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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第17練 任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念（精練）
1.了解任意角、弧度制的概念.
2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.
3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
二、單選題
2．（2022·全國(guó)·高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固練】
一、單選題
1．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）集合中的最大負(fù)角為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A． B．4 C． D．1
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四節(jié)氣是中國(guó)古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節(jié)氣的對(duì)應(yīng)圖如圖所示，從2022年4月20日谷雨節(jié)氣到2022年12月7日大雪節(jié)氣圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
5．（22-23高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（23-24高三上·河南·期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若該圓錐底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·江西贛州·期中）已知為第一象限角，且，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）中國(guó)傳統(tǒng)折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該扇面的面積為（ ）
A． B． C． D．
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
三、填空題
17．（23-24高一下·江西撫州·期中）已知扇形的弧長(zhǎng)為，面積為，則扇形所在圓的半徑為 ．
18．（23-24高三上·上海·期中）母線長(zhǎng)為、底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為 ．
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸．若是角終邊上一點(diǎn)，且，則 ．
20．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的終邊在直線上，則的值為 ．
【B級(jí) 能力提升練】
一、單選題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北滄州·一模）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).P的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn).則當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個(gè)車輪上的點(diǎn)剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時(shí)到鐵軌上表面的距離為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·海南·期末）如圖所示，用若干個(gè)正方形拼成一個(gè)大矩形，然后在每個(gè)正方形中以邊長(zhǎng)為半徑繪制圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”．若圖中最大的矩形面積為104，則這段斐波那契螺旋線的長(zhǎng)度為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
8．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．2
三、填空題
9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分的面積，且，則 .
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則 .
11．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知角均在第一象限，終邊上有一點(diǎn)，且，則 .
12．（2024·湖南岳陽·三模）已知角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，且，則的一組取值可以是 ， ．
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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第17練 任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念（精練）
1.了解任意角、弧度制的概念.
2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.
3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為 ， ．
【答案】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，
取，
則，即，
令，則，
因?yàn)椋瑒t，
即，則.
不妨取，即滿足題意.故答案為：.
二、單選題
2．（2022·全國(guó)·高考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以，
又，所以三點(diǎn)共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固練】
一、單選題
1．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）集合中的最大負(fù)角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用任意角的定義與集合所表示的角即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以集合中的最大負(fù)角為.
故選：C.
2．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意，根據(jù)角的定義和象限角的概念可判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵允堑谒南笙藿牵?br/>則是第一象限角，故A錯(cuò)誤；是第二象限角，故B錯(cuò)誤；
是第四象限角，故C正確；是第一象限角，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】始邊與軸非負(fù)半軸重合，，為其終邊上一點(diǎn)，
則，且，解得．
故選：D．
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四節(jié)氣是中國(guó)古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節(jié)氣的對(duì)應(yīng)圖如圖所示，從2022年4月20日谷雨節(jié)氣到2022年12月7日大雪節(jié)氣圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用弧度制的定義計(jì)算出每個(gè)節(jié)氣所表示的弧度數(shù)，即可求解.
【詳解】由題意，二十四節(jié)氣將一個(gè)圓24等分，所以每相鄰的兩個(gè)節(jié)氣對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為，
則從谷雨到大雪，二十四節(jié)氣圓盤需要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15個(gè)節(jié)氣，
所以轉(zhuǎn)過的弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為.
故選：C.
5．（22-23高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)符號(hào)判斷即可.
【詳解】充分性：由可知，
由可知或，
綜上，，即為第三象限角.
必要性：若為第三象限角，則且.
所以“且”是“為第三象限角”的充要條件.
故選：A
6．（23-24高三上·河南·期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若該圓錐底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，求圓錐的母線長(zhǎng)與高，即可求得圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，即扇形的半徑.
扇形的圓心角為，即，
由底面圓的半徑為，
則底面圓周長(zhǎng)，解得，
設(shè)圓錐的高為，則，
則圓錐的體積.
故選：C.

7．（23-24高三上·江西贛州·期中）已知為第一象限角，且，則為（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】由已知，利用差角正弦公式可得，進(jìn)而有，結(jié)合為第一象限角列不等式求范圍即可.
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，而為第一象限角，
所以，則,
所以，即為第四象限角.
故選：D
8．（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）中國(guó)傳統(tǒng)折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時(shí)，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該扇面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)弧長(zhǎng)公式的變形，計(jì)算福字下面小扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)福字下面的小扇形所在圓的半徑為，
則，解得：，
所以扇形環(huán)的面積為.
故選：A
9．（2024·甘肅·一模）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，所以，
所以.
故選：C
10．（23-24高一上·廣東廣州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，求出點(diǎn)在第三象限，得到AB錯(cuò)誤；并結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到，由余弦函數(shù)單調(diào)性得到.
【詳解】因?yàn)椋?br/>，
故點(diǎn)在第三象限，
故，，AB錯(cuò)誤；
，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
所以，故，，
所以，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
11．（2024·河南·一模）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角，其終邊落在直線上，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角的終邊落在直線上易于求得角或，分別求出角的正弦、余弦值，即可對(duì)選項(xiàng)一一判斷.
【詳解】因角的終邊落在直線上，故或.
對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，，則.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
12．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）“角的終邊在同一條直線上”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】借助的值，直接分別判斷充分性和必要性.
【詳解】由角的終邊在同一條直線上，得，
即，所以.
反之，由，得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，角的終邊在同一條射線上；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，角的終邊在同一條直線上.
綜上，“角的終邊在同一條直線上”是“”的充要條件.
故選 ：C.
13．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知，且，則為（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合同角公式，由正余弦值的符號(hào)判斷角所在象限即可推理得解.
【詳解】由，得，則且，又，
因此且，是第二象限角，即，
則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，
所以是第一或三象限角.
故選：C
二、多選題
14．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）若角的終邊在第三象限，則的值可能為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】BC
【分析】由角在第三象限，確定所在象限并確定函數(shù)值的符號(hào)即可得解.
【詳解】由角的終邊在第三象限，得，則，
因此是第二象限角或第四象限角，
當(dāng)是第二象限角時(shí)，，
當(dāng)是第四象限角時(shí)，.
故選：BC
15．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知角終邊上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．若，則 D．屬于第二象限角
【答案】BCD
【分析】根據(jù)任意角得終邊上一點(diǎn)可以求得對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)，再結(jié)合恒等變換公式，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.
【詳解】由題易知，所以，A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br/>所以，B正確；
因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，C正確；
因?yàn)閷儆诘谝幌笙藿牵裕?br/>所以，且，
即屬于第二象限角，D正確.
故選：BCD.
16．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABD
【分析】
利用三角函數(shù)定義逐項(xiàng)求解判斷.
【詳解】由，得，解得（負(fù)值舍去），則正確.
由，得，則B，D正確.
由，得，解得，則錯(cuò)誤.
故選：ABD
三、填空題
17．（23-24高一下·江西撫州·期中）已知扇形的弧長(zhǎng)為，面積為，則扇形所在圓的半徑為 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式求解即得.
【詳解】令扇形所在圓的半徑為，依題意，，所以.
故答案為：3
18．（23-24高三上·上海·期中）母線長(zhǎng)為、底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，
又母線，底面半徑
則，即，解得.
故答案為：
19．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸．若是角終邊上一點(diǎn)，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義式列方程，解方程即可.
【詳解】由題設(shè)知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案為：.
20．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的終邊在直線上，則的值為 ．
【答案】
【分析】先分兩種情況角的終邊在第二象限或第四象限取點(diǎn)再結(jié)合余弦函數(shù)定義求值即可.
【詳解】∵角的終邊在直線上，∴角的終邊在第二象限或第四象限．
當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)，在角的終邊上取一點(diǎn)，
則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，∴．
當(dāng)角的終邊在第四象限時(shí)，在角的終邊上取一點(diǎn)，
則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，∴．
綜上，或．
故答案為：.
【B級(jí) 能力提升練】
一、單選題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)終邊定義及誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由題意知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，
所以．故B正確.
故選：B.
2．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.
【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為，為圓心，如下圖，
取的中點(diǎn)，連接，則，則，
則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，
.

故選：D.
3．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的范圍求得是第一 三象限角，分類討論，根據(jù)三角函數(shù)符號(hào)即可判斷.
【詳解】因?yàn)樵诘谝幌笙蓿裕?br/>所以，，所以是第一 三象限角，
當(dāng)是第一象限角時(shí)，，，，；
當(dāng)是第三象限角時(shí)，，，，；
綜上，一定成立.
故選：C
4．（2024·河北滄州·一模）已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，，再由二倍角公式及兩角和的正弦公式求出，，，最后由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，，
所以，
，
所以
，
所以
.
故選：B
5．（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).P的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn).則當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，通過題意得到，結(jié)合周期性逐一代入判斷即可.
【詳解】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題意可知，兩質(zhì)點(diǎn)起始點(diǎn)相差角度為，
則，解得，
若，則，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，
若，則，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
若，則，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
根據(jù)周期性可知，其余重合點(diǎn)與上述點(diǎn)重合.
故選：D
6．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個(gè)車輪上的點(diǎn)剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時(shí)到鐵軌上表面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】針對(duì)實(shí)際問題建模轉(zhuǎn)化為圓的弧長(zhǎng)與圓心角、半徑之間的關(guān)系，就圓心角的范圍進(jìn)行分類,借助于直角三角形計(jì)算即得.
【詳解】當(dāng)列車行駛的距離為時(shí)，則車輪轉(zhuǎn)過的角度所對(duì)應(yīng)的扇形弧長(zhǎng)為，
車輪轉(zhuǎn)過的角度為點(diǎn)的初始位置為，設(shè)車輪的中心為，當(dāng)
時(shí)，作，垂足為，如圖，
則到鐵軌表面的距離為；
當(dāng)時(shí)，，作，垂足為，如圖，
則，
到鐵軌表面的距離為；
當(dāng)在其它范圍均可得到，點(diǎn)到鐵軌上表面的距離為.
二、多選題
8．（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BD
【分析】由三角函數(shù)定義以及誘導(dǎo)公式即可得解.
【詳解】由題意，所以或，
所以.
故選：BD.
三、填空題
9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分的面積，且，則 .
【答案】/
【分析】利用扇形半徑表示直角三角形和扇形的面積，利用面積間的關(guān)系，列式求解.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為，
在中，
則的面積為，
由題意得
所以，所以.
故答案為：
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到，再利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得.
【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，所以
.
故答案為：
11．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知角均在第一象限，終邊上有一點(diǎn)，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可得，然后再利用余弦兩角和公式，從而求解.
【詳解】根據(jù)終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可得，得：
化簡(jiǎn)得：
所以：.
故答案為：.
12．（2024·湖南岳陽·三模）已知角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，且，則的一組取值可以是 ， ．
【答案】 （答案不唯一，符合，或，，即可）
【分析】由條件角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱可得，由可得，解方程求即可.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，，
又，
所以或，，
所以，或，，，
取可得或
所以的一組取值可以是，
故答案為：，，（答案不唯一，符合，或，，即可）
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