運動的時間為，的面積為y．如果y關于x的變化情況如圖2所示，則的面積是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【變式訓練8-4】如圖1，正方形的邊上有一定點E，連接，動點P從正方形的頂點A出發，沿以的速度勻速運動到終點C圖2是點P運動時，的面積隨時間變化的全過程圖象，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-5】如圖1，在矩形中，點M從點A出發，以固定的速度沿運動到點D停止，連接，設點M的運動距離為x，的長為y，y關于x的函數圖象如圖2所示，則當M為的中點時，的面積為（ ）
A．5 B．8 C． D．12
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5.2函數八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：函數的概念（圖像法）
【經典例題1】下列曲線中，能表示是的函數的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了用圖象法表示函數、根據函數定義等知識點，理解函數的定義成為解題的關鍵.
根據函數的定義逐項判斷即可解答．
【詳解】解：對于C選項中的圖象，在自變量的取值范圍內作一條垂直于軸的直線，與圖象有且只有一個交點，從而能表示是的函數；
對于A、B、D三個選項中的圖象，在自變量的取值范圍內作一條垂直于軸的直線，與圖象有兩個交點，從而不能表示是的函數；
故選：C．
【變式訓練1-1】下列圖象中，表示y是x的函數的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了函數的概念，在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，由此即可判斷．
【詳解】
解：A、 表示y不是x的函數，該選項不符合題意的；
B、 表示y是x的函數，該選項是符合題意的；
C、 表示 y不是x的函數，該選項不符合題意的；
D、 表示 y不是x的函數，該選項不符合題意的；
故選：B．
【變式訓練1-2】下列各曲線中，不能表示是的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的定義，判斷解答即可．
本題考查了函數的定義的理解，正確理解定義中的一一對應原則是解題的關鍵．
【詳解】解：A、滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應關系，
故A不符合題意；
B、滿足對于x的每一個取值，y有唯一一個值與之對應關系，
故B不符合題意；
C、滿足對于x的每一個取值，y都有兩個值與之對應關系，
故C符合題意；
D、滿足對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應關系，
故D不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-3】下列各曲線中，不能表示y是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查函數的概念，在坐標系中，對于x的取值范圍內的任意一點，通過這點作x軸的垂線，則垂線與圖形只有一個交點．根據定義即可判斷．
【詳解】解：A．對于任意的，都有唯一的值與之對應，故本選項不符合題意；
B．對于任意的，都有唯一的值與之對應，故本選項不符合題意；
C．對于任意的，可能有兩個及以上值與之對應，故本選項符合題意；
D．對于任意的，都有唯一的值與之對應，故本選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-4】下面平面直角坐標系中的曲線不表示 y是x的函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了函數的定義，注意掌握在變化過程中對應的唯一性．函數是對于的任意取值，都有唯一確定的值和其對應，結合選項所給圖形即可作出判斷．
【詳解】解：、、都符合函數的定義，只有選項的圖象，一個對應的值不止一個，不能表示是的函數．
故選：C
【變式訓練1-5】下列各曲線中表示y是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了函數的概念，對應兩個變量x、y，對于每個x的值，y都有唯一的值與之對應，則y是x的函數，據此求解即可．
【詳解】解：A、對于每個x的值，y都有唯一的值與之對應，則y是x的函數，符合題意；
B、對于每個x的值，y不都有唯一的值與之對應，則y不是x的函數，不符合題意；
C、對于每個x的值，y不都有唯一的值與之對應，則y不是x的函數，不符合題意；
D、對于每個x的值，y不都有唯一的值與之對應，則y不是x的函數，不符合題意；
故選：A．
題型二：函數的概念（解析式法）
【經典例題2】下列說法正確的是（ ）
A．變量，滿足，則是的函數
B．變量，滿足，則是的函數
C．變量，滿足，則是的函數
D．在中，是常量，，是自變量，是的函數
【答案】B
【分析】根據函數的定義解答即可．
本題考查對函數概念的理解，認識變量和常量．
【詳解】解：與不是唯一的值對應，故選項錯誤；
B．當取一值時，有唯一的值與之對應，故選項正確；
C．與不是唯一的值對應，故選項錯誤；
D．在中，、是常量，是自變量，是的函數，故選項錯誤．
故選B．
【變式訓練2-1】下列等式中，①，②，③，④其中函數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】本題主要考查了函數的定義， 函數的定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，由此即可判斷．關鍵是掌握函數的定義．
【詳解】解：①，是函數，
②，是函數，
③，是函數，
④，是函數，
綜上①②②④是函數，
故選：D．
【變式訓練2-2】下列關系式中，y不是x的函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了函數概念；
對于自變量x的每一個取值，都有唯一y的值與之對應，此時稱y是x的函數；據此逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A.對于x的一個取值，y的取值不唯一，故y不是x的函數；
B.對于任意x的每一個取值，都有唯一y的值與之對應，故y是x的函數；
C.對于任意x的每一個取值，都有唯一y的值與之對應，故y是x的函數；
D.對于任意x的每一個取值，都有唯一y的值與之對應，故y是x的函數；
故選：A．
【變式訓練2-3】下列式子中，y是x的函數關系的有 個．
①；②；③；④；
【答案】3
【解析】略
【變式訓練2-4】下列與的關系中，不是的函數關系的是 ．（填序號）
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
【答案】②③
【解析】略
【變式訓練2-5】①；②；③；④； ⑤；⑥．
【答案】②③
【分析】本題考查函數定義，解題的關鍵是理解掌握自變量x在一定的范圍內取一個值，因變量y有唯一確定的值與之對應，則y叫x的函數．根據函數的定義，自變量x在一定的范圍內取一個值，因變量y有唯一確定的值與之對應，則y叫x的函數，即可得出答案．
【詳解】解：根據題意得①、④、⑤和⑥滿足取一個x的值，有唯一確定的y值和它對應，y是x的函數，而②和③對一個x的值，與之對應的可能有兩個y的值，故②和③y不是x的函數，
故答案為：②③．
題型三：函數解析式
【經典例題3】周長的等腰三角形，其底邊長與腰長的函數關系式為 ．(要求寫出自變量取值范圍)
【答案】
【分析】本題考查了函數關系式，根據周長等于三邊之和可得出和的關系式，再由三邊關系可得出的取值范圍．
【詳解】解：由題意得：，
，
根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得：，，
，
故答案為．
【變式訓練3-1】一輛汽車以的速度行駛，設行駛的路程為，行 駛 的 時 間 為，則s與t的關系式為 ．
【答案】
【分析】此題考查了列函數解析式．根據路程等于速度乘以時間即可得到答案．
【詳解】解：∵一輛汽車以的速度行駛，設行駛的路程為，行 駛 的 時 間 為，
∴s與t的關系式為，
故答案為：
【變式訓練3-2】某人購進一批蘋果到集貿市場零售，已知賣出的蘋果質量與售價y（元）之間的關系如下表：
質量 1 2 3 4
售價元
則y與x的關系式為 ，若賣出蘋果，售價為 元．
【答案】 12.1
【分析】本題考查了函數關系式，解題的關鍵是從表中所給信息中推理出x與y的關系，推理時要注意尋找規律．再代入求值．
根據表中所給信息，判斷出賣出1千克蘋果元，每增加1千克增加1.2元，列出函數關系式即可；再代入已知量，可求未知量．
【詳解】由表中信息可知，賣出1千克蘋果元，每增加1千克增加1.2元，
所以，賣出的蘋果數量x（千克）與售價y（元）之間的關系是：．
當時，．
故答案為：， 12.1．
【變式訓練3-3】彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度與所掛物體的質量有下面關系：
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
那么彈簧總長與所掛物體質量之間的關系式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了列函數關系式以及函數的表示方法，觀察表格可發現隨著x每增加1，y增加量0.5，0.5為常量，12也為常量，故可求出彈簧總長與所掛物體質量之間的關系式．
【詳解】解：由表可知，彈簧原長，每掛上的重物，彈簧伸長，
則彈簧總長與所掛物體質量之間的關系式為，
故答案為：．
【變式訓練3-4】銀行存款，一年定期年利率為r，取款時還要上交的利息稅，某人存一年定期x元，到期后所得本金與利息之和為y元，則y與x之間的函數關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查列函數關系式，根據本息和=本金+利息=本金+本金×利率即可得出
【詳解】解：根據題意得：，
故選：C
【變式訓練3-5】一輛汽車油箱內有油48升，從某地出發，每行1千米，耗油0.6升，如果設剩油量為（升），行駛路程為（千米）
(1)上述變化過程中，哪個量是自變量，哪個量是因變量；
(2)用含的代數式表示；（寫出自變量的取值范圍）
(3)當時，是多少？當時，是多少？
【答案】(1)行駛路程，剩油量
(2)
(3)42，40
【分析】本題考查了自變量及因變量的定義以及一次函數的簡單應用，穿插了函數值及函數關系式的知識．
（1）根據自變量及因變量的定義結合題意可得出答案；
（2）根據題意所述結合（1）所判斷的自變量與因變量即可列出函數關系式；
（3）分別令，及代入即可得出答案．
【詳解】（1）由題意得：自變量是行駛路程，因變量是剩油量，
故答案為：行駛路程，剩油量；
（2）根據每行1千米，耗油0.6升及總油量為48升可得：，
由題意可得，
∴，解得
故答案為：；
（3）當時，；
當時，，解得；
故答案為：42，40．
題型四：求自變量的取值范圍
【經典例題4】函數中，自變量的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了函數自變量的取值范圍的確定．函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數．
函數關系中主要有二次根式．根據二次根式的意義，被開方數是非負數求解．
【詳解】解：根據題意得：，
即．
故選：
【變式訓練4-1】在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定．根據分式有意義，分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練4-2】函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據題意，得，根據負整數指數冪，分式有意義的條件，零指數冪的條件解答即可．
本題考查了負整數指數冪，分式有意義的條件，零指數冪的條件，熟練掌握條件是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意，得，
故自變量x的取值范圍是且．
故答案為：且．
【變式訓練4-3】在周長為的等腰三角形中，底邊長為，腰長為，則關于的函數解析式為 ，定義域為 ．
【答案】
【分析】本題考查根據實際問題列函數解析式，根據等腰三角形周長公式及三角形三邊關系求解即可．
【詳解】∵在周長為的等腰三角形中，底邊長為，腰長為，
∴，整理得，
由等腰三角形可得，
∴，解得，
∴關于的函數解析式為，定義域為，
故答案為：，．
【變式訓練4-4】要把儲水量為600立方米的一段河道的水抽干，現用每小時出水量30立方米的水泵抽水，則河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水時間t（小時）的函數關系式為 ，其時間t的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據題意和題目中的數據，可以直接寫出河道剩水量（立方米）和水泵抽水時間（小時）的函數關系式，然后再令求出的值，即可寫出的取值范圍．本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的函數解析式．
【詳解】解：由題意可得，
，
當時，，可得，
的取值范圍為，
故答案為：，．
【變式訓練4-5】如圖，線段的長為，點C是線段上一動點（點C不與A，B重合），分別以，為邊，在同側作正方形．設線段的長為，兩正方形的面積和為．
(1)寫出兩正方形的面積和關于線段的長的函數解析式及自變量的取值范圍；
(2)當時，求此時兩正方形的面積和S．
【答案】(1)
(2)10
【分析】此題考查了應用函數概念解決實際問題的能力，關鍵是能根據題意準確列出函數解析式，并能進行相關的計算．
（1）分別用x表示出兩個正方形的面積，即可得出結果；
（2）按照（1）結果代入x的值進行計算，計算即可．
【詳解】（1）解：根據題意得：．
自變量x的取值范圍是．
（2）解：當時，．
∴當時，此時兩正方形的面積和S為10．
題型五：函數圖像的識別
【經典例題5】用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水時間t的函數關系的大致圖象如圖，則該容器可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了函數圖像的識別， 根據函數圖像可知，后期的增長速度慢，所以容器底部細，上部粗即可得出答案．
【詳解】解：根據函數圖像可知，后期的增長速度慢，所以容器底部細，上部粗，
故選：A．
【變式訓練5-1】在某次救援活動中，我軍某部奉命前往災區，途中遇到塌方路段，經過一段時間的清障，該部加速前進，最后到達救災地點．則該部行進路程y 與行進時間x 的函數關系的大致圖象是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了函數的圖象，根據行駛的狀態是：勻速行進—中途停下—加快速度、勻速行進，即可得出答案．
【詳解】解：依題意，行駛速度為開始勻速行進，然后中途停下，速度為0，最后加快速度、勻速行進．時間與路程的函數圖象應由三條線段組成，即平緩，平，陡．
故選： D．
【變式訓練5-2】用不同大小的橡皮泥捏同樣高的圓柱體，下面符合圓柱體的體積和底面積的關系的圖像是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查圓柱的體積公式及應用，正比例的意義及應用,根據圓柱的體積公式：當高一定時，圓柱的體積和底面積成正比例，正比例的圖像是一條直線，據此解答．
【詳解】解：當高一定時，圓柱的體積和底面積成正比例，由此可知，B圖像符合圓柱體的體積和底面積的關系，
故選：B
【變式訓練5-3】星期一早上，小明從家里出發勻速地步行去學校上學，他走了一半的路程后，發現快遲到了，于是他又加快速度勻速地跑步到學校，結果按時到達了學校．在這個過程中，小明與學校的距離y（米）與他步行的時間x（分鐘）的函數關系的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
根據題意和各個選項中函數圖象可以判斷哪個選項是正確的，本題得以解決．
【詳解】解：由題意可知，小明從家里出發勻速地步行去學校上學，故選項A、B錯誤，
他走了一半的路程后，發現快遲到了，于是他又加快速度勻速地跑步到學校，結果按時到達了學校，故選項D錯誤．
故選：C．
【變式訓練5-4】如圖，一輛貨車勻速通過一條隧道（隧道長大于貨車長），從貨車頭剛進入隧道開始，貨車在隧道內的長度與行駛的時間之間的關系用圖象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查長度和時間之間的圖象描述，根據題意可知貨車進入隧道的長度和時間的關系具體可描述為：貨車前期進入、完全進入和駛離隧道三個階段，第一階段隨時間的增加長度逐漸增加，第二間階段隨時間增加但是長度不變，第三階段隨時間的增加長度逐漸減小，由題意知貨車勻速通過一條隧道，則增加或減小的長度隨時間均勻變化．
【詳解】解：當貨車開始進入時c長度逐漸變長，當貨車完全進入隧道，由于隧道長大于貨車長，此時長度達到最大，當貨車開始出來時長度逐漸變小．另外是勻速運動，長度隨時間的均勻變化而均勻變化，故圖象呈直線型．
故選：C．
題型六：從函數圖像中獲取信息
【經典例題6】一條公路旁依次有A，B，C三個村莊，甲、乙兩人騎自行車分別從A村、B村同時出發前往C村，甲、乙之間的距離s（km）與騎行時間t（h）之間的函數關系如圖所示，下列結論：①A，B兩村相距；②甲出發后到達C村；③甲每小時比乙多騎行；④相遇后，乙又騎行了或時兩人相距．其中正確的是（　?。?br/>A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本題主要考查了從函數圖像獲取信息，觀察圖像可解答①；由圖像可得運動過程，進而判斷②；根據甲在比乙多行駛了，可判斷③；最后分：兩人相遇后，甲未到達C村，和甲已到達C村時兩種情況，求出時間即可．
【詳解】由圖像可知，當時，，
所以A，B兩村相距．
所以①正確；
由圖像可知，甲的速度大于乙的速度，在時兩人相遇，然后在時，甲到達了C村，之后兩人之間的距離開始減小，最后相遇在C村．
所以②正確；
甲每小時比乙多騎行的路程為．
所以③正確；
乙的速度為，甲的速度是．
當兩人相遇后，甲未到達C村時，，
當兩人相遇后，甲已到達C村時，．
綜上所述，相遇后，乙又騎行了或時兩人相距，結論④正確．
綜上正確的有①②③④．
故選：D．
【變式訓練6-1】甲、乙兩車從A城出發勻速行駛至B城．在整個行駛過程中，甲、乙兩車離A城的距離與甲車行駛的時間之間的函數關系如圖所示．下列結論：①A，B兩城相距；②乙車比甲車晚出發，卻早到；③甲車的速度為；④乙車的速度為．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查了函數圖象的應用，從函數圖象上獲取所需信息是解題的關鍵．觀察圖象可判斷①②，由圖象所給數據可求得甲、乙兩車的速度可判斷③④．
【詳解】解：由圖象可知A、B兩城市之間的距離為，甲行駛的時間為5小時，而乙是在甲出發1小時后出發的，且用時3小時，即比甲早到1小時，故①②都正確；
由函數圖象可知甲、乙到達B地用時分別為：5小時和3小時，則甲車的速度為；乙車的速度為，故③正確，④錯誤．
綜上，正確的有3個．
故選C．
【變式訓練6-2】在一條筆直的道路上依次有A，B，C三地，小明從A地跑步到達B地，休息后按原速跑步到達C地．小明距B地的距離與時間之間的函數圖象如圖所示．下列說法中①從A地到C地的距離為；②小明從B地到C地的速度是；③小明出發后到達C地；④小明距B地時所用的時間是．其中正確的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了從函數圖像中獲取信息．縱坐標代表距B 地的距離，橫坐標代表時間，小明一開始在A地，即A地距B 地的距離為，用時；到期間距離B 地，即此時小明在B 地；按原速跑步到達C地后，距離B 地，據可判斷①；根據速度等于路程除以時間即可判斷②③④．
【詳解】解：①A地到達C地的距離為：，原說法正確，
②小明原速度為：，原說法正確；
③小明到達C 地實際用時為：，原說法正確；
④小明距 B 地時所用的時間為：，原說法錯誤，
∴說法正確的有①②③，共3個，
故選：C．
【變式訓練6-3】“龜兔賽跑”的故事同學們都非常熟悉，下面情境草圖中的線段和折線表示“龜兔賽跑時路程與時間的關系”，根據圖中給出的信息，可得以下結論：
①兔子和烏龜賽跑的全過程是1500米；
②兔子在起初每分鐘跑350米，烏龜每分鐘爬30米；
③烏龜用了分鐘追上了正在睡覺的兔子；
④兔子醒來后，若以400米/分鐘的速度跑向終點，結果還是比烏龜晚到了1分鐘，可知兔子睡覺用了48分鐘．其中正確結論的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本題主要考查函數圖像，結合題意弄清函數圖象中每個點的實際意義是解題的關鍵．
利用烏龜始終運動，中間沒有停留，而兔子中間有休息的時刻，即可得出折線OABC的意義和全程的距離，根據圖象中點A、D實際意義可得速度；根據700米時相遇可得烏龜追上兔子的時間，利用兔子的速度，求出兔子走完全程的時間，可得兔子睡覺用了47分鐘．
【詳解】解：①∵烏龜是一直跑的而兔子中間有休息的時刻，
∴折線表示賽跑過程中兔子的路程與時間的關系；
由圖象可知：賽跑的全過程為1500米；故①正確，
②結合圖象得出：兔子在起初每分鐘跑（米），
烏龜每分鐘爬（米）．故②正確，
烏龜追上兔子用的時間為分鐘
故③正確
∵兔子跑了700米用了2分鐘，停下睡覺，
∴剩余800米，所用的時間為：（分鐘），
∴兔子睡覺用了：（分鐘），故④錯誤，
故選：B
【變式訓練6-4】車點從地出發，以千米時的速度勻速行駛，并往返于，兩地之間．乘客上、下車停留時間忽略不計
(1)從折線圖可以看出，騎車人一共休息______次，共休息______小時；點至點之間騎車人騎了______千米．
(2)通過計算說明，騎車人返回家時的平均速度是多少？
(3)請在圖中畫出點至點之間客車與地距離隨時間變化的函數圖象．
【答案】(1)2；；
(2)千米小時
(3)見解析
【分析】本題考查了函數圖象，路程和時間速度公式等．
（1）路程不變的過程就是休息的過程，結合函數圖象可得出點至點之間騎車人騎了千米；
（2）根據路程等于速度乘以時間進行計算即可；
（3）計算出時，時客車與地的路程，利用兩點法繼而得到圖象．
【詳解】（1）解：通過圖象可知騎行人休息了兩次，共休息了2小時，點至點之間騎車人騎了千米，
故答案為：2；；；
（2）解：平均速度千米小時，
答：騎車人返回家時的平均速度是千米小時；
（3）解：9點時客車從出發，此時距離地千米，
時，客車到達地，千米，
時，客車又到達地，千米，
如圖所示：
．
【變式訓練6-5】已知A、B兩城由筆直的鐵路連接，動車甲從A向B勻速前行，同時動車乙從B向A勻速前行，到達目的地時停止，其中動車乙速度較快，設甲乙兩車相距，甲行駛的時間為，y關于t的函數圖象如圖所示．
(1)填空：動車甲的速度為 ，動車乙的速度為 ；
(2)求圖中點P的坐標，并解釋該點坐標所表示的實際意義：
(3)兩車何時相距？
【答案】(1)
(2)的坐標為，實際意義是此時動車乙到達目的地，動車甲與動車乙的距離為
(3)和相距
【分析】本題考查了函數應用中的相遇問題，從函數圖象獲取信息，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想和分類討論的數學思想解答．
（1）根據圖中信息即可得到兩車的速度；
（2）根據題意和圖形即可得到點的坐標以及點表示的實際意義；
（3）根據題意，利用分類討論的數學思想可以解答本題．
【詳解】（1）解：動車甲的速度，動車乙的速度，，
故答案為：；
（2）解：由題意可得，點的橫坐標為：，縱坐標為：，
即點的坐標為，
該點坐標表示的實際意義是此時動車乙到達目的地，動車甲與動車乙的距離為；
（3）解：由題意可得，當相遇前相遇，此時的時間為：，
當相遇后相遇，此時的時間為：，
綜上：在和相距．
題型七：用描點法畫函數圖像
【經典例題7】小紅根據學習函數的經驗，對函數的圖象與性質進行了探究．如圖是小紅的探 究過程，請你補充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 k …
根據函數的解析式和表中的數據，可計算 ；
(2)描點并畫出該函數的圖象；
(3)①根據函數圖象，寫出函數圖象的兩條性質： ；
② 若關于x的方 程有兩個實數解 ，則 n的取值范圍是 ．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)①（?。┑暮瘮祱D象關于直線對稱，（ⅱ）當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小；
②
【分析】題考查一次函數的性質、一次函數的圖象，解題的關鍵是明確題意，畫出相應的函數圖象，利用數形結合的思想解答．
（1）將代入得，計算求解即可；
（2）描點連線即可；
（3）①根據函數的圖象即可得到結論；
②根據函數的圖象，利用數形結合的思想即可得到結論．
【詳解】（1）解：將代入得，
故答案為：；
（2）解：圖象如下：
（3）①根據函數圖象，（ⅰ）的函數圖象關于直線對稱，（ⅱ）當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小；
②由圖象可知，當時，方程有一個實數解，
則當時，方程有兩個實數解，
即：方程有兩個實數解，的取值范圍為．
【變式訓練7-1】在平面直角坐標系中畫出的圖像
解：列表（將下表填寫完整）
描點
連線
【答案】見解析
【分析】先取出一些數據，填表；然后根據一次函數的解析式畫出圖象即可．
本題考查了描點法畫函數圖象，熟練掌握圖象的畫法是解題的關鍵．
【詳解】解：
【變式訓練7-2】有這樣一個問題：探究函數的圖象與性質．
下面是小藝的探究過程，請補充完整：
(1)函數的自變量x的取值范圍是 ；
(2)下表是y與x的幾組對應值．
x … 1 2 …
y … 2 …
補全表格中的數據
(3)并畫出該函數的圖象．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了函數的圖象，根據圖表畫出函數的圖象是解題的關鍵．
（1）根據分式的分母不為零求解即可；
（2）把，代入解析式即可求得；
（3）由圖表在直角坐標系中描點，由坐標系中的點，用平滑的直線連接即可．
【詳解】（1）解：∵
∴；
（2）當時，，
當時，，
列表如下：
x … 1 2 …
y … 2 …
（3）函數圖象如圖所示：
【變式訓練7-3】電動汽車續航里程也可以稱作續航能力，是指電動汽車的動力蓄電池在充滿電的狀態下可連續行駛的總里程，它是電動汽車重要的經濟性指標．高速路況狀態下，電動車的續航里程除了會受到環境溫度的影響，還和汽車的行駛速度有關，某科研團隊為了分析續航里程與速度的關系，進行了如下的探究：下面是他們的探究過程，請補充完整：
(1)他們調取了某款電動汽車在某個特定溫度下的續航里程與速度的有關數據：
速度（千米/小時） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
續航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
則自變量是______，因變量是______．
(2)如果設速度為，續航里程為，請在下圖中畫出變量關系的圖象：
(3)結合畫出的圖象，下列說法正確的有______；
①y隨的增大而減小；
②當汽車的速度在千米/小時左右時，汽車的續航里程最大；
③實驗表明，汽車的速度過快或過慢時，汽車的續航里程都會變?。?br/>(4)若想要該車輛的續航里程保持在500千米以上，該車的車速大約控制在______至______千米/小時范圍內．
【答案】(1)續航里程，速度
(2)見詳解
(3)②③
(4)40，100
【分析】本題考查函數的圖象，用描點法作出函數的圖象是本題的關鍵．
（1）速度為自變量，續航里程為因變量，據此作答即可；
（2）建立平面直角坐標系，根據表格中的數據描點，并將這些點用平滑的曲線連接起來；
（3）根據圖象分別判斷正誤即可；
（4）由表格確定的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：是的函數，
是自變量，是因變量，
設速度為，續航里程為，
故答案為：續航里程，速度．
（2）解：該函數的圖象如圖所示：
（3）解：由圖象可知，隨先增大后減小，
①不正確；
當汽車的速度在60千米小時左右時，汽車的續航里程最大，
②正確；
由圖象可知，的值過大或過小，對應的值都會變小，即汽車的速度過快或過慢時，汽車的續航里程都會變小，
③正確；
故答案為：②③．
（4）解：根據圖象可知，當的值大約在40至100之間時，的值大于500，
故答案為：40，100．
【變式訓練7-4】某數學學習小組在研究函數時，對函數的圖像和性質進行了探究．探究過程如下：
x … 0 1 3 4 5 6 …
y … m 0 n 5 3 2 …
(1)x與y的幾組對應值如上表，其中______，______；
(2)在平面直角坐標系中，描出上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點畫出該函數的圖像；
(3)觀察圖像，我們可以認為函數的圖像可由函數的圖像向右平移______個單位，再向上平移______個單位得到；
(4)根據函數圖像，當時，自變量x的取值范圍為______．
【答案】(1)，
(2)見詳解
(3)2，1
(4)或
【分析】（1）將和分別代入中即可求出m、n的值；
（2）利用描點法畫出函數圖像即可；
（3）根據函數的圖像即可解答；
（4）根據函數的圖像即可解答．
【詳解】（1）解：由得，
當時，，
；
當時，，
．
故答案為：，．
（2）解：在平面直角坐標系中，描出上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點畫出該函數的圖像，如下圖所示：
（3）解：由圖像可知：函數的圖像可由函數的圖像向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到．
故答案為：2，1．
（4）解：由函數圖像可知：當時，自變量x的取值范圍為或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查的是反比例函數的圖像與性質，理解題意，靈活運用所學知識，并熟練掌握數形結合法解決問題是解題的關鍵．
【變式訓練7-5】某同學根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行了探究．下面是他的探究過程，請補充完整∶
(1)填表
x … …
y … …
(2)根據（1）中的結果，請在所給坐標系中畫出函數的圖像．
【答案】(1)，，，2
(2)見解析
【分析】本題主要考查絕對值函數的性質，熟練掌握絕對值函數的性質是解題的關鍵．
（1）根據解析式代數求值即可；
（2）根據坐標進行描點畫圖即可．
【詳解】（1）解：當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
填表如下：
x … …
y … …
（2）解：函數的圖像如下：
題型八：函數圖像中的動點問題
【經典例題8】如圖，在中，，D 為斜邊的中點，動點P 從B 點出發，沿運動，如圖 1所示，設 ，點P 運動的路程為x ，若y 與x 之間的函數圖象如圖2 所示，則y 的最大值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解決問題．根據已知條件和圖象可以得到、的長度，當時，點P與點C重合，此時，從而可以求出函數的最大值．
【詳解】解：根據函數圖象可得，當時，點P與點C重合，，，
∵，點D為的中點，
∴當時，，
此時函數有最大值，則y 的最大值為3，
故選：B．
【變式訓練8-1】如圖1，在矩形中，動點從點出發，以的速度沿折線向終點運動．設點的運動時間為，的面積為，圖2是點運動過程中與之間函數關系的圖象，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查動點問題的函數圖象．勾股定理的應用，根據函數圖象，可知點表示時的面積為24，可以求出、的長，從而可以解答本題．
【詳解】解：根據函數圖象，可知點表示時的面積為24，
，
，
，
根據勾股定理．
故選：C．
【變式訓練8-2】如圖，點從的頂點出發，沿勻速運動到點，圖是點運動時，線段的長度隨時間變化的關系圖象，其中為曲線部分的最低點，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查動點問題的函數圖象，勾股定理，根據圖象可知點在BC上運動時，此時不斷增大，而從向運動時，先變小后變大，從而可求出線段長度解答，讀懂圖象，從函數圖象中獲取信息是解題的關鍵．
【詳解】根據題意觀察圖象可得，
當點在上運動時，時，有最小值，
觀察圖象可得，的最小值為，
即時，，
又∵，
因點從點運動到點，根據函數的對稱性可得，
∴的面積是，
故選：．
【變式訓練8-3】如圖1，在長方形中，動點P 從點B 出發，以每秒2個單位長度的速度，沿運動至點A 停止，設點 P 運動的時間為，的面積為y．如果y關于x的變化情況如圖2所示，則的面積是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【分析】本題主要考查了動點問題的函數圖象，根據三角形面積計算公式可知當點P 運動到點C，D之間時，，此時面積不變，結合函數圖象可知，當時，面積開始不變，當，面積繼續變化，則，0到4秒后點P從點B運動到點C，可得，再根據三角形面積計算公式求解即可．
【詳解】解：動點P從點B出發，沿 運動至點A停止，當點P 運動到點C，D之間時，，此時面積不變，
由函數圖象可知，當時，面積開始不變，當，面積繼續變化，
∴，0到4秒后點P從點B運動到點C，
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓練8-4】如圖1，正方形的邊上有一定點E，連接，動點P從正方形的頂點A出發，沿以的速度勻速運動到終點C圖2是點P運動時，的面積隨時間變化的全過程圖象，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了動點圖象問題，弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系成為解題的關鍵．
當點P在點D時，設正方形的邊長為，求出a的值；當點P在點C時，，解得，即可求解．
【詳解】解：當點P在點D時，設正方形的邊長為，
由題意可得：，
解得：；
當點P在點C時，即;
由題意可得：的面積，
解得：，
所以．
故選：C．
【變式訓練8-5】如圖1，在矩形中，點M從點A出發，以固定的速度沿運動到點D停止，連接，設點M的運動距離為x，的長為y，y關于x的函數圖象如圖2所示，則當M為的中點時，的面積為（ ）
A．5 B．8 C． D．12
【答案】D
【分析】本題考查了動點問題的函數圖象，勾股定理，根據題意判斷出轉折點為點，由勾股定理求出 ，即可求解，熟練運用勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：點是從點出發的，為初始點，觀察圖象可知，時，，則，點從點沿向點移動的過程中，是不斷增加的，而點從點沿向點移動的過程中，是不斷減少的，
因此轉折點為點，點運動到點時，即時，，此時，即．
在中，，由勾股定理，得，
解得：，
，
當為的中點時，，
的面積，
故選：D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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