資源簡介

第03講 2.2.1直線的點斜式方程和斜截式方程
課程標準 學習目標
①掌握確定直線的幾何要素。 ②掌握直線 的點斜式與斜截式方程的確定。 ③解決與直線的點斜式、斜截式有關的 問題.。 通過本節課的學習，要求按題給的條件利用點斜式、斜截式方程的要求求解直線的方程，并能解決與之有關的直線方程的問題.
知識點01：直線的點斜式方程
已知條件（使用前提） 直線過點和斜率（已知一點+斜率）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.點斜式方程中的點只要是這條直線上的點,哪一個都可以.
2.當直線與軸平行或重合時,方程可簡寫為.特別地,軸的方程是;當直線與軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成.特別地,軸的方程是.
【即學即練1】（2023·高二課時練習）已知直線l經過點，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.
【答案】，.
【詳解】依題意，直線的斜率，
直線的方程為，即，當時，，
所以直線的方程為，直線l在y軸上的截距為.
知識點02：直線的斜截式方程
已知條件（使用前提） 直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.
2.截距是一個實數,它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數、負數和0.當直線過原點時,它在軸上的截距和在軸上的截距都為0.
3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在軸上的截距,如直線的斜率,在軸上的截距為.
【即學即練2】（2023秋·高二課時練習）傾斜角為，且過點的直線斜截式方程為__________．
【答案】
【詳解】因為直線的傾斜角為，則直線的斜率，
所以直線的方程，即.
故答案為：.
題型01直線的點斜式方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習）點在直線上的射影為，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·高二課時練習）過點且與過點和的直線平行的直線方程為__________．
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）已知的頂點分別為，求：
(1)直線的方程
(2)邊上的高所在直線的方程
【變式1】（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學校考期中）過兩點的直線方程為( )
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·廣西南寧·高二校聯考開學考試）直線過點且與直線垂直，則的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業）過點，且斜率的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型02直線的斜截式方程
【典例1】（2023·高二課時練習）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為6，則值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023秋·河南周口·高二周口恒大中學校考期末）已知直線與直線互相垂直，直線與直線在軸上的截距相等，則直線的方程為_________.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若直線不經過第二象限，則實數的取值范圍為______．
題型03直線的圖象
【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二校考期末）直線經過第一、二、四象限，則、、應滿足（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·高二課時練習）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）若直線的方程中，，，則此直線必不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）方程表示的直線可能是
A． B． C．D．
【變式2】（2023秋·廣東惠州·高二統考期末）已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型04直線的位置關系的應用
【典例1】（2023春·上海寶山·高二統考期末）直線過點，且與向量垂直，則直線的方程為______.
【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二校考開學考試）菱形的頂點，的坐標分別為，，邊所在直線過點．求：
(1)邊所在直線的方程；
(2)對角線所在直線的方程．
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高三校考學業考試）已知四邊形為平行四邊形，，，.
(1)求點的坐標；
(2)若點滿足，求直線的方程.
【變式1】（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知，則線段的垂直平分線的一般方程為______.
【變式2】（2023·高二課時練習）已知直線經過點，斜率為，求直線的點法向式、點斜式和一般式方程．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習）過點且傾斜角為150°的直線l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·貴州·高二遵義一中校聯考階段練習）經過點，且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高級中學校考期末）經過點且斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州五十九中校考開學考試）若直線經過第一、二、三象限，則有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全國·高二專題練習）直線經過第二、三、四象限，則斜率和在軸上的截距滿足的條件為（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．（2023·吉林·統考模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·廣東東莞·高二校考開學考試）與向量平行，且經過點的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全國·高二假期作業）下列四個結論：
①方程與方程可表示同一條直線；
②直線l過點，傾斜角為,則其方程為；
③直線l過點，斜率為0,則其方程為；
④所有直線都有點斜式和斜截式方程.
其中正確結論的個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
9．（2023·江蘇·高二假期作業）(多選)下列四個選項中正確的是（ ）
A．方程與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線
B．直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1
C．直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y1
D．所有的直線都有點斜式和斜截式方程
10．（2022秋·高二課時練習）一次函數，則下列結論正確的有（ ）
A．當時，函數圖像經過一、二、三象限
B．當時，函數圖像經過一、三、四象限
C．時，函數圖像必經過一、三象限
D．時，函數在實數上恒為增函數
三、填空題
11．（2022秋·高二校考課時練習）有一個裝有進出水管的容器，每單位時間進出的水量是一定的，設從某時刻開始10分鐘內只進水，不出水，在隨后的30分鐘內既進水又出水，得到時間x(分)與水量y(升)之間的關系如圖所示，則y與x的函數關系式為_______

12．（2022秋·新疆阿克蘇·高二校考階段練習）過點，且斜率為的直線的斜截式方程為________．
2．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中校考階段練習）直線，均過點P（1，2），直線過點A（-1，3），且.
(1)求直線，的方程
(2)若與x軸的交點Q，點M（a，b）在線段PQ上運動，求的取值范圍
第03講 2.2.1直線的點斜式方程和斜截式方程
課程標準 學習目標
①掌握確定直線的幾何要素。 ②掌握直線 的點斜式與斜截式方程的確定。 ③解決與直線的點斜式、斜截式有關的 問題.。 通過本節課的學習，要求按題給的條件利用點斜式、斜截式方程的要求求解直線的方程，并能解決與之有關的直線方程的問題.
知識點01：直線的點斜式方程
已知條件（使用前提） 直線過點和斜率（已知一點+斜率）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.點斜式方程中的點只要是這條直線上的點,哪一個都可以.
2.當直線與軸平行或重合時,方程可簡寫為.特別地,軸的方程是;當直線與軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成.特別地,軸的方程是.
【即學即練1】（2023·高二課時練習）已知直線l經過點，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.
【答案】，.
【詳解】依題意，直線的斜率，
直線的方程為，即，當時，，
所以直線的方程為，直線l在y軸上的截距為.
知識點02：直線的斜截式方程
已知條件（使用前提） 直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）
圖示
點斜式方程形式
適用條件 斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）
1.直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.
2.截距是一個實數,它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數、負數和0.當直線過原點時,它在軸上的截距和在軸上的截距都為0.
3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在軸上的截距,如直線的斜率,在軸上的截距為.
【即學即練2】（2023秋·高二課時練習）傾斜角為，且過點的直線斜截式方程為__________．
【答案】
【詳解】因為直線的傾斜角為，則直線的斜率，
所以直線的方程，即.
故答案為：.
題型01直線的點斜式方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習）點在直線上的射影為，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，，，
由點斜式直線方程得直線l的方程為：，即；
故選：C.
【典例2】（2023秋·高二課時練習）過點且與過點和的直線平行的直線方程為__________．
【答案】
【詳解】，
由點斜式得，即.
故答案為：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）已知的頂點分別為，求：
(1)直線的方程
(2)邊上的高所在直線的方程
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，
由點斜式方程可得，
化為一般式可得
（2）由（1）可知，
故AB邊上的高線所在直線的斜率為，
又AB邊上的高線所在直線過點，
所以方程為，
化為一般式可得.

【變式1】（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學校考期中）過兩點的直線方程為( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由兩點，可得過兩點的直線的斜率為，
又由直線的點斜式方程，可得，即.
故選：B.
【變式2】（2023春·廣西南寧·高二校聯考開學考試）直線過點且與直線垂直，則的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故選：C.
【變式3】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業）過點，且斜率的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【詳解】根據直線方程的點斜式可得，，即.
故選：CD.
題型02直線的斜截式方程
【典例1】（2023·高二課時練習）已知直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為6，則值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對于直線，能與兩坐標軸圍成三角形，則，
令，得，所以直線與軸交點坐標為，
令，得，所以直線與軸交點坐標為，
所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，
解得.
故選：D
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；
故選：C
【典例3】（2023秋·河南周口·高二周口恒大中學校考期末）已知直線與直線互相垂直，直線與直線在軸上的截距相等，則直線的方程為_________.
【答案】
【詳解】因為直線l與直線垂直，所以直線l的斜率.
又因為直線在y軸上的截距為6，所以直線l在y軸上的截距為6，
所以直線l的方程為.
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設直線的傾斜角為，
因為直線的斜率為，
所以，又，
所以，
故選：A
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若直線不經過第二象限，則實數的取值范圍為______．
【答案】
【詳解】由直線不過第二象限需滿足，
解得，
所以實數的取值范圍為.
故答案為：
題型03直線的圖象
【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二校考期末）直線經過第一、二、四象限，則、、應滿足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可知直線的斜率存在，方程可變形為，
∵直線經過第一、二、四象限，
∴，
∴且．
故選：A.
【典例2】（2023·高二課時練習）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】，
直線的方程在軸上的截距不小于2，且當時，軸上的截距為2，
故D正確，當時，, 故B不正確，當時，或，由圖象知AC正確.
故選：B
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）若直線的方程中，，，則此直線必不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【詳解】由，，，
知直線斜率，在軸上截距為，
所以此直線必不經過第三象限.
故選：C
【變式1】（2023·全國·高二專題練習）方程表示的直線可能是
A． B． C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，排除.
當時，，此時直線與軸的交點在軸的負半軸上，排除.
當時，，此時直線與軸的交點在軸的正半軸上，排除，選.
故選：.
【變式2】（2023秋·廣東惠州·高二統考期末）已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：，直線與直線的斜率均存在
直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為
對于A選項，根據直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應小于0，直線的縱截距應小于0，故A圖象不符合；
對于B選項，根據直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應小于0，故B圖象不符合；
對于C選項，根據直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故C圖象不符合；
對于D選項，根據直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故D圖象符合．
故選：D．
題型04直線的位置關系的應用
【典例1】（2023春·上海寶山·高二統考期末）直線過點，且與向量垂直，則直線的方程為______.
【答案】
【詳解】因為直線過點，且與向量垂直，
所以直線的斜率，所以直線的方程為，
即.
故答案為：
【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二校考開學考試）菱形的頂點，的坐標分別為，，邊所在直線過點．求：
(1)邊所在直線的方程；
(2)對角線所在直線的方程．
【答案】(1)2x－y＋15＝0
(2)5x－6y＋1＝0
【詳解】（1），∵AD∥BC，∴．
∴AD邊所在直線的方程為，即2x－y＋15＝0．
（2）∵．
又∵菱形的對角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴．
又∵AC的中點，也是BD的中點，
∴對角線BD所在直線的方程為，即5x－6y＋1＝0．
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高三校考學業考試）已知四邊形為平行四邊形，，，.
(1)求點的坐標；
(2)若點滿足，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設點C的坐標為，則，
∵ABCD為平行四邊形，則，
∴，解得，
故點C的坐標為.
（2）由題意可得，
∵，則,即，
∴直線PC的方程為，即.
【變式1】（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知，則線段的垂直平分線的一般方程為______.
【答案】
【詳解】因為，所以直線AB的斜率為，
所以AB的垂直平分線的斜率為，AB的中點坐標為，
故線段AB的垂直平分線的方程為：，化為一般式為：.
故答案為：.
【變式2】（2023·高二課時練習）已知直線經過點，斜率為，求直線的點法向式、點斜式和一般式方程．
【答案】點法向式；點斜式；一般式.
【詳解】因為直線的斜率為，于是得直線的一個方向向量為，設直線的一個法向量為，
則有，令，得，
所以直線的點法向式方程是，點斜式方程為，一般式方程為.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習）過點且傾斜角為150°的直線l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】依題意，直線l的斜率，
故直線l的方程為，
即，
故選：B.
2．（2023春·貴州·高二遵義一中校聯考階段練習）經過點，且傾斜角為的直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為傾斜角為，所以斜率為，由點斜式可得直線的方程為：，化簡得.
故選：C
3．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高級中學校考期末）經過點且斜率為的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由點斜式得，即.
故選：A
4．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州五十九中校考開學考試）若直線經過第一、二、三象限，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為直線經過第一、二、三象限，
所以直線的斜率，在y軸上的截距.
故選：A
5．（2023·全國·高二專題練習）直線經過第二、三、四象限，則斜率和在軸上的截距滿足的條件為（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【詳解】在平面直角坐標系中作出圖象，如圖所示：

由圖可知：，.
故選：B.
6．（2023·吉林·統考模擬預測）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設邊上的高所在的直線為，
由已知可得，，所以直線l的斜率.
又過，所以的方程為，
整理可得，.
故選：A.
7．（2023春·廣東東莞·高二校考開學考試）與向量平行，且經過點的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，
所以所求直線方程為，即.
故選：A
8．（2022·全國·高二假期作業）下列四個結論：
①方程與方程可表示同一條直線；
②直線l過點，傾斜角為,則其方程為；
③直線l過點，斜率為0,則其方程為；
④所有直線都有點斜式和斜截式方程.
其中正確結論的個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】方程k＝，表示不過的直線，故與方程y－2＝k(x＋1)表示不同直線．
直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為，則其斜率不存在，是垂直于x軸的直線．
顯然正確的．④所有直線都有點斜式和斜截式方程，是不對的，比如斜率不存在的直線就沒有點斜式方程．故①④不正確，②③正確．
故答案選B．
二、多選題
9．（2023·江蘇·高二假期作業）(多選)下列四個選項中正確的是（ ）
A．方程與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線
B．直線l過點P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1
C．直線l過點P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y1
D．所有的直線都有點斜式和斜截式方程
【答案】BC
【詳解】對于A，方程表示直線上去掉點所形成的兩條射線，與方程表示的圖形不相同，A故錯誤；
對于B，直線過點，傾斜角為，該直線的斜率不存在，垂直于軸，其方程為，故B正確；
對于C，直線過點，斜率為，則其方程為，即，故C正確；
對于D，若直線垂直于軸，則直線的斜率不存在，該直線沒有點斜式和斜截式方程，故D錯誤.
故選：BC.
10．（2022秋·高二課時練習）一次函數，則下列結論正確的有（ ）
A．當時，函數圖像經過一、二、三象限
B．當時，函數圖像經過一、三、四象限
C．時，函數圖像必經過一、三象限
D．時，函數在實數上恒為增函數
【答案】ABCD
【詳解】在一次函數中，若，則圖像經過一、二、三象限；
若，則圖像經過一、三、四象限；
若，函數圖像必經過一、三象限，且函數在實數上恒為增函數；
故選:ABCD.
三、填空題
11．（2022秋·高二校考課時練習）有一個裝有進出水管的容器，每單位時間進出的水量是一定的，設從某時刻開始10分鐘內只進水，不出水，在隨后的30分鐘內既進水又出水，得到時間x(分)與水量y(升)之間的關系如圖所示，則y與x的函數關系式為_______

【答案】
【詳解】當時,直線段過點,
,∴此時方程為.
當時,直線段過點,,
∴此時方程為.即.
故答案為：
12．（2022秋·新疆阿克蘇·高二校考階段練習）過點，且斜率為的直線的斜截式方程為________．
【答案】
【詳解】直線的點斜式方程為：，整理可得其斜截式方程為.
故答案為：.
四、解答題
13．（2022秋·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習）求下列直線方程：
(1)求過點，斜率是3的直線方程.
(2)求經過點，且在軸上截距為2的直線方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為直線過點，且斜率是3，
當且僅當，時取等號，此時的方程為，即；
（2）因為直線與軸、軸的正半軸分別交于點A、點，
所以直線的斜率存在，
可設直線的方程為，
所以，，所以，，
所以，
當且僅當時取等號，此時，
此時直線的方程為，的最小值為4.
2．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中校考階段練習）直線，均過點P（1，2），直線過點A（-1，3），且.
(1)求直線，的方程
(2)若與x軸的交點Q，點M（a，b）在線段PQ上運動，求的取值范圍
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）過點，方程為，整理得，
所以，由于，所以，
所以直線的方程為.
（2）由令，解得，所以，
表示與連線的斜率，，
所以的取值范圍是.
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