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5.1常量與變量五大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判別常量跟變量
【經典例題1】在圓周長計算公式中，對半徑不同的圓，變量有（ ）
A．2，r B．C，r C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的意義可知：變量是改變的量，常量是不變的量，據(jù)此即可確定變量與常量．
【詳解】解：∵在圓的周長公式中，C與r是改變的，π是不變的；
∴變量是C，r，常量是2π．
故選：B．
【變式訓練1-1】在圓的周長中，常量與變量分別是（ ）
A．2是常量，C，π，r是變量 B．2，π是常量，C，r是變量
C．C，2是常量，r是變量 D．2是常量，C，r是變量
【答案】B
【分析】本題考查了常量與變量的知識，屬于基礎題，變量是指在一個變化的過程中隨時可以發(fā)生變化的量．
根據(jù)在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量，即可答題．
【詳解】解：∵在圓的周長公式中，C與r是改變的，是不變的；
∴變量是C，r，常量是2，π．
故選：B．
【變式訓練1-2】一根蠟燭原長12厘米，點燃分鐘后，剩余蠟燭的長為厘米，則在這個變化過程中，下列判斷正確的是（ ）
A．是常量 B．12是變量 C．是變量 D．是常量
【答案】C
【分析】此題考查的是常量與變量，根據(jù)常量與變量的定義：在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量解答即可．
【詳解】解：一根蠟燭原長12厘米，點燃t分鐘后，剩余蠟燭的長為n厘米，則在這個變化過程中，12是常量，t，n是變量，故選項C符合題意．
故選：C．
【變式訓練1-3】已知高鐵的速度是300千米/時，則高鐵行駛的路程S（千米）和時間t（時）之間的關系是．在此變化過程中，變量是（ ）
A．速度、時間 B．路程、時間
C．速度、路程 D．速度、路程、時間
【答案】B
【分析】本題考查了函數(shù)關系式，常量與變量，弄清變量概念是解題的關鍵．根據(jù)變量的定義判斷即可．
【詳解】解：已知高鐵的速度是300千米/時，則高鐵行駛的路程S（千米）和時間t（時）之間的關系是．
在此變化過程中，變量是路程、時間，
故答案為：B．
【變式訓練1-4】已知一個長方形的面積為，它的長為，寬為，下列說法正確的是（ ）
A．常量為，，變量為 B．常量為，，變量為
C．常量為，，變量為 D．常量為，變量為，
【答案】D
【分析】本題考查了常量與變量，解題的關鍵是根據(jù)變量和常量的定義來解答．根據(jù)變量和常量的定義解答即可．
【詳解】解：由題意得：，
長方形的面積為，始終不變?yōu)槌Ａ浚L為，寬為的數(shù)值發(fā)生變化為變量，
故選：D．
【變式訓練1-5】在行進路程、速度和時間的相關計算中，若保持行駛的路程不變，則下列說法正確的是 （ ）
A．變量是速度 B．變量是時間
C．速度和時間都是變量 D．速度、時間t、路程都是常量
【答案】C
【分析】本題主要考查了常量與變量的概念，關鍵是掌握在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量．
【詳解】解：∵路程速度時間，
∴若保持行駛的路程不變，那么行駛的時間會說著速度的變化而變化，
∴速度和時間都是變量，路程是常量，
故選：C．
題型二：用表格表示變量之間的關系
【經典例題2】彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度與所掛的物體的質量間有下面的關系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列說法不正確的是（ ）
A．與都是變量，且是自變量，是因變量
B．所掛物體質量為時，彈簧長度為
C．彈簧不掛重物時的長度為
D．物體質量每增加，彈簧長度增加
【答案】C
【分析】本題考查的是函數(shù)的表示方法，理解一次函數(shù)的表示方法是解題的關鍵．根據(jù)給出的表格中的數(shù)據(jù)進行分析，可以確定自變量和因變量以及彈簧伸長的長度，得到答案．
【詳解】解：A．與都是變量，且是自變量，是因變量，本選項正確，不符合題意；
B．所掛物體質量為時，彈簧長度為，本選項正確，不符合題意；
C．彈簧不掛重物時的長度為，本選項錯誤，符合題意；
D．物體質量每增加，彈簧長度增加，本選項正確，不符合題意．
故選：C．
【變式訓練2-1】彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y（）與所掛的物體的重量x（）間有下面的關系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列說法不正確的是（ ）
A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量
B．彈簧不掛重物時的長度為
C．物體質量每增加，彈簧長度y增加
D．所掛物體質量為時，彈簧長度為
【答案】B
【分析】此題主要考查函數(shù)的表示方法，解題的關鍵是根據(jù)表格的關系寫出函數(shù)的關系式，根據(jù)表格可得到函數(shù)的關系式，再根據(jù)關系式即可判斷．
【詳解】解：由表格知彈簧不掛重物時的長度為，物體質量每增加，彈簧長度y增加，
故彈簧的長度y（）與所掛的物體的質量x（）之間函數(shù)關系式為，
∴A，C正確；B錯誤；
所掛物體質量為時，彈簧長度，故D正確，
故選：B．
【變式訓練2-2】彈簧原長（不掛重物），彈簧總長與重物質量的關系如表所示：
重物質量
彈簧總長 16 17 18 19 20
當重物質量為（在彈性限度內）時，彈簧的總長．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了用關系式表示變量之間的關系，根據(jù)“重物質量每增加，彈簧伸長”寫出關于的關系式，將代入該關系式求出對應的值即可．
【詳解】解：由表格可知，重物質量每增加，彈簧伸長，當重物質量為時，彈簧總長度為，
∵當重物質量為0時，彈簧的原長度為，
∴彈簧總長與重物質量的關系式為，
當時，．
故選：C．
【變式訓練2-3】學校新買一臺智能飲水機，某天中午小俊通過觀察，記錄了飲水機工作時間與水溫的關系表格如下：
水溫（） ．．．．．．
時間（時：分） ．．．．．．
請你幫小俊計算水燒開的時間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了用表格表示變量間關系，正確找出變量間的變化規(guī)律是解題的關鍵，先根據(jù)表格找出水溫與時間的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解即可．
【詳解】解：由變量關系表格可得，時間每經過分鐘，升高水溫比前一個分鐘升高的水溫少，
∵從到時，水溫升高了，
∴時，水溫為，到時，水溫升高了，
∴時，水溫為，此時水燒開，
故選∶．
【變式訓練2-4】某科研小組在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系的一些數(shù)據(jù)如下：
溫度（℃） 0 10 20 30
聲速（） 318 324 330 336 342 348
下列說法錯誤的是（ ）
A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速
B．溫度越低，聲速越慢
C．當溫度每升高時，聲速增加
D．當空氣溫度為時，聲音可以傳播
【答案】D
【分析】本題考查用表格表示變量之間的關系，從表格中獲取信息，逐一進行分析即可．
【詳解】解：A．∵在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，∴說法正確，不符合題意；
B．∵根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得溫度越低，聲速越慢，∴說法正確，不符合題意；
C．∵，，，，，
∴當溫度每升高，聲速增加，∴說法正確，不符合題意；
D．∵，
∴當空氣溫度為時，聲音可以傳播，∴說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【變式訓練2-5】科學家一直以來都在不斷探索地球奧秘的路途中，經過大量的模擬實驗，發(fā)現(xiàn)地表以下巖層的溫度與所處深度的關系如表所示．
所處深度 1 2 3 4 5 6 7
巖層的溫度 55 90 125 160 195 230 265
(1)表中，自變量為______，因變量為______；
(2)請求出地表以下巖層的溫度與所處深度的關系式；
(3)當巖層的溫度為時，求所處深度．
【答案】(1)所處深度；巖層的溫度
(2)
(3)
【分析】本題考查函數(shù)的表示方法、常量與變量、函數(shù)關系式，
（1）根據(jù)自變量與因變量的定義作答即可；
（2）根據(jù)“地表以下巖層的溫度深度為處巖層的溫度所處深度增加，巖層的溫度升高量”計算即可；
（3）將代入（2）中求得的關系式，求出對應的值即可．
【詳解】（1）解：表中，自變量為所處深度，因變量為巖層的溫度．
故答案為：所處深度，巖層的溫度．
（2）由表格可知，所處深度增加，巖層的溫度升高，
則，
與的關系式為．
（3）當時，得，
解得，
當巖層的溫度為時，所處深度是．
題型三：用關系表示變量之間的關系
【經典例題3】一個蓄水池已有的水，現(xiàn)以每分鐘的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）與注水時間（分）之間的關系式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了函數(shù)關系式，利用蓄水量等于原蓄水量加注水量得出函數(shù)關系式即可，理解題意、明白等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一個蓄水池已有的水，現(xiàn)以每分鐘的速度向池中注水，
∴蓄水池中的水量（）與注水時間（分）之間的關系式為，
故選：D．
【變式訓練3-1】個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進行一場比賽，則比賽的場次數(shù)與球隊數(shù)之間的函數(shù)關系式是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了列函數(shù)關系式，n個球隊中，每個球隊都要與個球隊賽一場，一共比賽場，而比賽的兩支球隊的場數(shù)只算作一次，則一共比賽場，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進行一場比賽，
∴一共要進行場比賽，
∴，
故答案為：．
【變式訓練3-2】汽車由地駛往相距的地，它的平均速度是，則汽車距地路程與行駛時間的關系式為 ．
【答案】
【分析】本題考查了用關系式表示變量間的關系．根據(jù)汽車距地路程是總路程與已駛路程的差，求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：．
【變式訓練3-3】如圖，一輪船從離A港16千米的P地出發(fā)向B港勻速行駛，42分鐘后離A港37千米（未到達B港）．設x小時后，輪船離A港千米（未到達B港），則y與x之間的關系式為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出函數(shù)關系式，根據(jù)題意，求出輪船的速度是解決本題的關鍵．根據(jù)輪船的速度為千米/時，輪船離A港距離為：行駛距離即可得出．
【詳解】解：∵輪船的速度：千米/時，
∴y與x之間的關系式為：．
故答案為：．
【變式訓練3-4】一支長的蠟燭點燃后每小時燃燒掉，用表示燃燒后蠟燭的長度，表示燃燒的時間，那么y與之間的關系式是 ．
【答案】
【分析】本題考查了變量間的關系，理解題意，找到題中的等量關系是解題的關鍵．根據(jù)題意，經過時間，燃燒掉的長度為，剩下的蠟燭長度等于原始長度減去燃燒掉的蠟燭長度即得解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，經過，燃燒掉的長度為，蠟燭原始長度為，
經過，燃燒后蠟燭的長度．
故答案為：．
【變式訓練3-5】長方形的周長為，一邊長由小到大變化，則長方形的面積與這個邊長的關系式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)長方形周長公式可知另一邊長為，最后利用長方形的面積公式即可解答．本題考查了利用關系式表示變量之間的關系式，理清題目中的數(shù)量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵長方形的周長為，一邊長由小到大變化，
∴另一邊長為：，
∴長方形的面積y與這個邊長x的關系式為，
故答案為：．
題型四：用圖像表示變量之間的關系
【經典例題4】如圖①，在長方形中，動點從點出發(fā)，沿的方向運動至點處停止，設點運動的路程為，三角形的面積為，如果關于的圖象如圖②所示，則長方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了用圖象法表示兩個變量的關系，根據(jù)圖象結合圖形得出，，即可得出長方形的面積，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．
【詳解】解：由圖形可得，當點在上時，的面積逐漸增大，當點在上時，的面積不變，結合圖象可得，，
∴長方形的面積是，
故選：C．
【變式訓練4-1】4個高度相同的容器，以相同的流速向這四個容器中注水，能正確反映容器中水的高度變化的是（ ）．
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了折線統(tǒng)計圖，根據(jù)容器的形狀，判斷出水面升高的高度隨時間變化的規(guī)律，逐項進行判斷即可．
【詳解】解：AC．因為水流速度相同，A選項中容器的底面積較小，C選項中容器的底面積較大，所以向A容器中注水時，高度隨時間變化的較快，向A容器中注水時，高度隨時間變化的較慢，故AC錯誤；
B．因為容器越向上橫截面積越小，所以高度隨時間變化的越來越快，故B錯誤；
D．因為容器越向上橫截面積越大，所以高度隨時間變化的越來越慢，故D正確．
故選：D．
【變式訓練4-2】如圖是長方體水槽軸截面示意圖，其底部放有一個實心銅球（銅的密度大于水），現(xiàn)向水槽中勻速注水，下列四個圖象中能大致反映水槽中水的深度與注水時間關系的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查函數(shù)的圖象，根據(jù)題意可分兩段進行分析：當水的深度未超過球頂時；當水的深度超過球頂時．分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．
【詳解】解：當水的深度未超過球頂時，
水槽中能裝水的部分的寬度由下到上由寬逐漸變窄，再變寬，
所以在勻速注水過程中，水的深度變化先從上升較慢變?yōu)檩^快，再變?yōu)檩^慢；
當水的深度超過球頂時，
水槽中能裝水的部分寬度不再變化，
所以在勻速注水過程中，水的深度的上升速度不會發(fā)生變化．
綜上，水的深度先上升較慢，再變快，然后變慢，最后勻速上升．
故選：D．
【變式訓練4-3】如圖，汽車勻速通過隧道時，汽車在隧道內的長度y與汽車進入隧道的時間x之間的關系用圖象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查函數(shù)圖象的判定，理解題意是關鍵；
分析題意可知，當汽車進入隧道時y逐漸變大，汽車完全進入后一段時間內y不變，當汽車出來時y逐漸變小；再結合橫、縱軸的意義分析、判斷各個選項，即可完成解答．
【詳解】解：根據(jù)題意可知汽車進入隧道的時間x與汽車在隧道內的長度y之間的關系具體可描述為：當汽車進入時y逐漸變大，汽車完全進入后一段時間內y不變，當汽車出來時y逐漸變小，
因此汽車從進入隧道至離開隧道的時間x與汽車在隧道內的長度y之間的函數(shù)關系用圖象描述大致是：
故選：A．
【變式訓練4-4】一艘輪船在同一航線上往返于甲、乙兩地．已知輪船在靜水中的速度為，水流速度為．輪船先從甲地順水航行到乙地，在乙地停留一段時間后，又從乙地逆水航行返回到甲地．設輪船從甲地出發(fā)后所用時間為，航行的路程為，則與的函數(shù)圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由航行，休息，航行可得此函數(shù)圖象將分三個階段，逐段進行分析即可得答案．
本題考查了實際問題的函數(shù)圖象，解決本題的關鍵是抓住相同路程用時不同得到相應的函數(shù)圖象．
【詳解】解：第一個階段，逆水航行，用時較多；
第二個階段，在乙地停留一段時間，隨著時間的增長，路程不再變化，函數(shù)圖象將與x軸平行；
第三個階段，順水航行，所走的路程繼續(xù)增加，相對于第一個階段，用時較少，
故選：C．
【變式訓練4-5】某牛奶銷售公司招聘送奶員，下面的海報顯示這家公司的日薪計算方式：
一天內送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．
下列正確表示這家公司的日薪與送奶數(shù)量關系的圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查等量關系的知識，由題意可知，日薪與送奶數(shù)量是存在兩種關系，當送奶數(shù)量小于或等于240瓶是日新與送奶量一致且呈現(xiàn)遞增的關系，當送奶數(shù)量大于240瓶是日新增長速度大于240瓶前，解題的關鍵是根據(jù)題意，判斷出日薪與送奶數(shù)量的關系式即可．
【詳解】解：由題意可知，日日薪與送奶數(shù)量是存在兩種關系，當送奶數(shù)量小于或等于240瓶是日新與送奶量一致且呈現(xiàn)遞增的關系，當送奶數(shù)量大于240瓶是日新增長速度大于240瓶前，
∴選項A符合題意，
故選：A．
題型五：常量和變量的綜合應用
【經典例題5】如圖所示，在一個半徑為的圓面上，從中心挖去一個小圓面，當挖去一個小圓的半徑由小變大時，剩下的一個圓環(huán)面積也隨之發(fā)生變化．
(1)在這個變化過程中，因變量是 ．
(2)寫出剩下的圓環(huán)面積與小圓的半徑的關系式： ．
(3)當挖去圓的半徑為時，剩下的圓環(huán)面積為多少？結果保留
【答案】(1)剩下的圓環(huán)面積
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了用關系式表示變量之間的關系，因變量的定義：
（1）根據(jù)圓環(huán)的面積隨著挖去小圓的半徑增大而減小，可得因變量是剩下的圓環(huán)面積；
（2）用大圓面積減去挖去的小圓面積即可得到答案；
（3）把代入（2）中所求關系式中求出y的值即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵圓環(huán)的面積隨著挖去小圓的半徑增大而減小，
∴因變量是剩下的圓環(huán)面積；
故答案為：剩下的圓環(huán)面積；
（2）解：由題意得，，
故答案為：；
（3）把代入中得：，
∴剩下的圓環(huán)面積為．
【變式訓練5-1】星期天，小新和爸爸媽媽一起去電影院看一場電影．在去的路上，小新畫出了汽車的速度隨時間變化的情況如圖：
(1)汽車行駛了多長時間？它的最大速度是多少？
(2)汽車在哪個范圍內保持勻速？速度是多少？
(3)出發(fā)后分鐘到分鐘這段時間可能出現(xiàn)什么情況？
【答案】(1)分鐘，千米/時
(2)時，時
(3)加油或是乘客下車（答案不唯一）
【分析】本題主要考查根據(jù)圖象獲取信息，
（1）根據(jù)圖象的橫軸、縱軸表示的信息即可求解；
（2）根據(jù)圖形中隨著時間變化，速度不變的情況即可求解；
（3）根據(jù)實際情況進行分析，答案不唯一．
【詳解】（1）解：汽車行駛的時間為：（分鐘），它的最大速度為：千米/時；
（2）解：汽車在分鐘，分鐘時保持勻速，速度分別是千米/時，千米/時；
（3）解：分鐘到分鐘，汽車的速度為千米/時，有可能是加油，或是有乘客下車（答案不唯一）．
【變式訓練5-2】甲乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，如圖，線段表示貨車離甲地的距離s（千米）與時間t（小時）之間的關系：折線表示轎車離甲地的距離s（千米）與時間t（時）之間的關系，請根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)點B所對應的數(shù)為_________．
(2)貨車的速度為_________千米/小時；轎車在段的速度為________千米/小時；轎車在段的速度為__________千米/小時．
(3)求轎車到達乙地時，貨車與甲地的距離．
(4)貨車和轎車誰先到達乙地？提前幾小時到達？
【答案】(1)1.5
(2)60，80，110
(3)270
(4)轎車先達到乙地，提前0.5小時到達
【分析】本題考查用圖象表示變量之間的關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
（1）點所對應的數(shù)為轎車出發(fā)的時間，根據(jù)題意求出轎車出發(fā)的時間即可；
（2）根據(jù)圖象結合速度路程時間，即可求得對應的速度；
（3）根據(jù)圖象求得貨車行駛時間，再結合速度即可求解；
（4）根據(jù)圖象求得貨車到達乙地時間即可求解．
【詳解】（1）解：∵轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，貨車是第0小時出發(fā)，
∴轎車第1.5小時出發(fā)，
∴點所對應的數(shù)是1.5；
故答案為：1.5；
（2）解：根據(jù)圖象可知，貨車速度是千米/小時，
轎車在段的速度為千米/小時，
轎車在段的速度為千米/小時，
故答案為：60，80，110；
（3）根據(jù)圖象可知，轎車到達乙地時，
貨車行駛時間為，
此時，貨車與甲地的距離為千米；
（4）根據(jù)圖象可知，轎車先到達乙地，
貨車達到時間為小時，
可知，轎車比貨車提前小時，
即：轎車先達到乙地，提前0.5小時到達．
【變式訓練5-3】如圖所示，分別表示了香蕉、蘋果的總價與數(shù)量之間的關系，看圖回答問題．
(1)香蕉的總價和數(shù)量成______比例關系；（填“正”或“反”）
(2)從圖象上看，單價更貴一些的水果是______；
(3)買x千克蘋果要用______元，y元可以買_____千克香蕉．
【答案】(1)正
(2)香蕉
(3)4x，
【分析】此題考查了正比例和反比例的判斷，并從圖中獲取數(shù)據(jù)，進行計算．
（1）正比例：如果兩種相關聯(lián)的量中相對應的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量．它們的關系叫做正比例關系；反比例：如果兩個變量的乘積為常數(shù)時的比例關系，一方發(fā)生變化，其另一方隨之起相反的變化，就是反比例．
（2）從圖中獲得數(shù)據(jù)，香蕉的單價高于蘋果的單價．
（3）單價數(shù)量總價，總價單價數(shù)量，代入即可．
【詳解】（1）從圖中可以看出，香蕉的總價和購買的數(shù)量成正比例；
（2）從圖象上看，單價更貴一些的水果是香蕉；
（3）從圖象上看，買1千克蘋果要用4元，買1千克香蕉要用8元，
買x千克蘋果要用元，y元可以買千克香蕉；
故答案為：，．
【變式訓練5-4】某“優(yōu)質花海專用花籽”的價格為60元，如果一次性購買以上的花籽，超過的部分的花籽的價格打8折．
(1)根據(jù)題意，填寫下表：
購買花籽的重量/kg 3 4 5 6 …
付款金額/元 180 300
(2)設購買花籽的重量為，付款金額為y元，求y關于x的函數(shù)解析式；
(3)若花海園丁李伯伯一次購買該花籽花費了540元，求他購買花籽的重量．
【答案】(1)240，348；
(2)當時，，當時，；
(3)
【分析】本題考查了用關系式表示變量之間的關系，求自變量的值等知識，解題的關鍵是：
（1）利用單價×數(shù)量=總價計算即可；
（2）利用單價×數(shù)量=總價，可得相應的函數(shù)解析式；
（3）由于李伯伯一次購買該種子花費了540元元，所以一次性購買種子超過，再將代入（1）中所求的函數(shù)解析式，求出x即可得出答案．
【詳解】（1）解：，，
故答案為：240，348；
（2）解：由題意，得當時，，
當時，；
（3）解：∵
∴一次性購買花籽超過，
∴令，
解得，
答：他購買花籽的重量是．
【變式訓練5-5】中國聯(lián)通在某地的資費標準為包月86 元時，超出部分國內撥打0.25元．由于業(yè)務多，小明的爸爸打電話已超出了包月費．下表是超出部分國內撥打的收費標準：
時間 1 2 3 4 5
電話費/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
(1)這個表反映了哪兩個變量之間的關系 哪個是自變量 哪個是因變量
(2)如果用x表示超出時間，y表示超出部分的電話費，那么y與x之間的關系式是什么
(3)如果打電話超出，需付多少電話費
(4)某月打電話的費用超出部分是54元，那么小明的爸爸打電話超出幾分鐘
【答案】(1)這個表反映了超出部分國內撥打時間與電話費之間的關系．打電話超出時間是自變量，電話費是因變量
(2)
(3)92.25（元）的電話費
(4)
【分析】本題主要考查用關系式表示變量間的關系，正確列關系式是解題的關鍵．
（1）根據(jù)圖表可以知道：超出的電話費隨超出的時間的變化而變化，因而打電話超出時間是自變量、超出的電話費是因變量；
（2）費用單價時間，即可寫出關系式；
（3）把代入關系式，然后加上包月費用即可求得答案；
（4）令，求出x即可解題．
【詳解】（1）這個表反映了超出部分國內撥打時間與電話費之間的關系．打電話超出時間是自變量，電話費是因變量；
（2）由題意,可得 ；
（3）當時，，
即如果打電話超出，需付（元）的電話費．
（4）當時， ．
答：小明的爸爸打電話超出．
【變式訓練5-6】如圖，反映了小明從家到超市的時間與距離之間關系的一幅圖．
(1)圖中反映了哪兩個變量之間的關系？超市離家多遠？
(2)小明到達超市用了多少時間？小明僅往返（不考慮中間的等待時間）花了多少時間？
(3)小明離家出發(fā)后20分鐘到30分鐘內可以在做什么？
(4)小明從家到超市時的平均速度是多少？返回時的平均速度是多少？
【答案】(1)距離與時間，超市離家900米
(2)20分鐘，35分鐘
(3)在超市購物或休息
(4)45米/分鐘，60米/分鐘
【分析】本題考查利用圖象表示變量之間的關系，正確理解圖象橫縱坐標表示的意義是解決問題的關鍵．
（1）根據(jù)縱軸和橫軸，知圖中反映了小明從家到超市的距離與時間之間的關系，顯然超市離家900米；
（2）小明到達超市用了20分鐘，小明從超市回到家花了15分鐘；
（3）這一段時間內表明離家的距離沒有變化，因此可能是在超市購物，也可能是在休息（只要合理即可）；
（4）根據(jù)速度路程時間進行計算．
【詳解】（1）解：由圖可知，圖中反映了小明從家到超市的距離與時間之間的關系；超市離家900米；
（2）小明到達超市用了20分鐘；返回用了分鐘，往返共用了分鐘；
（3）小明離家出發(fā)后20分鐘到30分鐘可以在超市購物或休息；
（4）小明到超市的平均速度是米/分鐘；
返回的平均速度是米/分鐘．
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5.1常量與變量五大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判別常量跟變量
【經典例題1】在圓周長計算公式中，對半徑不同的圓，變量有（ ）
A．2，r B．C，r C． D．
【變式訓練1-1】在圓的周長中，常量與變量分別是（ ）
A．2是常量，C，π，r是變量 B．2，π是常量，C，r是變量
C．C，2是常量，r是變量 D．2是常量，C，r是變量
【變式訓練1-2】一根蠟燭原長12厘米，點燃分鐘后，剩余蠟燭的長為厘米，則在這個變化過程中，下列判斷正確的是（ ）
A．是常量 B．12是變量 C．是變量 D．是常量
【變式訓練1-3】已知高鐵的速度是300千米/時，則高鐵行駛的路程S（千米）和時間t（時）之間的關系是．在此變化過程中，變量是（ ）
A．速度、時間 B．路程、時間
C．速度、路程 D．速度、路程、時間
【變式訓練1-4】已知一個長方形的面積為，它的長為，寬為，下列說法正確的是（ ）
A．常量為，，變量為 B．常量為，，變量為
C．常量為，，變量為 D．常量為，變量為，
【變式訓練1-5】在行進路程、速度和時間的相關計算中，若保持行駛的路程不變，則下列說法正確的是 （ ）
A．變量是速度 B．變量是時間
C．速度和時間都是變量 D．速度、時間t、路程都是常量
題型二：用表格表示變量之間的關系
【經典例題2】彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度與所掛的物體的質量間有下面的關系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列說法不正確的是（ ）
A．與都是變量，且是自變量，是因變量
B．所掛物體質量為時，彈簧長度為
C．彈簧不掛重物時的長度為
D．物體質量每增加，彈簧長度增加
【變式訓練2-1】彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y（）與所掛的物體的重量x（）間有下面的關系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列說法不正確的是（ ）
A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量
B．彈簧不掛重物時的長度為
C．物體質量每增加，彈簧長度y增加
D．所掛物體質量為時，彈簧長度為
【變式訓練2-2】彈簧原長（不掛重物），彈簧總長與重物質量的關系如表所示：
重物質量
彈簧總長 16 17 18 19 20
當重物質量為（在彈性限度內）時，彈簧的總長．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【變式訓練2-3】學校新買一臺智能飲水機，某天中午小俊通過觀察，記錄了飲水機工作時間與水溫的關系表格如下：
水溫（） ．．．．．．
時間（時：分） ．．．．．．
請你幫小俊計算水燒開的時間為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】某科研小組在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系的一些數(shù)據(jù)如下：
溫度（℃） 0 10 20 30
聲速（） 318 324 330 336 342 348
下列說法錯誤的是（ ）
A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速
B．溫度越低，聲速越慢
C．當溫度每升高時，聲速增加
D．當空氣溫度為時，聲音可以傳播
【變式訓練2-5】科學家一直以來都在不斷探索地球奧秘的路途中，經過大量的模擬實驗，發(fā)現(xiàn)地表以下巖層的溫度與所處深度的關系如表所示．
所處深度 1 2 3 4 5 6 7
巖層的溫度 55 90 125 160 195 230 265
(1)表中，自變量為______，因變量為______；
(2)請求出地表以下巖層的溫度與所處深度的關系式；
(3)當巖層的溫度為時，求所處深度．
題型三：用關系表示變量之間的關系
【經典例題3】一個蓄水池已有的水，現(xiàn)以每分鐘的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）與注水時間（分）之間的關系式為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】個球隊參加籃球比賽，每兩隊之間進行一場比賽，則比賽的場次數(shù)與球隊數(shù)之間的函數(shù)關系式是 ．
【變式訓練3-2】汽車由地駛往相距的地，它的平均速度是，則汽車距地路程與行駛時間的關系式為 ．
【變式訓練3-3】如圖，一輪船從離A港16千米的P地出發(fā)向B港勻速行駛，42分鐘后離A港37千米（未到達B港）．設x小時后，輪船離A港千米（未到達B港），則y與x之間的關系式為 ．
【變式訓練3-4】一支長的蠟燭點燃后每小時燃燒掉，用表示燃燒后蠟燭的長度，表示燃燒的時間，那么y與之間的關系式是 ．
【變式訓練3-5】長方形的周長為，一邊長由小到大變化，則長方形的面積與這個邊長的關系式為 ．
題型四：用圖像表示變量之間的關系
【經典例題4】如圖①，在長方形中，動點從點出發(fā)，沿的方向運動至點處停止，設點運動的路程為，三角形的面積為，如果關于的圖象如圖②所示，則長方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】4個高度相同的容器，以相同的流速向這四個容器中注水，能正確反映容器中水的高度變化的是（ ）．
A．B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖是長方體水槽軸截面示意圖，其底部放有一個實心銅球（銅的密度大于水），現(xiàn)向水槽中勻速注水，下列四個圖象中能大致反映水槽中水的深度與注水時間關系的是（ ）
A．B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，汽車勻速通過隧道時，汽車在隧道內的長度y與汽車進入隧道的時間x之間的關系用圖象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-4】一艘輪船在同一航線上往返于甲、乙兩地．已知輪船在靜水中的速度為，水流速度為．輪船先從甲地順水航行到乙地，在乙地停留一段時間后，又從乙地逆水航行返回到甲地．設輪船從甲地出發(fā)后所用時間為，航行的路程為，則與的函數(shù)圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-5】某牛奶銷售公司招聘送奶員，下面的海報顯示這家公司的日薪計算方式：
一天內送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．
下列正確表示這家公司的日薪與送奶數(shù)量關系的圖是（ ）
A．B．C．D．
題型五：常量和變量的綜合應用
【經典例題5】如圖所示，在一個半徑為的圓面上，從中心挖去一個小圓面，當挖去一個小圓的半徑由小變大時，剩下的一個圓環(huán)面積也隨之發(fā)生變化．
(1)在這個變化過程中，因變量是 ．
(2)寫出剩下的圓環(huán)面積與小圓的半徑的關系式： ．
(3)當挖去圓的半徑為時，剩下的圓環(huán)面積為多少？結果保留
【變式訓練5-1】星期天，小新和爸爸媽媽一起去電影院看一場電影．在去的路上，小新畫出了汽車的速度隨時間變化的情況如圖：
(1)汽車行駛了多長時間？它的最大速度是多少？
(2)汽車在哪個范圍內保持勻速？速度是多少？
(3)出發(fā)后分鐘到分鐘這段時間可能出現(xiàn)什么情況？
【變式訓練5-2】甲乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，如圖，線段表示貨車離甲地的距離s（千米）與時間t（小時）之間的關系：折線表示轎車離甲地的距離s（千米）與時間t（時）之間的關系，請根據(jù)圖象解答下列問題：
(1)點B所對應的數(shù)為_________．
(2)貨車的速度為_________千米/小時；轎車在段的速度為________千米/小時；轎車在段的速度為__________千米/小時．
(3)求轎車到達乙地時，貨車與甲地的距離．
(4)貨車和轎車誰先到達乙地？提前幾小時到達？
【變式訓練5-3】如圖所示，分別表示了香蕉、蘋果的總價與數(shù)量之間的關系，看圖回答問題．
(1)香蕉的總價和數(shù)量成______比例關系；（填“正”或“反”）
(2)從圖象上看，單價更貴一些的水果是______；
(3)買x千克蘋果要用______元，y元可以買_____千克香蕉．
【變式訓練5-4】某“優(yōu)質花海專用花籽”的價格為60元，如果一次性購買以上的花籽，超過的部分的花籽的價格打8折．
(1)根據(jù)題意，填寫下表：
購買花籽的重量/kg 3 4 5 6 …
付款金額/元 180 300
(2)設購買花籽的重量為，付款金額為y元，求y關于x的函數(shù)解析式；
(3)若花海園丁李伯伯一次購買該花籽花費了540元，求他購買花籽的重量．
【變式訓練5-5】中國聯(lián)通在某地的資費標準為包月86 元時，超出部分國內撥打0.25元．由于業(yè)務多，小明的爸爸打電話已超出了包月費．下表是超出部分國內撥打的收費標準：
時間 1 2 3 4 5
電話費/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
(1)這個表反映了哪兩個變量之間的關系 哪個是自變量 哪個是因變量
(2)如果用x表示超出時間，y表示超出部分的電話費，那么y與x之間的關系式是什么
(3)如果打電話超出，需付多少電話費
(4)某月打電話的費用超出部分是54元，那么小明的爸爸打電話超出幾分鐘
【變式訓練5-6】如圖，反映了小明從家到超市的時間與距離之間關系的一幅圖．
(1)圖中反映了哪兩個變量之間的關系？超市離家多遠？
(2)小明到達超市用了多少時間？小明僅往返（不考慮中間的等待時間）花了多少時間？
(3)小明離家出發(fā)后20分鐘到30分鐘內可以在做什么？
(4)小明從家到超市時的平均速度是多少？返回時的平均速度是多少？
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