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第18講 同角三角函數的基本關系及誘導公式（精講）
①“知一求二”問題
②利用“弦切互化”求齊次式值
③sin α±cos α與sin αcos α關系的應用
④誘導公式化簡與求值
⑤誘導公式的應用
一、同角三角函數基本關系
(1)平方關系：．
(2)商數關系：；
二、三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
誘導公式口訣：奇變偶不變，符號看象限
(奇偶指的是中整數是奇數還是偶數，看象限時把看作銳角)
1．利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2．
【題型一 “知一求二”問題】
對sin α，cos α，tan α的知一求二問題
1.利用sin2α＋cos2α＝1可實現α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化．
2.由一個角的任意一個三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，因為利用”平方關系”公式，需求平方根，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.
【典例1】(2024·全國·高三專題練習)已知，且，則( )
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．(2024·全國·高三專題練習)已知，，則( )
A． B． C． D．
3．（2024·河南信陽·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型二 利用“弦切互化”求齊次式值】
若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，對于分母為1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
【典例1】（23-24高一·上海·課堂例題）（1）已知，且是第四象限的角．求及；
（2）已知，求及．
一、填空題
1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知，則
2．（23-24高三上·浙江溫州·期末）若，則 ．
3．（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）若，則 ．
4．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若，且，則 ．
5．（23-24高三上·河北保定·期末）若，則 .
【題型三 sinα±cosα與sinαcosα關系的應用】
對于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，則sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根據α的范圍選取正、負號)，體現了方程思想的應用．
【典例1】（23-24高一下·遼寧盤錦·階段練習）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
一、單選題
1．(2024·河北滄州·一模)已知，則( )
A． B． C． D．
2．（2024·廣西·二模）已知，則 .
3．(2024·廣東深圳·模擬預測)已知，那么( )
A． B． C． D．
二、填空題
4．（23-24高三上·廣東廣州·期中）若，，則 ．
5．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則 ．
【題型四 誘導公式化簡與求值】
1．利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟
2．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知.
(1)化簡；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
3．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數
(1)化簡；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【題型五 誘導公式的應用】
求解誘導公式與同角關系綜合問題的基本思路和化簡要求
基本思路 ①分析結構特點，選擇恰當公式； ②利用公式化成單角三角函數； ③整理得最簡形式
化簡要求 ①化簡過程是恒等變換； ②結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值
【典例1】（單選題）（23-24高一下·山東濰坊·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（2024·河北滄州·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山東泰安·模擬預測）已知且，則（ ）
A． B． C． D．3
4．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建南平·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
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第18講 同角三角函數的基本關系及誘導公式（精講）
①“知一求二”問題
②利用“弦切互化”求齊次式值
③sin α±cos α與sin αcos α關系的應用
④誘導公式化簡與求值
⑤誘導公式的應用
一、同角三角函數基本關系
(1)平方關系：．
(2)商數關系：；
二、三角函數誘導公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限
誘導公式口訣：奇變偶不變，符號看象限
(奇偶指的是中整數是奇數還是偶數，看象限時把看作銳角)
1．利用可以實現角的正弦、余弦的互化，利用可以實現角的弦切互化．
2．
【題型一 “知一求二”問題】
對sin α，cos α，tan α的知一求二問題
1.利用sin2α＋cos2α＝1可實現α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化．
2.由一個角的任意一個三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，因為利用”平方關系”公式，需求平方根，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.
【典例1】(2024·全國·高三專題練習)已知，且，則( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同角關系，結合角的范圍即可求解.
【詳解】由可知為第三象限的角，故,
由，又，解得 ，
故選：C
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據誘導公式和同角三角函數關系式平方關系計算得到答案；
【詳解】由誘導公式得，又由，可得．
故選：A.
2．(2024·全國·高三專題練習)已知，，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據同角三角函數基本關系式，即可求解.
【詳解】因為，，則.
故選：D
3．（2024·河南信陽·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，由二倍角公式化簡可得，再由同角的平方關系可得的值，代入計算，即可得到結果.
【詳解】，得，
則，，
故.
故選：D．
【題型二 利用“弦切互化”求齊次式值】
若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，對于分母為1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
【典例1】（23-24高一·上海·課堂例題）（1）已知，且是第四象限的角．求及；
（2）已知，求及．
【答案】答案見解析
【分析】（1）先根據象限角判斷，然后根據同角三角函數的關系求解；
（2）先根據判斷角所在象限，然后根據同角三角函數的關系求解
【詳解】（1）是第四象限的角，則，于是，則；
（2），則是第二或四象限的角，
當是第二象限角時，，由，解得；
當是第四象限角時，，由，解得；
一、填空題
1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知，則
【答案】/0.8
【分析】弦化切代值求解即可.
【詳解】由所以
故答案為：.
2．（23-24高三上·浙江溫州·期末）若，則 ．
【答案】
【分析】利用差角的正弦公式，結合齊次式法計算即得.
【詳解】當時，.
故答案為：
3．（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）若，則 ．
【答案】/
【分析】將分子1換成，轉化為齊次式（分子、分母同除以）求解即可.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
4．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若，且，則 ．
【答案】
【分析】結合三角函數的平方關系及二倍角公式化簡原式為齊次式即可求解.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：.
5．（23-24高三上·河北保定·期末）若，則 .
【答案】/
【分析】根據條件，利用“齊次式”即可解決問題.
【詳解】因為，
又.
故答案為：.
【題型三 sinα±cosα與sinαcosα關系的應用】
對于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，則sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根據α的范圍選取正、負號)，體現了方程思想的應用．
【典例1】（23-24高一下·遼寧盤錦·階段練習）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）兩邊平方，結合平方關系得由此即可進一步求解.
（2）首先得，進一步由即可求解.
（3）首先分別求得，然后由商數關系即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以
所以；
（2）因為，所以，所以，
又因為，
所以；
（3）由，可得．
所以．
一、單選題
1．(2024·河北滄州·一模)已知，則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據結合誘導公式求解即可.
【詳解】.
故選：A.
2．（2024·廣西·二模）已知，則 .
【答案】1或
【分析】由已知可得或，從而可求出的值.
【詳解】由可得，所以 或，
即 或，
當時，
當 時，，
故答案為：1或.
3．(2024·廣東深圳·模擬預測)已知，那么( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意，由誘導公式化簡，結合同角三角函數的關系代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，
所以，
則，
所以.
故選：B
二、填空題
4．（23-24高三上·廣東廣州·期中）若，，則 ．
【答案】/
【分析】對等式兩邊同時平方可得，可求得，進而求出，即可求出.
【詳解】由題意知，，等式兩邊同時平方，
得，即，
所以，
又，所以，所以，
由，解得，
所以.
故答案為：.
5．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則 ．
【答案】
【分析】根據題意，將原式化簡可得，再由同角三角函數的平方關系可得，即可得到結果.
【詳解】，所以，，所以，
所以．又，
所以， 所以．
故答案為：.
【題型四 誘導公式化簡與求值】
1．利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟
也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”．
2．明確三角函數式化簡的原則和方向
(1)切化弦，統一名．
(2)用誘導公式，統一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．
也就是：“統一名，統一角，同角名少為終了”．
【典例1】（23-24高一·上海·課堂例題）化簡：．
【答案】
【分析】根據誘導公式直接進行化簡即可.
【詳解】原式
一、解答題
1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導公式化簡，然后代值求解即可；
（2）利用二倍角公式和弦切互化公式求解即可.
【詳解】（1）原式
，
（2）由可知即；
.
2．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知.
(1)化簡；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)答案見詳解
【分析】（1）運用誘導公式和化簡即可；
（2），再運用化弦為切的思想即可求解.
（3）令，則，則有，用誘導公式可得，再用同角關系式聯立即可求解.
【詳解】（1）
（2）由（1）得，
所以.
（3）由（1）得，令，則，
則，
，又，
得，代入，計算得：，
當為第二象限角時，，即；
當為第四象限角時，，即.
3．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知函數
(1)化簡；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）由誘導公式化簡即可得出答案；
（2）利用同角三角函數的基本關系即可得出答案；
（3）由已知求出，結合的范圍，由誘導公式即可求出的值.
【詳解】（1）
（2）因為，所以為第三象限角或第四象限角.
當為第三象限角時，；
當為第四象限角村，.
（3）因為，所以.
一、單選題
1．（2024·河北滄州·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據結合誘導公式求解即可.
【詳解】.
故選：A.
2．（2024·福建廈門·三模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，再利用整體思想結合誘導公式與二倍角公式計算即可得.
【詳解】由，則，則，
，
則，由，故.
故選：C.
3．（2024·山東泰安·模擬預測）已知且，則（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由誘導公式可得，根據平方關系，再根據商數關系得.
【詳解】由誘導公式得，
所以，
又因為，
所以，
所以.
故選：B.
4．（2024·陜西安康·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據誘導公式及二倍角的余弦公式求解即可.
【詳解】因為，
所以.
故選：D.
5．（2024·福建南平·二模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函數的基本關系求出，再由二倍角的余弦公式和誘導公式化簡代入即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
解得：，
.
故選：A.
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