資源簡介

第04講 直線的兩點式方程
課程標準 學習目標
①理解與掌握兩點確定一條直線的公 理。 ②掌握兩點式方程的公式及其條件，并能應用公式求直線的方。 ③理解與掌握直線的截距式方程的公式 及其條件，并能應用公式求直線的方程。 通過本節課的學習，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個幾何要素，會求直線方程，并能解決與之有關的問題.
知識點01：直線的兩點式方程
已知條件（使用前提） 直線上的兩點，（，）（已知兩點）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在且不為0； 當直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程
1.當過兩點,的直線斜率不存在()或斜率為0()時,不能用兩點式方程表示.
2.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應關系,即,是同一個點的坐標,是另一個點的坐標.
【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）直線l過點，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，則線l的方程為，整理得，
所以直線l的方程為.
故選：D.
知識點02：直線的截距式方程
已知條件（使用前提） 直線在軸上的截距為，在軸上的截距為
圖示
點斜式方程形式
適用條件 ，
直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.
【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業）過兩點的直線方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據直線的截距式可知直線方程為：
故選：C
知識點03：中點坐標公式
若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為，則．此公式為線段的中點坐標公式．
【即學即練3】（2023·全國·高二專題練習）的三個頂點是，，，求：
邊BC上的中線所在直線的方程；
【答案】（1）
【詳解】（1）BC的中點坐標為
則邊BC上的中線所在直線的方程為；
題型01 直線的兩點式和截距式方程辨析
【典例1】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．點斜式可以表示任何直線
B．過、兩點的直線方程為
C．直線與直線相互垂直．
D．直線在軸上的截距為
【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是
B．若三條直線不能構成三角形，則實數的取值集合為
C．經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或
D．過兩點的直線方程為
【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．不能表示過點且斜率為的直線方程
B．在軸，軸上的截距分別為，的直線方程為
C．直線與軸的交點到原點的距離為
D．過兩點，的直線方程為
【變式2】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．過定點的直線都可用方程表示
B．過定點的直線都可用方程表示
C．過任意兩個點，的直線都可用方程
表示
D．不過原點的直線都可用方程表示
題型02 直線的兩點式方程（已知兩點求直線，建議轉化為點斜式求解）
【典例1】（2023秋·浙江溫州·高二統考期末）過兩點，的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）過兩點和的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知，，，在中，
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·高三課時練習）經過點和點的直線方程是______.
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點)，，則過點且過線段的中點的直線方程為______
題型03直線的截距式方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習）過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． B． C． D．或
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）過點(2，1)且在軸上截距與在軸上截距之和為6的直線方程為______________.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）求過點，且在軸上的截距是軸上的截距的2倍的直線的方程．
【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學校校考期末）過點在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式3】（2023·上海·高二專題練習）求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）根據下列條件寫出直線方程，并化為一般式：
在軸上的截距分別為，.
題型04直線與坐標軸圍成圖形面積（定值）問題
【典例1】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學校考期中）過點作直線，與兩坐標軸相交所得三角形面積為1，則直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）若直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線的方程為________.
【典例3】（2023·高三課時練習）已知點關于軸的對稱點為，關于原點的對稱點為.
(1)求中過，邊上中點的直線方程；
(2)求的面積.
【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如圖所示，已知是以為底邊的等腰三角形，點，，點在直線：上．
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）設直線與軸交于點，求的面積．
【變式1】（2023·高二課時練習）若直線過點且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線的斜率為－1，且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．
【變式3】（2023春·高二單元測試）直線過點，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.
【變式4】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）設直線的方程為.
（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）若與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，求的值.
題型05直線與坐標軸圍成圖形面積（最值）問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系內，經過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點，則面積最小值為______．
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過點，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點，為原點，當面積最小時，求直線的方程．
【典例4】（2023·高二課時練習）已知一條動直線，
(1)求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標；
(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，是否存在直線同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知直線：
（1）若直線的斜率是2，求的值；
（2）當直線與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積最大時，求此直線的方程．
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線經過點，求這條直線的方程．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學校考期末）過點和點的直線在上的截距為（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·高二課時練習）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
3．（2022·高二課時練習）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·全國·高二專題練習）已知直線l經過、兩點，點在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5．（2022·全國·高二專題練習）經過兩點、的直線方程都可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·高二校考課時練習）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為( )
A． B．
C． D．
7．（2022·全國·高二專題練習）經過點A（3，4）且在兩坐標軸上的截距絕對值相等的直線方程為（ ）
A．或 B．或或
C．或 D．或或
二、多選題
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中學校考期末）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·海南·高二統考學業考試）若直線經過點，且與坐標軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023秋·高二課時練習）已知直線經過點，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為__________．
11．（2023秋·湖北孝感·高二統考期末）已知直線l的斜率為，且和坐標軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為___________.
四、解答題
12．（2023·全國·高二專題練習）已知△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：
（1）邊AC所在直線的方程；
（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；
（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.
13．（2023秋·高二課時練習）已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標軸圍成的三角形的面積為6，周長為12，求直線l的方程．
B能力提升
1．（2023·上海·高二專題練習）過點作直線分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當△AOB面積最小時，求直線的方程；
(2)當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線的方程.
2．（2023·江蘇·高二假期作業）直線l過點P(，2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當△AOB的周長為12時，求直線l的方程；
(2)當△AOB的面積為6時，求直線l的方程.
第04講 直線的兩點式方程
課程標準 學習目標
①理解與掌握兩點確定一條直線的公 理。 ②掌握兩點式方程的公式及其條件，并能應用公式求直線的方。 ③理解與掌握直線的截距式方程的公式 及其條件，并能應用公式求直線的方程。 通過本節課的學習，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個幾何要素，會求直線方程，并能解決與之有關的問題.
知識點01：直線的兩點式方程
已知條件（使用前提） 直線上的兩點，（，）（已知兩點）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在且不為0； 當直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程
1.當過兩點,的直線斜率不存在()或斜率為0()時,不能用兩點式方程表示.
2.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標的對應關系,即,是同一個點的坐標,是另一個點的坐標.
【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）直線l過點，則直線l的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，則線l的方程為，整理得，
所以直線l的方程為.
故選：D.
知識點02：直線的截距式方程
已知條件（使用前提） 直線在軸上的截距為，在軸上的截距為
圖示
點斜式方程形式
適用條件 ，
直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.
【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業）過兩點的直線方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據直線的截距式可知直線方程為：
故選：C
知識點03：中點坐標公式
若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為，則．此公式為線段的中點坐標公式．
【即學即練3】（2023·全國·高二專題練習）的三個頂點是，，，求：
邊BC上的中線所在直線的方程；
【答案】（1）
【詳解】（1）BC的中點坐標為
則邊BC上的中線所在直線的方程為；
題型01 直線的兩點式和截距式方程辨析
【典例1】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．點斜式可以表示任何直線
B．過、兩點的直線方程為
C．直線與直線相互垂直．
D．直線在軸上的截距為
【答案】CD
【詳解】對于A選項，點斜式不表示與軸垂直的直線，A錯；
對于B選項，過、兩點且斜率不為零的直線方程為，B錯；
對于C選項，直線的斜率為，直線的斜率為，
所以，，故直線與直線相互垂直，C對；
對于D選項，直線在軸上的截距為，D對.
故選：CD.
【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是
B．若三條直線不能構成三角形，則實數的取值集合為
C．經過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或
D．過兩點的直線方程為
【答案】AD
【詳解】A選項：直線與軸和軸的交點分別為和，三角形面積為，A選項正確；
B選項：三條直線不能構成三角形，可得或或直線過點，解得或或，B選項錯誤；
C選項：當直線經過坐標原點時，，當直線不經過坐標原點時，設直線方程為，代入點，即，解得，故直線為，C選項錯誤；
D選項：由兩點式方程可直接判斷D選項正確；
故選：AD.
【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．不能表示過點且斜率為的直線方程
B．在軸，軸上的截距分別為，的直線方程為
C．直線與軸的交點到原點的距離為
D．過兩點，的直線方程為
【答案】AD
【詳解】＝k表示過點M（x1，y1）且斜率為k的直線去掉點，A正確；
在x軸，y軸上的截距分別為a，b，只有時，直線方程為，B錯誤；
直線y＝kx+b與y軸的交點坐標是，交點到原點的距離為，C錯誤；
過兩點A（x1，y1）B（x2，y2）的直線
當時，直線方程為，變形為，
當時，直線方程為，也適合方程，
所以D正確．
故選：AD．
【變式2】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．過定點的直線都可用方程表示
B．過定點的直線都可用方程表示
C．過任意兩個點，的直線都可用方程
表示
D．不過原點的直線都可用方程表示
【答案】ABD
【詳解】因為直線與軸垂直時不能用點斜式與斜截式表示，所以選項AB不正確；
因為直線與坐標軸垂直時不能與截距式表示，所以選項D不正確；
C選項，過任意兩個點，的直線，斜率存在時，方程為，可化為；斜率不存在時，，直線方程為也滿足，故C正確；
故選：ABD.
題型02 直線的兩點式方程（已知兩點求直線，建議轉化為點斜式求解）
【典例1】（2023秋·浙江溫州·高二統考期末）過兩點，的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】過兩點，的直線的為，
令，解得：，
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）過兩點和的直線在軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題可知直線方程為：，即，
令x=0，則，故直線在y軸上的截距為.
故選：C.
【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知，，，在中，
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程．
【答案】(1)2x＋5y＋10＝0
(2)10x＋11y＋8＝0
【詳解】（1）BC邊過兩點B(5，－4)，C(0，－2)，
由兩點式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC邊所在的直線方程為2x＋5y＋10＝0．
（2）設BC的中點為M(a，b)，
則a＝＝，b＝＝－3，所以，
又BC邊的中線過點A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過點，，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由直線的兩點式方程可得，
直線l的方程為，即．
故選：C．
【變式2】（2023·高三課時練習）經過點和點的直線方程是______.
【答案】
【詳解】經過點和點的直線方程是：，
整理得.
故答案為：
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點)，，則過點且過線段的中點的直線方程為______
【答案】
【詳解】A、B中點坐標為，與點C橫縱坐標均不相同，代入兩點式得：，
化簡得：.
題型03直線的截距式方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習）過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【詳解】設直線在x，y軸上的截距分別為，則，
若，即直線過原點，設直線為，
代入，即，解得，
故直線方程為；
若，設直線為，
代入，即，解得，
故直線方程為，即；
綜上所述：直線方程為或.
故選：D.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）過點(2，1)且在軸上截距與在軸上截距之和為6的直線方程為______________.
【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【詳解】由題意可直線的斜率存在且不為0，設直線方程為，
則有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
故答案為：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）求過點，且在軸上的截距是軸上的截距的2倍的直線的方程．
【答案】或．
【詳解】①當直線在兩坐標軸上的截距均為0時，因為直線過點，
所以直線的方程為；
②當直線在兩坐標軸上的截距均不為0時，設直線在軸上的截距為，
則在軸上的截距為，則直線的方程為，
又直線過點，
∴，
解得，
∴直線的方程為．
綜上;直線的方程為或．
【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學校校考期末）過點在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【詳解】當截距時，設直線方程為，
將，代入得，∴方程為
當截距時，過原點和點的直線方程為
又且在兩坐標軸上的截距相等，
∴過點A且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為和
故選：D.
【變式3】（2023·上海·高二專題練習）求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．
【答案】或
【詳解】當直線經過原點時，直線的方程為，化為，
當直線不經過原點時，設直線的截距式為，
把點代入可得：，解得，
所以直線的方程為：，
綜上所述，所求直線方程為或.
故答案為：或.
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）根據下列條件寫出直線方程，并化為一般式：
在軸上的截距分別為，.
【答案】.
【詳解】由直線的截距式方程可知，所求直線方程，化為一般式方程為.
題型04直線與坐標軸圍成圖形面積（定值）問題
【典例1】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學校考期中）過點作直線，與兩坐標軸相交所得三角形面積為1，則直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】B
【詳解】由題意可知，直線的斜率存在，則設直線的方程為，
令，解得；令，解得.
，
化為，即①，②，
由于方程①，方程②無解，可得兩個方程共有2個不同的解.
因此直線共有2條.
故選：B.
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）若直線與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線的方程為________.
【答案】或
【詳解】解：因為直線l與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，
所以直線l在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為0.
設直線方程為，則.
因為，即，所以，
所以時，，當時，，
所以直線方程為或.
故答案為: 或.
【典例3】（2023·高三課時練習）已知點關于軸的對稱點為，關于原點的對稱點為.
(1)求中過，邊上中點的直線方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0
(2)10
【詳解】（1）∵點A（5，1）關于x軸的對稱點為B（x1，y1），∴B（5，﹣1），
又∵點A（5，1）關于原點的對稱點為C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），
∴AB的中點坐標是（5，0），BC的中點坐標是（0，﹣1）．
過（5，0），（0，﹣1）的直線方程是，
整理得x﹣5y﹣5＝0．
（2）由題意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面積．
【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如圖所示，已知是以為底邊的等腰三角形，點，，點在直線：上．
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）設直線與軸交于點，求的面積．
【答案】（1）；（2）1．
【詳解】（1）因為是以AB為底邊的等腰三角形，
所以E為AB的中點，所以，
因為，所以
所以直線CE：，即
所以AB邊上的高CE所在直線的方程為；
（2），解得，所以，
所以直線AC：，即，
又因為，所以點D到直線AC的距離，
又，所以.
【變式1】（2023·高二課時練習）若直線過點且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.
【答案】
【詳解】解：依題意直線在坐標軸上的截距均不為，設直線的截距式為，
∵直線經過點，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為，
∴，解得，或，或，
所以直線的條數為條．
故答案為：
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線的斜率為－1，且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．
【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．
【詳解】解：設直線l的方程為y＝－x＋b，則它與兩個坐標軸的交點為A(b，0)和B(0，b)，所以圍成的兩個直角邊長都為|b|，
故其面積為，
由，解得b＝±1，
故所求直線的方程為y＝－x＋1或y＝－x－1．
【變式3】（2023春·高二單元測試）直線過點，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.
【答案】或
【詳解】解：由題意知，直線的斜率存在且不為0.設直線.
設此直線與軸、軸的交點分別為，則點的坐標分別為
因此面積為，
即.
若，得，無解；
若，得.
解方程，得或.
所以，直線，即；
或直線，即.
【變式4】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）設直線的方程為.
（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）若與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，求的值.
【答案】（1）或（2）
【詳解】（1）由題意知，
當直線過原點時，該直線在兩條坐標軸上的截距都為0，
此時，直線的方程為；
當直線不過原點時，由截距相等，得，則，
直線的方程為，
綜上所述，所求直線的方程為或.
（2）由題意知，直線在軸，軸上的截距分別為、，
，
解得.
題型05直線與坐標軸圍成圖形面積（最值）問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系內，經過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點，則面積最小值為______．
【答案】12
【詳解】設直線的方程，由過點可得，則有；；；
解得：，當且僅當：時，，時取等號；
所以
故答案為：12
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知直線的方程為：．
(1)求證：不論為何值，直線必過定點；
(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：原方程整理得：．
由，可得，
不論為何值，直線必過定點
（2）解：設直線的方程為．
令令．
．
當且僅當，即時，三角形面積最小．
則的方程為．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過點，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點，為原點，當面積最小時，求直線的方程．
【答案】x＋2y－4＝0
【詳解】方法一：由題意可得直線的斜率存在，設直線的方程為，
則，
所以
，
當且僅當，即時，取等號，
故直線的方程為，
即.
方法二：設直線：，
因為直線l過點，
所以，
則，所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為，
此時，故直線的方程為，
即.
【典例4】（2023·高二課時練習）已知一條動直線，
(1)求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標；
(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，是否存在直線同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析，定點；
(2)存在，且直線方程為.
【詳解】（1）證明：將直線方程變形為，
由，可得，
因此，直線恒過定點.
（2）解：設點A的坐標為，若，則，
則、，直線的斜率為，
故直線的方程為，即，
此時直線與軸的交點為，則，，，
此時的周長為.
所以，存在直線滿足題意.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）已知直線：
（1）若直線的斜率是2，求的值；
（2）當直線與兩坐標軸的正半軸圍成三角形的面積最大時，求此直線的方程．
【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【詳解】解：(1)直線l過點(m，0)，(0，4－m)，
則，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
則.
當m＝2時，S有最大值，
故直線l的方程為x＋y－2＝0.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線方程為．
(1)若直線的傾斜角為，求的值；
(2)若直線分別與軸、軸的負半軸交于、兩點，為坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程．
【答案】(1)；
(2)面積的最小值為，此時直線的方程為.
【詳解】（1）解：由題意可得.
（2）解：在直線的方程中，令可得，即點，
令可得，即點，
由已知可得，解得，
所以，
，
當且僅當時，等號成立，此時直線的方程為，即.
【變式3】（2023·高二課時練習）已知直線過點．
(1)若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；
(2)若與軸正半軸的交點為，與軸正半軸的交點為，求（為坐標原點）面積的最小值．
【答案】(1)或
(2)12
【詳解】（1）當直線經過原點時，直線的斜率為，所以直線的方程為，即；
當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點可得，
所以所求直線方程為，即．
綜上可得，所求直線方程為：或．
（2）依題意，設點，（，），直線的方程為，
又點在直線上，于是有，
利用基本不等式，即，當且僅當，時等號成立，
，即的面積的最小值為12．
題型06重點方法（分類討論）
【典例1】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統考期末）已知直線：在軸和軸上的截距相等，則的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】AD
【詳解】當時，直線為不符合題意，所以，
若直線過原點，則，解得；
若直線不過原點，令可得；令可得；
所以在軸上的截距為，在軸上的截距為，
所以，可得，
綜上所述：的值可能是1或.
故選：AD.
【典例2】（2022秋·廣東深圳·高二校考期中）已知的頂點，，．
(1)求邊上的中線所在直線的方程；
(2)求經過點，且在軸上的截距和軸上的截距相等的直線的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【詳解】（1）線段的中點為，
則中線所在直線方程為：，即.
（2）設兩坐標軸上的截距為，
若，則直線經過原點，斜率，
直線方程為，即；
若，則設直線方程為，即，
把點代入得，即，直線方程為；
綜上，所求直線方程為或．
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線經過點，求這條直線的方程．
【答案】當時，直線方程為；當時，直線方程為．
【詳解】由直線經過點，可知該直線的斜率不可能為零，但有可能不存在．
①當直線斜率不存在，即時，直線方程為；
②當直線斜率存在，即時，利用兩點式，可得直線方程為，即．
綜上所述，當時，直線方程為；當時，直線方程為．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學校考期末）過點和點的直線在上的截距為（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】過點和點的直線方程為即，
故直線在上的截距為1，
故選：A
2．（2023·高二課時練習）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
【詳解】當時，直線，此時不符合題意，應舍去；
當時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；
當且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.
由，解得：.
故的值是2或1.
故選：D
3．（2022·高二課時練習）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由截距式方程可得，所求直線方程為．
故選：A．
4．（2022·全國·高二專題練習）已知直線l經過、兩點，點在直線l上，則m的值為（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【詳解】由題意知不與軸平行，故由直線的兩點式方程可得，解得：，
故選：C
5．（2022·全國·高二專題練習）經過兩點、的直線方程都可以表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】當經過、的直線不與軸平行時，所有直線均可以用，
由于可能相等，所以只有選項C滿足包括與軸平行的直線.
故選:C
6．（2022秋·高二校考課時練習）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】點M的坐標為(2,1)，由直線的兩點式方程得，即.
故選：D
7．（2022·全國·高二專題練習）經過點A（3，4）且在兩坐標軸上的截距絕對值相等的直線方程為（ ）
A．或 B．或或
C．或 D．或或
【答案】B
【詳解】①當直線經過原點時，斜率，所以直線方程為：，即；
②當直線在兩坐標軸上的截距相等時，設直線方程為，將點代入，的，解得，所以直線方程為：，即；
③當直線在兩坐標軸上的截距互為相反數時，設直線方程為，將點代入，的，解得，所以直線方程為：，即；
綜上所述，直線方程為：或或.
故選：B.
二、多選題
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中學校考期末）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】當直線過坐標原點時，直線方程為；
當直線不過坐標原點時，設直線方程為，代入點可得，
即.
故選：AC.
9．（2023春·海南·高二統考學業考試）若直線經過點，且與坐標軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（ ）
A． B．
試求：
（1）邊AC所在直線的方程；
（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；
（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【詳解】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故邊AC所在直線的方程為：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC邊上的中點D（0，2），
故BC邊上的中線AD所在直線的方程為，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC邊斜率k，
故BC邊上的高AE的斜率k＝2，
故BC邊上的高AE所在直線的方程為y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0.
13．（2023秋·高二課時練習）已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標軸圍成的三角形的面積為6，周長為12，求直線l的方程．
【答案】直線l的方程為或或或．
【詳解】設直線l在x，y的截距分別為，
由題意可得，解得或，
又因為直線l的傾斜角為銳角，則直線l的斜率，即，
可得或或或，
所以直線l的方程為或或或
B能力提升
1．（2023·上海·高二專題練習）過點作直線分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當△AOB面積最小時，求直線的方程；
(2)當|OA|＋|OB|取最小值時，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）
【詳解】由題意設，，其中，為正數，可設直線的截距式為，直線過點，，
（1）由基本不等式可得，解得：，當且僅當，即且時，上式取等號，
面積，則當，時，面積最小，此時直線的方程為，即，
（2）由于，當且僅當，即且時取等號，
所以當，時，的值最小，此時直線的方程為，即．
2．（2023·江蘇·高二假期作業）直線l過點P(，2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當△AOB的周長為12時，求直線l的方程；
(2)當△AOB的面積為6時，求直線l的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2) 3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
【詳解】(1)設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，
因為直線l過點P(，2)，
所以＋＝1，①
又a＋b＋＝12.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，
由題意知，ab＝12，＋＝1，消去b，
得a2－6a＋8＝0，
解得或
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑