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5.4一次函數的圖象七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：根據一次函數的解析式判斷其經過的象限
【經典例題1】正比例函數的圖象經過的象限有（ ）
A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二，三象限 D．二，三，四象限
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數的圖像，當時，正比例函數的圖象經過第二、四象限；當時，正比例函數的圖象經過第一、三象限．
根據一次函數圖像的性質即可解答．
【詳解】解：∵在正比例函數中，，
∴圖象經過第一、三象限．
故選：A．
【變式訓練1-1】對于函數，下列說法正確的是（ ）
A．它的圖象過點 B．值隨著值增大而減小
C．它的圖象經過第二象限 D．當時，
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，根據一次函數的圖象和性質逐項判斷即可求解，掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：、∵，當時，，
∴它的圖象不經過點，故選項說法錯誤，不合題意；
、∵，
∴值隨著值增大而增大，故選項說法錯誤，不合題意；
、∵，，
∴它的圖象經過一、三、四象限，故選項說法錯誤，不合題意；
、當時，，
∵值隨著值增大而增大，
∴當時，，故選項說法正確，符合題意；
故選：．
【變式訓練1-2】關于直線l： ，下列說法不正確的是（ ）
A．點在l上 B．l經過第二、三、四象限
C．l經過定點 D．當時，y隨x 的增大而減小
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數的圖象與性質．解題的關鍵是熟練掌握一次函數的圖象和性質．
對于A，C兩選項，根據函數圖象上的點一定滿足函數解析式，分別將兩點的橫坐標代入解析式，計算y值看是否等于縱坐標，即可； 再利用一次函數的k值的正負決定圖象經過的象限及增減性，即可判斷B、D的正誤．
【詳解】解：A、當時，，即點在l上，故A正確，不符合題意；
B、當時，經過第一、二、三象限，故B不正確，符合題意；
C、當時，，即經過定點，故C正確，不符合題意；
D、當時，隨的增大而減小，故D正確，不符合題意．
故選：B．
【變式訓練1-3】關于一次函數，下列說法正確的是（ ）
A．圖象經過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點
C．函數值y隨自變量x的增大而減小 D．當時，
【答案】D
【分析】本題考查一次函數的圖象性質、一次函數圖象與系數的關系、一次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答．根據一次函數圖象與系數的關系可對進行判斷，根據一次函數圖象上點的坐標特征可對進行判斷，根據一次函數的性質可對、進行判斷．
【詳解】解：A、∵一次函數，
∴該函數圖象經過第一、二、三象限，故選項錯誤，不符合題意；
B、當，則圖象與軸交于點，故選項錯誤，不符合題意；
C、由得函數值隨自變量的增大而增大，故選項錯誤，不符合題意；
D、當時，，故選項正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-4】下列關于一次函數的結論，錯誤的是（ ）
A．圖象經過點 B．函數值隨x的增大而減小
C．圖象與y軸交于點 D．圖象經過第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數圖象的性質，根據可得一次函數圖象經過第一、二、四象限，把點代入計算，函數的增減性進行判定即可求解．
【詳解】解：一次函數解析式為，
∴，
A、當時，，即圖象經過點，該選項正確，不符合題意；
B、函數值隨x的增大而減小，該選項正確，不符合題意；
C、當時，，即圖象與y軸交于點，該選項正確，不符合題意；
D、一次函數圖象經過第一、二、四象限，故原選項錯誤，符合題意；
故選：D ．
【變式訓練1-5】下列有關一次函數的說法中，正確的是（ ）
A．的值隨著值的增大而增大 B．函數圖象與軸的交點坐標為
C．當時， D．函數圖象經過第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本題考查一次函數的性質，一次函數與坐標軸的交點，根據一次函數的增減性可判斷；令解方程可判斷；根據一次函數的增減性和與軸的交點可判斷和，掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：、∵，
∴當值增大時，的值隨著增大而減小，故選項不正確，不符合題意；
、∵當時，，
∴函數圖象與軸的交點坐標為，故選項不正確，不符合題意；
、∵的值隨著增大而減小，函數圖象與軸的交點坐標為，
∴當時，，故選項不正確，不符合題意；
、∵的值隨著增大而減小，函數圖象與軸的交點坐標為，
∴圖象經過第二、三、四象限，故選項正確，符合題意；
故選：．
題型二：根據函數經過的象限求參數的取值范圍
【經典例題2】函數的圖象在第一、二、四象限，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質及解一元一次不等式組，根據函數與系數的關系得到，解不等式組即可得出答案
【詳解】函數的圖象在第一、二、四象限，
，
解得，
故答案為：C．
【變式訓練2-1】已知一次函數，隨著x的增大而減小，且其圖象不經過第一象限，則m的取值范圍是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質和解一元一次不等式組，根據題意列出不等式組，求解即可得出答案．
【詳解】解：∵一次函數，函數值y隨x的增大而減小，且其圖象不經過第一象限，
∴，
∴．
故選：D．
【變式訓練2-2】一次函數的圖象經過第一、二、四象限，若點在該一次函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法判定
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，掌握一次函數的圖象和系數的關系以及增減性是解題關鍵．根據一次函數圖象經過的象限，得出，再利用一次函數的增減性，即可判斷出函數值的大?。?br/>【詳解】解：一次函數的圖象經過第一、二、四象限，
，，
隨的增大而減小，
，
，
故選：A．
【變式訓練2-3】已知一次函數的圖象不經過第二象限，則下列說法中正確的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的性質，根據一次函數的圖象不經過第二象限得出，，求解即可，熟練掌握一次函數的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數的圖象不經過第二象限，
∴，，
∴，，
故選：D．
【變式訓練2-4】若一次函數的圖象不經過第二象限，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數圖象的性質，解不等式，根據一次函數不經過第二象限可得，由此即可求解．
【詳解】解：一次函數的圖象不經過第二象限，
∴，
解得，，
故選：A ．
【變式訓練2-5】若函數的圖象經過第一、三、四象限，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一次函數的圖象，解一元一次不等式組等知識點，熟練掌握直線所在的位置與、的符號之間的關系是解題的關鍵：時，直線必經過一、三象限；時，直線必經過二、四象限；時，直線與軸正半軸相交；時，直線過原點；時，直線與軸負半軸相交．
根據函數圖象所經過的象限列出不等式組，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：一次函數的圖象經過第一、三、四象限，
，
解得：，
故選：．
題型三：畫一次函數圖像
【經典例題3】在平面直角坐標系中，直線的圖象如圖所示，它與直線的圖象都經過，且兩直線與軸分別交于兩點．
(1)在如圖的平面直角坐標系中，畫出一次函數的圖象；
(2)直接寫出兩點的坐標．
【答案】(1)圖象見詳解；
(2)．
【分析】本題主要考查一次函數的圖像和性質，熟練掌握一次函數的相關知識是解題的關鍵．
（1）利用兩點法畫出函數的圖像即可；
（2）根據圖像即可求得．
【詳解】（1）解：當時，
當時，，，
過點作直線，
畫出函數圖像如圖；
（2）解：對于，當時，；
對于，當時，；
∴．
【變式訓練3-1】已知一次函數．
(1)將下列表格補充完整 ，并在平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象．
x … 0 1 …
… 0 …
(2)當函數值y為10時，自變量x的值為______．
【答案】(1)
見解析
(2)3
【分析】本題考查一次函數的圖象，找到函數圖象上的兩個點，連接即可得到函數圖象．
（1）直接將點橫（縱）坐標代入，計算即可補充表格，找到函數圖象上的兩個點，連接即可得到函數圖象；
（2）令，求解即可．
【詳解】（1）解：時，，
解得：，
時，，
時，，
補充表格如下：
x … 0 1 …
… 0 4 6 …
畫出函數圖象如下.
（2）解：，
解得：．
【變式訓練3-2】在研究一次函數圖象的性質時，小聰想通過列表、描點、連線的方法畫出一次函數的圖象．下面是小聰列出的表格：
… 1 2 …
… 4 3 3 0 …
(1)小聰在作圖時發現表格中有一個點不在該函數圖象上，這個點的坐標是______；
(2)請在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該一次函數圖象；
(3)寫出一個正比例函數關系式，使得這個正比例函數圖象與該一次函數圖象平行．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據當時，或1，得到和有一個點不在該函數圖象上，再根據待定系數法求出一次函數的解析式，求出當時x的值，即可得到答案；
（2）根據描點法進行畫圖即可；
（3）根據斜率相同，兩直線平行，即可得到答案．
【詳解】（1）解：由表格可知，當時，或1，
∴和有一個點不在該函數圖象上，和在該函數圖象上，
設一次函數的解析式為，
則，
解得：，，
∴一次函數的解析式為，
當時，，解得，
∴點不在該圖象上，
故答案為：；
（2）解：一次函數的圖象如下所示，
（3）解：∵當一次函數斜率相同時，兩直線平行，一次函數的解析式為
∴正比例函數的解析式為：．
【點睛】本題考查求一次函數的解析、描點法畫一次函數的圖象和一次函數圖象的性質，解題的關鍵是求出一次函數的解析式．
【變式訓練3-3】已知，一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)畫出該函數圖象．
【答案】(1)點A的坐標為，點B的坐標為
(2)見解析
【分析】本題主要考查了一次函數圖像上點的坐標特征，熟練掌握一次函數的圖像是解題的關鍵．
（1）代入求出的值，以及求出的值即可得到答案；
（2）描點，連線，畫出圖形．
【詳解】（1）解：令，則，
點A的坐標為
令，則，
點B的坐標為
（2）解：如圖：
【變式訓練3-4】已知一次函數的圖象不經過第四象限．
(1)求的取值范圍；
(2)當時，在給定的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；
(3)在（2）的情況下，當時，根據圖象求出的取值范圍．
【答案】(1)的取值范圍是
(2)圖見詳解
(3)的取值范圍是
【分析】本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式組，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
（1）根據題意不等式組即可求解；
（2）根據，求出一次函數解析式，然后畫函數圖像即可．
（3）將和分別代入中，分別求出的值，即可求出的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象不經過第四象限，
∴，
解得，
∴的取值范圍是．
（2）解：當時，一次函數解析式為
即，
在圖上畫上該函數的圖象如下：
（3）解：將和分別代入中，
可分別得出和，
∴當時，的取值范圍．
題型四：一次函數的平移
【經典例題4】一次函數的圖象沿y軸向下平移5個單位，所得圖象的函數解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數圖象的平移，難度不大，要注意上下平移后k值不變．根據平移的規律 “上加下減，左加右減”進行解答即可．
【詳解】解：一次函數的圖象沿y軸向下平移5個單位，
所得圖象的函數解析式為：，
故選：B．
【變式訓練4-1】將一次函數（是常數且）的圖象向上平移4個單位長度，平移后的函數圖象經過點，則的值為（ ）
A．2 B． C．2或4 D．或
【答案】B
【分析】本題主要考查了一次函數的平移以及待定系數法求一次函數解析式，根據“左加右減，上加下減”的規律寫出函數解析式，然后代入點根據待定系數法即可求得．
【詳解】解：一次函數（是常數且）的圖象向上平移4個單位長度，則函數解析式變成：，
∵平移后的函數圖象經過點，
∴，
解得：．
故選：B．
【變式訓練4-2】將直線向上平移3個單位長度，則平移后的直線解析式為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數圖象的平移，根據平移規則，上加下減，進行求解即可．
【詳解】解：將直線向上平移3個單位長度，則平移后的直線解析式為；
故答案為：．
【變式訓練4-3】將直線向上平移2個單位長度后的直線與x軸的交點坐標為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了坐標的平移、直線與坐標x軸的交點問題等知識點，掌握平移規律“縱坐標向上平移加，向下平移減”是解題的關鍵．
先根據坐標的平移規律求得函數解析式，然后求得平移后的直線與x軸的交點坐標即可．
【詳解】解：直線向上平移2個單位長度，所得直線為：，
令，解得：，
∴平移后的直線與x軸的交點坐標為：．
故答案為：．
【變式訓練4-4】在平面直角坐標系中，若將一次函數的圖象向上平移個單位長度后，得到一個正比例函數的圖象，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一次函數的平移，正比例函數的定義，根據平移規律“左加右減（橫軸），上加下減（縱軸）”可得平移后的函數圖形，再根據正比例函數的定義及一般式“”即可求解．
【詳解】解：將一次函數的圖象向上平移個單位長度后的函數解析式為，
∵平移后得到一個正比例函數的圖象，
∴，
解得，，
故答案為： ．
【變式訓練4-5】在平面直角坐標系中，直線的圖象不動，將坐標系向上平移2個單位后得到新的平面直角坐標系，此時該直線的解析式變為 ．
【答案】
【分析】本題考查一次函數圖象與幾何變換，掌握解析式的“左加右減，上加下減”平移規律是解題的關鍵．
將坐標系向上平移2個單位后得到新的平面直角坐標系，相當于是把直線向下平移2個單位，據此求解即可．
【詳解】解：由題意，可知本題是求把直線向下平移2個單位后的解析式，
則所求解析式為，即．
故答案為：．
題型五：判斷一次函數的增減性
【經典例題5】點，點是一次函數圖像的兩個點，且，則與的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查一次函數的性質；由于一次函數，可知y隨x的增大而增大，即可求解．
【詳解】解：∵一次函數中，
∴y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
故選：B．
【變式訓練5-1】已知一次函數，經過點和點且，，當，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一次函數圖象的性質的運用，根據一次函數中，的符號決定圖象的位置進行判定即可求解．
【詳解】解：一次函數中，，
∴函數圖象經過第一、二、四象限，隨的增大而減小，且時，，
∵，
∴，
故選： B．
【變式訓練5-2】一次函數上有兩點，，則，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】C
【分析】本題主要考查了比較一次函數值的大小，一次函數的增減性，對于一次函數（k為常數，），當時，y 隨x 的增大而增大，當時，y 隨x 的增大而減小，據此求解即可．
【詳解】解：∵在一次函數中，，
∴y隨x增大而增大，
∵點，在一次函數的圖象上，且，
∴，
故選：C．
【變式訓練5-3】若一次函數不經過第三象限，則下列說法正確的是（ ）
A．，隨的增大而減小 B．，隨的增大而減小
C．，隨的增大而增大 D．，隨的增大而減小
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數的圖象和性質，由一次函數不經過第三象限，可得，，進而由一次函數的性質即可求解，掌握一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵一次函數不經過第三象限，
∴，，
∴隨的增大而減小，
∴，隨的增大而減小，
故選：．
【變式訓練5-4】已知點都在直線上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數的增減性，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．根據一次函數的增減性分析判斷即可．
【詳解】解：對于直線，，
∴y隨x的增大而減小，
∵點都在直線上，且，
∴，
故選：C．
【變式訓練5-5】在平面直角坐標系中，點，在函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．以上都有可
【答案】A
【分析】本題考查一次函數圖象與性質，涉及利用一次函數增減性比較函數值大小，先由確定一次函數的增減性，由增減性直接比較即可得到答案，熟記一次函數增減性是解決問題的關鍵．
【詳解】解：一次函數的，
隨的增大而減小，
點，在函數的圖象上，，
，
故選：A．
【變式訓練5-6】已知點在一次函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
【答案】A
【分析】本題主要考查了比較一次函數值的大小，根據解析式得到y隨x增大而減小，再由，即可得到．
【詳解】解：∵在中，，
∴y隨x增大而減小，
∵點在一次函數的圖象上，，
∴，
故選：A．
題型六：根據函數的增減性求參數
【經典例題6】已知點、點在一次函數圖象上，，則取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一次函數的性質，牢記“，y隨x的增大而增大；，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．
由且，可得出y隨x的增大而減小，結合一次函數的性質可得出求解即可．
【詳解】解：∵點、點在一次函數圖象上，，，
∴y隨x的增大而減小，
∴，解得：，
∴m的取值范圍是．
故選A．
【變式訓練6-1】已知點，是一次函數圖象上不同的兩個點，若記，則當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，掌握點與解析式的關系是解題的關鍵．將，代入函數，求出，再表示出，由即可求解．
【詳解】點，是一次函數圖象上不同的兩個點，
，
，
，
，
即，
，
故選：D．
【變式訓練6-2】若正比例函數的圖像經過點和點，當時，，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查正比例函數的增減性，根據正比例函數的增減性判斷k的符號：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減?。?br/>【詳解】解：∵當時，，
∴隨的增大而增大，
∴，
解得：，
故選：C．
【變式訓練6-3】已知一次函數（m為常數），當時，y有最大值6，則m的值為
【答案】6或/或6
【分析】本題主要考查一次函數的性質，待定系數法求解析式等，深度理解一次函數的性質是解題關鍵．結合一次函數的性質，對m分類討論，當時，一次函數y隨x增大而增大，此時，；當時，一次函數y隨x增大而減小，此時，；據此利用待定系數法求解即可．
【詳解】解：當時，一次函數y隨x增大而增大，
∴當時，，
∴，
解得，
當時，一次函數y隨x增大而減小，
∴當時，，
∴，
解得，符合題意．
綜上可知，m的值為6或．
故答案為：6或．
【變式訓練6-4】已知一次函數（，為常數，），當時，，則的值為 ．
【答案】2或/或2
【分析】由與的范圍，確定出點坐標，代入一次函數解析式求出與的值，即可確定出所求．此題考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．
【詳解】解：當時，隨的增大而增大，
∵當時，，
一次函數圖象上的點坐標為和，
代入得：，
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
此時；
當時，隨的增大而減小，
一次函數圖象上的點坐標為和，
代入得：，
解得：，
此時，
故答案為：2或．
【變式訓練6-5】反比例函數，當時，函數的最大值和最小值之差為，則 ．
【答案】或
【分析】根據反比例函數的增減性質列解一元一次方程解答即可．此題考查反比例函數的增減性：當>時，在每個象限內隨的增大而減小，當時，在每個象限內隨的增大而增大，以及正確解一元一次方程．
【詳解】解：當>時，在每個象限內隨的增大而減小，
∴設時，則當時，，
∴，
解得，
∴；
當時，在每個象限內隨的增大而增大，
∴設時，則當時，，
∴，
解得，
∴；
∴或，
故答案為：或．
【變式訓練6-6】已知一次函數，當時，對應的函數值的取值范圍是，則的值為 ．
【答案】或
【分析】本題考查一次函數的性質，分兩種情況進行分析：①當時，y隨x的增大而增大；②當時，y隨x的增大而減小，利用待定系數法求解即可得出結果．
【詳解】解：當時，y隨x的增大而增大，
∵當時，，
∴當時，，
∴，
∴，
當時，，
∴，
∴，
∴；
當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，，當時，，
∴，
解得,，
∴；
故答案為：或．
題型七：定義新運算
【經典例題7】定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數的圖象l經過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一次函數圖象及性質．取連，取點P，軸軸，垂直分別為，可得均為等腰直角三角形，從而得為等腰直角三角形進而得，繼而得到線上的點為“成雙點”，線上的點為“成雙點”，可得到當一次函數的圖象與線或線有交點時，一次函數的圖象上存在“成雙點”，再分別求出當一次函數的圖象經過點E時，當一次函數的圖象經過點G時，k的值，即可求解．
【詳解】解：取連，取點P，軸軸，垂直分別為，
∵，
∴均為等腰直角三角形，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴點是“成雙點”，即線上的點為“成雙點”，同理線上的點為“成雙點”，
∴當一次函數的圖象與線或線有交點時，一次函數的圖象上存在“成雙點”，
∵一次函數的圖象l經過點，
∴，
解得：，
∴一次函數解析式為，
當一次函數的圖象經過點E時，
∴，解得：，
當一次函數的圖象經過點G時，
∴，解得：，
∴k的取值范圍：，
故選：D．
【變式訓練7-1】對于實數a,b，定義符號，其意義為：當時，，當時，，例如：，，若關于x的函數，則該函數的最大值為（　?。?br/>A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，根據定義分情況列出不等式：①當時，；②當時，，再根據一次函數的性質可得出結果．
【詳解】解：由題意得：
①當，即時，，
，y隨x的增大而減小，
當時，y取得最大值3；
②當，即時，，
，y隨x的增大而增大，
當時，．
綜上可知，函數的最大值為3．
故選：C．
【變式訓練7-2】定義符號，其意義為：當時，；當時，．例如：，若關于的函數，則該函數的最大值為（ ）
A．0.5 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了新定義、一次函數的圖象及性質．
根據定義分情況列出不等式：①當時，；②當時，，再根據一次函數的性質可得出結果．
【詳解】①當，即時，，
∵，y隨x的增大而減小，
∴當，y有最大值，為；
②當，即時，，
∵，y隨x的增大而增大，
∴當，．
綜上所述，，即y的最大值為3．
故選：C
【變式訓練7-3】對某一個函數給出如下定義：若存在實數，對于這個函數的所有函數值y，都滿足，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．函數的邊界值為 ．若函數（，）的邊界值是5，且這個函數的最大值也是5，則b的取值范圍為 ．
【答案】 3
【分析】本題考查了一次函數的圖象與性質．理解題意，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
由，可知當時，；當時，；由邊界值的定義可求函數的邊界值；由（，）邊界值是5，，函數的最大值是5，可知當時，；可求，當時，；則，計算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴當時，；
當時，；
∴由邊界值的定義可知，函數的邊界值為3；
∵（，）邊界值是5，，函數的最大值是5，
∴當時，；
解得，，
當時，；
∴，
解得，，
故答案為：3，．
【變式訓練7-4】定義：在平面直角坐標系中，如果直線上的點經過一次變換后得到點，那么稱這次變換為“逆倍分變換”．如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點A，B．點P為該直線上一點，若經過一次“逆倍分變換”后，得到的對應點與點P重合，則點P的坐標為 ；點Q為該直線上一點，若經過一次“逆倍分變換”后，得到的對應點，使得和的面積相等，則點Q的坐標為 ．
【答案】 或
【分析】本題主要考查了一次函數圖象上的點的坐標特征、一次函數的性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據題意，設為，可得為，又與重合，進而建立方程計算可以得解；依據題意，和的面積相等，畫出圖象可得在過且平行于的直線上或在上方4個單位且平行于，故所在直線為或，進而可設為或，則為或，又在上，求出即可得解．
【詳解】解：由題意，設為，
為．
又與重合，
．
．
．
如圖，和的面積相等，
在過且平行于的直線上或在上方4個單位且平行于．
所在直線為或．
故可設為或．
為或．
又在上，
或．
或．
或．
故答案為：；或．
【變式訓練7-5】定義：在平面直角坐標系中，對于點和點當時，，當時，則稱點 N 為點 M 的變換點．
例如：點變換點的坐標是，點變換點的坐標是．
(1)則點的變換點的坐標是 ；
(2)已知點 M 在函數 的圖象上，點 M 的變換點N的縱坐標為5，求點M的坐標．
(3)已知點M在函數的圖象上，其變換點 N 的縱坐標 的取值范圍是 ，求k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
(3)k的取值范圍為
【分析】本題考查了一次函數的圖象，由函數值求自變量，點坐標等知識．理解題意，數形結合是解題的關鍵．
（1）由，可得進而可求結果；
（2）設，當時，，可求，進而可得，則；當時，，可求，進而可得，則；
（3）由題意知，上的點的變換點的圖象如圖所示，當時，，則，當時，，則，當時，，可求，當時，，可求，由變換點 N 的縱坐標 的取值范圍是 ，數形結合作答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴
∴點的變換點的坐標是；
故答案為：；
（2）解：設，
當時，，
解得，，
∴，
∴；
當時，
解得，，
∴，
∴；
綜上，點M的坐標為或；
（3）解：由題意知，上的點的變換點的圖象如圖所示，
當時，，
∴，
當時，，
∴，
當時，，
解得，，
當時，，
解得，，
∵變換點 N 的縱坐標 的取值范圍是 ，
∴由圖象可知，，
∴k的取值范圍為．
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5.4一次函數的圖象七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：根據一次函數的解析式判斷其經過的象限
【經典例題1】正比例函數的圖象經過的象限有（ ）
A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二，三象限 D．二，三，四象限
【變式訓練1-1】對于函數，下列說法正確的是（ ）
A．它的圖象過點 B．值隨著值增大而減小
C．它的圖象經過第二象限 D．當時，
【變式訓練1-2】關于直線l： ，下列說法不正確的是（ ）
A．點在l上 B．l經過第二、三、四象限
C．l經過定點 D．當時，y隨x 的增大而減小
【變式訓練1-3】關于一次函數，下列說法正確的是（ ）
A．圖象經過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點
C．函數值y隨自變量x的增大而減小 D．當時，
【變式訓練1-4】下列關于一次函數的結論，錯誤的是（ ）
A．圖象經過點 B．函數值隨x的增大而減小
C．圖象與y軸交于點 D．圖象經過第二、三、四象限
【變式訓練1-5】下列有關一次函數的說法中，正確的是（ ）
A．的值隨著值的增大而增大 B．函數圖象與軸的交點坐標為
C．當時， D．函數圖象經過第二、三、四象限
題型二：根據函數經過的象限求參數的取值范圍
【經典例題2】函數的圖象在第一、二、四象限，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】已知一次函數，隨著x的增大而減小，且其圖象不經過第一象限，則m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】一次函數的圖象經過第一、二、四象限，若點在該一次函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．無法判定
【變式訓練2-3】已知一次函數的圖象不經過第二象限，則下列說法中正確的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式訓練2-4】若一次函數的圖象不經過第二象限，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】若函數的圖象經過第一、三、四象限，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三：畫一次函數圖像
【經典例題3】在平面直角坐標系中，直線的圖象如圖所示，它與直線的圖象都經過，且兩直線與軸分別交于兩點．
(1)在如圖的平面直角坐標系中，畫出一次函數的圖象；
(2)直接寫出兩點的坐標．
【變式訓練3-1】已知一次函數．
(1)將下列表格補充完整 ，并在平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象．
x … 0 1 …
… 0 …
(2)當函數值y為10時，自變量x的值為______．
【變式訓練3-2】在研究一次函數圖象的性質時，小聰想通過列表、描點、連線的方法畫出一次函數的圖象．下面是小聰列出的表格：
… 1 2 …
… 4 3 3 0 …
(1)小聰在作圖時發現表格中有一個點不在該函數圖象上，這個點的坐標是______；
(2)請在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該一次函數圖象；
(3)寫出一個正比例函數關系式，使得這個正比例函數圖象與該一次函數圖象平行．
【變式訓練3-3】已知，一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)畫出該函數圖象．
【變式訓練3-4】已知一次函數的圖象不經過第四象限．
(1)求的取值范圍；
(2)當時，在給定的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；
(3)在（2）的情況下，當時，根據圖象求出的取值范圍．
題型四：一次函數的平移
【經典例題4】一次函數的圖象沿y軸向下平移5個單位，所得圖象的函數解析式為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】將一次函數（是常數且）的圖象向上平移4個單位長度，平移后的函數圖象經過點，則的值為（ ）
A．2 B． C．2或4 D．或
【變式訓練4-2】將直線向上平移3個單位長度，則平移后的直線解析式為 ．
【變式訓練4-3】將直線向上平移2個單位長度后的直線與x軸的交點坐標為 ．
【變式訓練4-4】在平面直角坐標系中，若將一次函數的圖象向上平移個單位長度后，得到一個正比例函數的圖象，則的值為 ．
【變式訓練4-5】在平面直角坐標系中，直線的圖象不動，將坐標系向上平移2個單位后得到新的平面直角坐標系，此時該直線的解析式變為 ．
題型五：判斷一次函數的增減性
【經典例題5】點，點是一次函數圖像的兩個點，且，則與的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-1】已知一次函數，經過點和點且，，當，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】一次函數上有兩點，，則，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【變式訓練5-3】若一次函數不經過第三象限，則下列說法正確的是（ ）
A．，隨的增大而減小 B．，隨的增大而減小
C．，隨的增大而增大 D．，隨的增大而減小
【變式訓練5-4】已知點都在直線上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-5】在平面直角坐標系中，點，在函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．以上都有可
【變式訓練5-6】已知點在一次函數的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．以上都不對
題型六：根據函數的增減性求參數
【經典例題6】已知點、點在一次函數圖象上，，則取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】已知點，是一次函數圖象上不同的兩個點，若記，則當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】若正比例函數的圖像經過點和點，當時，，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-3】已知一次函數（m為常數），當時，y有最大值6，則m的值為
【變式訓練6-4】已知一次函數（，為常數，），當時，，則的值為 ．
【變式訓練6-5】反比例函數，當時，函數的最大值和最小值之差為，則 ．
【變式訓練6-6】已知一次函數，當時，對應的函數值的取值范圍是，則的值為 ．
題型七：定義新運算
【經典例題7】定義：平面直角坐標系中，若點A到x軸、y軸的距離和為2，則稱點A為“和二點”．例如：點到x軸、y軸距離和為2，則點B是“和二點”，點也是“和二點”．一次函數的圖象l經過點，且圖象l上存在“和二點”，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】對于實數a,b，定義符號，其意義為：當時，，當時，，例如：，，若關于x的函數，則該函數的最大值為（　?。?br/>A．0 B．2 C．3 D．5
【變式訓練7-2】定義符號，其意義為：當時，；當時，．例如：，若關于的函數，則該函數的最大值為（ ）
A．0.5 B．2 C．3 D．5
【變式訓練7-3】對某一個函數給出如下定義：若存在實數，對于這個函數的所有函數值y，都滿足，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．函數的邊界值為 ．若函數（，）的邊界值是5，且這個函數的最大值也是5，則b的取值范圍為 ．
【變式訓練7-4】定義：在平面直角坐標系中，如果直線上的點經過一次變換后得到點，那么稱這次變換為“逆倍分變換”．如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點A，B．點P為該直線上一點，若經過一次“逆倍分變換”后，得到的對應點與點P重合，則點P的坐標為 ；點Q為該直線上一點，若經過一次“逆倍分變換”后，得到的對應點，使得和的面積相等，則點Q的坐標為 ．
【變式訓練7-5】定義：在平面直角坐標系中，對于點和點當時，，當時，則稱點 N 為點 M 的變換點．
例如：點變換點的坐標是，點變換點的坐標是．
(1)則點的變換點的坐標是 ；
(2)已知點 M 在函數 的圖象上，點 M 的變換點N的縱坐標為5，求點M的坐標．
(3)已知點M在函數的圖象上，其變換點 N 的縱坐標 的取值范圍是 ，求k的取值范圍．
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