資源簡介

2025年高考數學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）
第17講 任意角、弧度制及三角函數的概念（精講）
①任意角和終邊相同的角
②扇形弧長和面積公式
③三角函數的定義
④判斷三角函數值的符號
一、三角函數基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；
②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是．
(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3．任意角的三角函數
(1)定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
(2)推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數的性質如下表：
三角函數 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
記憶口訣:三角函數值在各象限的符號規律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
【題型一 任意角和終邊相同的角】
1．象限角的兩種判斷方法
圖象法 在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角
轉化法 先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角
2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步驟
(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)兩邊同除以n或乘以n．
(3)對k進行討論，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
【典例1】（單選題）（2024·湖北·模擬預測）若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
一、單選題
1．（23-24高一上·河南洛陽·階段練習）與角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全國·專題練習）與終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（23-24高三上·上海靜安·期末）設是第一象限的角，則所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
5．（23-24高一上·四川內江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【題型二 扇形弧長和面積公式】
有關弧長及扇形面積問題的注意點
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決．
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【典例1】（單選題）（2024高三·全國·專題練習）如圖，曲線段是一段半徑為的圓弧，若圓弧的長度為，則A，B兩點間的距離為（ ）
A．R B．R C．R D．2R
一、單選題
1．（23-24高一上·山西·期末）已知扇形的圓心角為，半徑為4，則扇形的弧長為（ ）
A． B．2 C．4 D．8
2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面面積是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
3．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）若扇形的面積為6，半徑為，則該扇形的圓心角為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
(3)已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數值．
方法：先設出終邊上一點P(a，ka)，a≠0，求出點P到原點的距離(注意a的符號，對a分類討論)，再利用三角函數的定義求解．
【典例1】（單選題）（2024·寧夏石嘴山·三模）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C．－2 D．2
一、單選題
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東·模擬預測）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
3．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）已知角的終邊經過點，則的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
4．（23-24高二下·云南昆明·階段練習）已知角的終邊落在直線上，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京朝陽·二模）在平面直角坐標系中，銳角以為頂點，為始邊.將的終邊繞逆時針旋轉后與單位圓交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型四 判斷三角函數值的符號】
三角函數值的符號判斷
已知一角的三角函數值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標軸上的特殊情況．
【典例1】（單選題）（23-24高一下·江西新余·階段練習）已知點在第二象限，則角的終邊在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
一、單選題
1．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知角的終邊位于第二象限，則點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高三·全國·專題練習）若是第二象限角，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
2025年高考數學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）
第17講 任意角、弧度制及三角函數的概念（精講）
①任意角和終邊相同的角
②扇形弧長和面積公式
③三角函數的定義
④判斷三角函數值的符號
一、三角函數基本概念
1．角的概念
(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；
②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．
(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是．
(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
(4)象限角的集合表示方法：
2．弧度制
(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0．
(2)角度制和弧度制的互化：,,．
(3)扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3．任意角的三角函數
(1)定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
(2)推廣：三角函數坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數的性質如下表：
三角函數 定義域 第一象限符號 第二象限符號 第三象限符號 第四象限符號
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
記憶口訣:三角函數值在各象限的符號規律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
【題型一 任意角和終邊相同的角】
1．象限角的兩種判斷方法
圖象法 在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角
轉化法 先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角
2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步驟
(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)兩邊同除以n或乘以n．
(3)對k進行討論，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．
【典例1】（單選題）（2024·湖北·模擬預測）若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，分為第一象限角和第三象限角時，求出的取值集合再求并集.
【詳解】
根據題意，角的終邊在直線上，為第一象限角時，；
為第三象限角時，；
綜上，角的取值集合是.
故選：D.
一、單選題
1．（23-24高一上·河南洛陽·階段練習）與角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據條件，利用終邊相同的角的集合，即可求出結果.
【詳解】因為，所以與角終邊相同的角是，
故選：C.
2．（2023高三·全國·專題練習）與終邊相同的角的表達式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據角度的表示方法分析判斷AB，根據終邊相同的角的定義分析判斷CD.
【詳解】在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤．
與終邊相同的角可以寫成的形式，
時，，315°換算成弧度制為，所以C錯誤，D正確．
故選：D．
3．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】將，與的終邊相同．
【詳解】，
又終邊在第三象限，
所在的象限為第三象限，
故選：C．
4．（23-24高三上·上海靜安·期末）設是第一象限的角，則所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【答案】C
【分析】根據是第一象限的角，求出的范圍判斷即可得解.
【詳解】因為是第一象限的角，
所以，，
所以，
當時，，為第一象限角；
當時，，為第三象限角.
故選：C
5．（23-24高一上·四川內江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先通過條件確定的范圍，再求出的范圍，進而可得角所在象限.
【詳解】因為，，
所以為第二象限角，即，
所以，
則的終邊所在象限為所在象限，
即的終邊在第一、二、四象限.
故選：D.
【題型二 扇形弧長和面積公式】
有關弧長及扇形面積問題的注意點
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決．
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【典例1】（單選題）（2024高三·全國·專題練習）如圖，曲線段是一段半徑為的圓弧，若圓弧的長度為，則A，B兩點間的距離為（ ）
A．R B．R C．R D．2R
【答案】C
【分析】先由弧長公式求出圓心角，再由三角形中計算得出；
【詳解】設所對的圓心角為.
則由題意，得.所以，
所以，
故選:C.
一、單選題
1．（23-24高一上·山西·期末）已知扇形的圓心角為，半徑為4，則扇形的弧長為（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】根據扇形弧長公式計算可得.
【詳解】因為扇形的圓心角為，半徑為4，
所以由弧長公式得扇形的弧長為．
故選：D
2．（2024高三·全國·專題練習）已知圓錐的母線長為2，其側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面面積是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【分析】根據側面展開的弧長與圓錐的底面周長相等，求得底面半徑，進而即可得解.
【詳解】設圓錐的底面半徑為r，
則根據弧長公式＝π，解得r＝，
所以該圓錐的底面面積為π×()2＝3π．
故選：C．
3．（23-24高一下·河北張家口·階段練習）若扇形的面積為6，半徑為，則該扇形的圓心角為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用扇形面積公式和弧長公式即可求.
【詳解】由題意，設扇形的弧長為，半徑為，圓心角為，
所以，所以，
所以該扇形的圓心角為.
故選：B
4．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.
【詳解】顯然為等腰三角形，，則，，
即，于是，
所以璜身的面積近似為.
故選：C
5．（2024·陜西安康·模擬預測）《九章算術》中《方田》一章給出了計算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計算弧田面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據半角公式求出，再分別求出弦長和矢長，再根據弧田的面積公式即可得解.
【詳解】由，可得，
故弦長為，矢長為，
所以所求弧田面積為.
故選：A.
【題型三 三角函數的定義】
三角函數的定義中常見的三種題型及解決方法
(1)已知角α的終邊上的一點P的坐標，求角α的三角函數值．
方法：先求出點P到原點的距離，再利用三角函數的定義求解．
(2)已知角α的一個三角函數值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求與角α有關的三角函數值．
方法：先求出點P到原點的距離(帶參數)，根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題．
(3)已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數值．
方法：先設出終邊上一點P(a，ka)，a≠0，求出點P到原點的距離(注意a的符號，對a分類討論)，再利用三角函數的定義求解．
【典例1】（單選題）（2024·寧夏石嘴山·三模）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C．－2 D．2
【答案】A
【分析】由題意可知：，根據倍角公式結合齊次化問題分析求解.
【詳解】由題意可知：，
所以.
故選：A.
一、單選題
1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角函數的定義求出角的正余弦值，再利用差角的正弦公式計算即得.
【詳解】由題意，.
則.
故選：D.
2．（2024·山東·模擬預測）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函數的定義即可求得，從而得到結果.
【詳解】由題意可得，則，所以，
所以.
故選：B
3．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）已知角的終邊經過點，則的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】由定義可得，計算可求.
【詳解】由定義，，
當，合題意；
當，化簡得，由于橫坐標，角的終邊在一、四象限，
所以．
故選：D．
三角函數值的符號判斷
已知一角的三角函數值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標軸上的特殊情況．
【典例1】（單選題）（23-24高一下·江西新余·階段練習）已知點在第二象限，則角的終邊在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】由點M所在的象限，確定正切和余弦的符號，得角終邊所在的象限.
【詳解】因為點在第二象限，所以，，
所以的終邊在第三象限.
故選：C.
一、單選題
1．（2023高三上·江蘇徐州·學業考試）已知角的終邊位于第二象限，則點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】通過判斷的符號來確定點所在象限.
【詳解】由于的終邊位于第二象限，
所以，
所以位于第二象限.
故選：B
2．（2024高三·全國·專題練習）若是第二象限角，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據角所在象限，利用誘導公式判斷三角函數符號，即可判斷選項.
【詳解】若α是第二象限角，則，故A錯誤；
為第一、三象限角，則，故B正確；
，故C錯誤；
，故D錯誤.
故選：B.
3．（23-24高三上·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由充分條件和必要條件定義，結合三角函數的定義判斷即可.
【詳解】充分性：若是第二象限角，則，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即與異號，則為第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故選：A
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑