資源簡介

2025年高考數學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）
第19講 三角恒等變換（精講）
①公式的直接應用與變形
②輔助角公式的應用
③三角函數式的化簡
④給值求值問題
⑤給值求角問題
一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
1、兩角和與差的正弦：
:
:
2、兩角和與差的余弦：
:
:
3、兩角和與差的正切：
:.
:.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角公式：
（1）二倍角的正弦（）：．
（2）二倍角的余弦（）：．
（3）二倍角的正切（）：．
2、二倍角公式的變形及應用
（1）倍角公式的逆用：
；；．
：；；．
（2）降冪（擴角）公式：；；
；．
三、積化和差與和差化積（不要求記憶）
1、積化和差
2、和差化積
四、輔助角公式
1、輔助角公式：（其中）
實質上是將同角的正弦值和余弦值與常數積的和變形為一個三角函數，當式子化簡為同角不同名三角函數相加減時，通常利用輔助角公式化為正弦型．
2、輔助角公式的推導
=
由于上式中和的平方和為1，
故令，
則==
其中角終邊所在的象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．
1、公式的變形：．
2、常見輔助角結論
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3、“給角求值”、“給值求值”問題一般策略
（1）關鍵是把“所求角”用“已知角”表示．
①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系．
（2）常見的配角技巧：
①；；
②；
③；
④；
⑤．
4、三角函數給值求角問題一般策略
實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，最后確定角．
遵照以下原則：
（1）已知正切函數值，選正切函數；
（2）已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是，選正、余弦皆可；
若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
【題型一 各公式的直接應用與變形】
應用公式化簡求值的策略
(1)首先要記住公式的結構特征和符號變化規律．
例如兩角差的余弦公式可簡化為“同名相乘，符號相反”．
(2)注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用．
(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應用．
【典例1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）利用和（差）角公式計算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
一、單選題
1．（24-25高一下·全國·隨堂練習）已知，則等于（ ）
A． B． C． D．7
2．（23-24高一下·陜西渭南·期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江蘇南京·期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·全國·課堂例題）化簡等于（ ）
A． B． C．3 D．1
二、解答題
5．（23-24高一·上?！ふn堂例題）利用二倍角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
6．（24-25高一下·全國·課堂例題）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【題型二 輔助角公式的應用】
【典例1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）把下列各式化成的形式：
(1)；
(2)．
一、單選題
1．（23-24高一下·北京東城·期中）函數的最小值（ ）
A．2 B． C． D．
2．（23-24高一下·廣東茂名·期中）函數的最小值和周期分別是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·全國·隨堂練習）化為形式，其中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·陜西銅川·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【題型三 三角函數式的化簡】
1．三角函數式的化簡要遵循“三看”原則
2．三角函數式化簡的方法
(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
(2)在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．
8．（2024·陜西·模擬預測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型四 給值求值問題】
給值求值問題的解題策略
已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值的解題關鍵：把“所求角”用“已知角”表示.
（1）當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式；
（2）當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和、差或倍數關系，然后應用誘導公式、和差公式、倍角公式求解.
【典例1】（23-24高一下·四川瀘州·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
一、單選題
1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·貴州黔東南·開學考試）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·四川達州·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山東淄博·二模）設，若，，則（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模擬預測）已知，均為銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·遼寧丹東·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【題型五 給值求角問題】
給值求角問題的解題策略
給值求角：實質上可轉化為“給值求值”，即通過求角的某一個三角函數值來求角．在選取函數時，遵循以下原則：
①已知正切函數值，選正切函數．
②已知正、余弦函數值，若角的范圍是，選正、余弦函數皆可，若角的范圍是(0，π)，選余弦函數，若角的范圍是，選正弦函數．
一、單選題
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知為鈍角，且，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）已知，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西九江·二模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）已知角，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·四川成都·階段練習）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
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2025年高考數學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）
第19講 三角恒等變換（精講）
①公式的直接應用與變形
②輔助角公式的應用
③三角函數式的化簡
④給值求值問題
⑤給值求角問題
一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
1、兩角和與差的正弦：
:
:
2、兩角和與差的余弦：
:
:
3、兩角和與差的正切：
:.
:.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角公式：
（1）二倍角的正弦（）：．
（2）二倍角的余弦（）：．
（3）二倍角的正切（）：．
2、二倍角公式的變形及應用
（1）倍角公式的逆用：
；；．
：；；．
（2）降冪（擴角）公式：；；
；．
三、積化和差與和差化積（不要求記憶）
1、積化和差
2、和差化積
四、輔助角公式
1、輔助角公式：（其中）
實質上是將同角的正弦值和余弦值與常數積的和變形為一個三角函數，當式子化簡為同角不同名三角函數相加減時，通常利用輔助角公式化為正弦型．
2、輔助角公式的推導
=
由于上式中和的平方和為1，
故令，
則==
其中角終邊所在的象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．
1、公式的變形：．
2、常見輔助角結論
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3、“給角求值”、“給值求值”問題一般策略
（1）關鍵是把“所求角”用“已知角”表示．
①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系．
（2）常見的配角技巧：
①；；
②；
③；
④；
⑤．
4、三角函數給值求角問題一般策略
實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，最后確定角．
遵照以下原則：
（1）已知正切函數值，選正切函數；
（2）已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是，選正、余弦皆可；
若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．
【題型一 各公式的直接應用與變形】
應用公式化簡求值的策略
(1)首先要記住公式的結構特征和符號變化規律．
例如兩角差的余弦公式可簡化為“同名相乘，符號相反”．
(2)注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用．
(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應用．
【典例1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）利用和（差）角公式計算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）根據正弦兩角差公式運算求解；
（2）根據余弦兩角和公式運算求解；
（3）根據正切兩角和公式運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：.
（2）由題意可得：.
（3）由題意可得：.
一、單選題
1．（24-25高一下·全國·隨堂練習）已知，則等于（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】利用兩角差的正切展開式計算可得答案.
【詳解】因為，
所以.
故選：B
2．（23-24高一下·陜西渭南·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用誘導公式與兩角差的余弦公式即可求解.
【詳解】
故選：C.
3．（23-24高一下·江蘇南京·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據誘導公式把題目中的角轉化為銳角，最后逆用兩角和的正弦公式進行求解即可.
【詳解】
故選：A
4．（24-25高一下·全國·課堂例題）化簡等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【分析】轉化為兩角差的正切公式，即可求解.
【詳解】原式．
故選：B
二、解答題
5．（23-24高一·上?！ふn堂例題）利用二倍角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）直接利用三角函數的二倍角公式求出結果．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）．
6．（24-25高一下·全國·課堂例題）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據兩角差的余弦公式結合誘導公式化簡最后根據特殊角求值.
【詳解】（1）原式;
（2）原式.
【題型二 輔助角公式的應用】
【典例1】（23-24高一·上海·課堂例題）把下列各式化成的形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)其中
【分析】（1）利用輔助角公式：，易將其化為正弦型函數的形式；
（2）利用輔助角公式：進行求解．
【詳解】（1）
；
（2）
（其中，）
一、單選題
1．（23-24高一下·北京東城·期中）函數的最小值（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用輔助角公式將已知函數化成一角一函數狀態即可求其最小值.
【詳解】因為，
所以當，，即，時，函數有最小值
故選：B.
2．（23-24高一下·廣東茂名·期中）函數的最小值和周期分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用輔助角公式，化簡函數，再求函數的最值和周期.
【詳解】，
，
所以函數的最小值為，周期為.
故選：B
3．（2024·全國·模擬預測）函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期.
【詳解】由余弦和角公式、倍角公式、降冪公式可得
，
所以的最小正周期為．
故選：C
4．（24-25高一下·全國·隨堂練習）化為形式，其中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根據條件，通過變形得到，再令，利用正弦的和角公式，即可求出結果.
【詳解】因為，
令，
則，其中，
故選：A.
5．（2024·陜西銅川·三模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據和差角公式化簡可得，即可根據二倍角公式求解.
【詳解】，
.
故選：A.
【題型三 三角函數式的化簡】
1．三角函數式的化簡要遵循“三看”原則
2．三角函數式化簡的方法
(1)弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．
(2)在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．
【典例1】（24-25高一下·全國·課堂例題）化簡與證明：
(1)化簡：；
(2)證明：．
【答案】(1)1
(2)證明見解析
【分析】（1）利用誘導公式、二倍角公式即可化簡求得.
（2）由正、余弦的二倍角公式化簡即可求證.
【詳解】（1）原式．
（2）證明 ： 左邊
＝右邊，
所以原等式成立．
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州黔東南·開學考試）等于（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用二倍角公式結合誘導公式計算即可
【詳解】原式．
故選：A
2．（23-24高一下·江蘇揚州·期中）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可.
【詳解】由題
，
所以.
故選：A
3．（2023·全國·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合同角三角函數的基本關系式、降次公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
，解得，負根舍去.
故選：B
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）已知，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，結合和角的正切公式求出，再利用二倍角的正余弦公式，結合齊次式法計算即得.
【詳解】由，得，解得，
所以.
故選：B
5．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用二倍角公式、商數關系結合已知求得，再由兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因為，
所以且，
即，且，解得或（舍去），
所以.
故選：B.
6．（2024·江蘇·三模）若，則（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根據余弦正弦的二倍角公式、同角的三角函數關系式化簡等式，最后利用正切的二倍角公式進行求解即可.
【詳解】，
故選：B
7．（23-24高三下·浙江金華·階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知結合兩角差的余弦公式可先求出，然后結合二倍角公式及和差化積公式進行化簡即可求解．
【詳解】由得，
又，所以，
所以
．
故選：C．
8．（2024·陜西·模擬預測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化簡得到，齊次化代入求值.
【詳解】，即，
所以，
因為，所以，
所以
故，解得或（舍去），
故選：C
【題型四 給值求值問題】
給值求值問題的解題策略
已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值的解題關鍵：把“所求角”用“已知角”表示.
（1）當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式；
（2）當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和、差或倍數關系，然后應用誘導公式、和差公式、倍角公式求解.
【典例1】（23-24高一下·四川瀘州·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式計算即得.
（2）由（1）結合同角公式，利用差角的余弦公式計算即得.
【詳解】（1）由，得，又，
則，，
所以
.
（2）由（1）知，而，則，
因此，
又，所以.
一、單選題
1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，故，可得，進而可求值.
【詳解】令，則，故，
．
故選：A.
2．（24-25高三上·貴州黔東南·開學考試）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式結合角的余弦值確定角的范圍計算即可.
【詳解】因為，，所以，
則，
則.
故選：A
3．（23-24高一下·四川達州·期中）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】確定角度范圍得到，變換，展開計算得到答案.
【詳解】因為，則，
可得，
所以
.
故選：A.
4．（2024·山東淄博·二模）設，若，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先對變形，進而表示出，再代值計算即得.
【詳解】由，得，
則，即，
因此，
而，所以.
故選：A
5．（2024·福建泉州·模擬預測）已知，均為銳角，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和對和進行轉化即可求解.
【詳解】由題意，
又，
故，
即
又均為銳角，所以，
故，
故選：D.
6．（2024·遼寧丹東·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：令，，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用兩角和的正弦公式將展開，可得，再利用輔助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.
【詳解】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：將
展開得，
整理得，
即，
所以．
故選：A
【題型五 給值求角問題】
給值求角問題的解題策略
給值求角：實質上可轉化為“給值求值”，即通過求角的某一個三角函數值來求角．在選取函數時，遵循以下原則：
①已知正切函數值，選正切函數．
②已知正、余弦函數值，若角的范圍是，選正、余弦函數皆可，若角的范圍是(0，π)，選余弦函數，若角的范圍是，選正弦函數．
一、單選題
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知為鈍角，且，，則（ ）
【答案】A
【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數的基本關系得到方程組，即可求出、，再求出即可.
【詳解】因為，，
所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故選：A
4．（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）已知角，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據平方關系和商數關系求出，再根據求出，注意求得的范圍，再根據結合兩角和的正切公式即可得解.
【詳解】角，由得，
則，又因為在上單調遞增，則，
而，
同理有，
所以，
且，得.
故選：A.
5．（23-24高一下·四川成都·階段練習）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用兩角和的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，所以，又，所以，則，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，則.
故選：B.
6．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數關系可得，利用兩角和與差的正弦公式化簡，可得，根據角的范圍，即可得到答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．故選：D
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