資源簡介

第01講 2.1.1傾斜角與斜率
課程標準 學習目標
①理解直線的傾斜角與斜率的概念。 ②掌握直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義.。 ③了解直線的方向向量與直線、直線的斜率的關系。 ④會用兩點坐標求直線的斜率。 ⑤在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素。 通過本節課的學習，理解直線的傾斜角與斜率的概念，了解直線的方向向量與直線的斜率的關系，會求直線的斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜率的取值范圍.
知識點01：直線傾斜角的定義
以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.
（1）當直線與軸平行或者重合時，我們規定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；
特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.
（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.
知識點02：直線的斜率
我們把一條直線的傾斜角（） 的正切值叫做這條直線的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；
（2）傾斜角時，直線的斜率不存在。
【即學即練1】（2023秋·湖南婁底·高二統考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為直線的傾斜角是，
所以此直線的斜率是.
故選:C.
知識點03：斜率與傾斜角的聯系
傾斜角 （范圍）
斜率 （范圍） 不存在
【即學即練2】（2023秋·天津南開·高二天津市第九中學校考期末）圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由圖象可得，，
故選：C
知識點04：直線斜率的坐標公式
如果直線經過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）當 時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關，橫縱坐標的次序可以同時調換；
（3）當 時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。
【即學即練3】（2023·江蘇·高二假期作業）經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率．
（2）由題意得，存在，直線CD的斜率．
（3）∵，
∴直線的斜率不存在．
題型01求直線的傾斜角
【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學校考階段練習）已知直線經過，兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·浙江溫州·高二統考期末）已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023秋·福建福州·高二統考期末）若直線的方向向量是，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學校考開學考試）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為__________.
題型02直線斜率的定義
【典例1】（2023秋·天津濱海新·高二校考期末）已知直線的傾斜角是，則該直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·四川遂寧·高二校考期末）若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023秋·貴州黔西·高二統考期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
題型03斜率與傾斜角變化關系
【典例1】（2023秋·高二課時練習）若如圖中的直線的斜率為，則（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學校考期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；
C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．
【變式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中學校考期末）已知直線經過第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）（多選）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線，，，其對應的斜率分別為，，，則下列選項中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
題型04已知兩點求斜率
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）分別判斷經過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）若經過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數的取值范圍是________．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知．
(1)求直線和的斜率；
(2)若點在線段（包括端點）上移動時，求直線的斜率的變化范圍．

題型05已知斜率求參數
【典例1】（2023春·湖北荊州·高二統考階段練習）若直線經過兩點，，且其傾斜角為135°，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）過點，的直線的斜率為1，那么的值為（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
【變式1】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯考開學考試）已知點，直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·高二課時練習）過，兩點的直線的傾斜角為，求的值．
題型06利用直線斜率處理共線問題
【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學校考期末）三點，，在同一條直線上，則值為（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知點，，，若線段，，不能構成三角形，則的值是________.
【變式1】（2023秋·山西臨汾·高二統考期末）若三點在同一直線上，則實數等于（ ）
A． B． C．6 D．12
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知三點，，在同一條直線上，則實數的值為（ ）
A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5
題型07求斜率或傾斜角的取值范圍
【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知兩點，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·高二課時練習）直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．
【典例4】（2023秋·湖北武漢·高二統考期末）經過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．
【變式1】（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區第一中學校校考開學考試）已知,,直線過定點,且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是( )
A． B． C． D．或
【變式2】（2023秋·江西撫州·高二統考期末）已知坐標平面內三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型08斜率公式的幾何意義的應用
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）若實數、滿足，，則代數式的取值范圍為______
【典例2】（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）點在函數的圖象上，當，則的取值范圍為______.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）點在函數的圖象上，當時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023·江蘇·高二假期作業）若直線經過點，則直線的傾斜角為（　　）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
2．（2023秋·高二課時練習）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）若直線經過，兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為，拉索下端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為．最短拉索的針，，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率約為（ ）（結果保留兩位有效數字）
A． B． C． D．
5．（2023·江蘇·高二假期作業）已知一直線經過兩，，且傾斜角為，則的值為（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
6．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學校校考期末）設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全國·高三專題練習）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
二、多選題
9．（2023秋·湖北黃石·高二校聯考期末）在下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角的取值范圍是
C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
10．（2022春·湖南衡陽·高二衡陽市一中校考階段練習）已知經過點和的直線的傾斜角，則實數的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
三、填空題
11．（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

12．（2023·全國·高三專題練習）過原點的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，過A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點，則直線CD的斜率為__________．
四、解答題
13．（2023·全國·高二專題練習）求經過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
14．（2023·江蘇·高二假期作業）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)求直線的傾斜角的取值范圍．
B能力提升
1．（2023·江蘇·高二假期作業）坐標平面內有相異兩點，，經過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學校考期中）已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（ ）
(3)若是線段上一動點，求的取值范圍.
第01講 2.1.1傾斜角與斜率
課程標準 學習目標
①理解直線的傾斜角與斜率的概念。 ②掌握直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義.。 ③了解直線的方向向量與直線、直線的斜率的關系。 ④會用兩點坐標求直線的斜率。 ⑤在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素。 通過本節課的學習，理解直線的傾斜角與斜率的概念，了解直線的方向向量與直線的斜率的關系，會求直線的斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜率的取值范圍.
知識點01：直線傾斜角的定義
以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.
（1）當直線與軸平行或者重合時，我們規定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；
特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.
（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.
知識點02：直線的斜率
我們把一條直線的傾斜角（） 的正切值叫做這條直線的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；
（2）傾斜角時，直線的斜率不存在。
【即學即練1】（2023秋·湖南婁底·高二統考期末）已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為直線的傾斜角是，
所以此直線的斜率是.
故選:C.
知識點03：斜率與傾斜角的聯系
傾斜角 （范圍）
斜率 （范圍） 不存在
【即學即練2】（2023秋·天津南開·高二天津市第九中學校考期末）圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由圖象可得，，
故選：C
知識點04：直線斜率的坐標公式
如果直線經過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）當 時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關，橫縱坐標的次序可以同時調換；
（3）當 時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。
【即學即練3】（2023·江蘇·高二假期作業）經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率．
（2）由題意得，存在，直線CD的斜率．
（3）∵，
∴直線的斜率不存在．
題型01求直線的傾斜角
【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學校考階段練習）已知直線經過，兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設直線的傾斜角為，，
則，.
故選：D.
【典例2】（2023秋·浙江溫州·高二統考期末）已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為是直線的一個方向向量，故直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，則 ，
所以 ，
故選：D
【變式1】（2023秋·福建福州·高二統考期末）若直線的方向向量是，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，
設直線的傾斜角是，
故選：B.
【變式2】（2023春·上海閔行·高二上海市七寶中學校考開學考試）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為__________.
【答案】/
【詳解】直線的斜率為
所以直線的傾斜角為，
直線與直線平行
所以直線的傾斜角為.
故答案為：
題型02直線斜率的定義
【典例1】（2023秋·天津濱海新·高二校考期末）已知直線的傾斜角是，則該直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意知：直線的斜率.
故選：A.
【典例2】（2023秋·四川遂寧·高二校考期末）若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】k=tan120°=.
故選：B．
【變式1】（2023秋·貴州黔西·高二統考期末）已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可得直線l的斜率.
故選：D
題型03斜率與傾斜角變化關系
【典例1】（2023秋·高二課時練習）若如圖中的直線的斜率為，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設直線的傾斜角分別為，顯然，且，
所以，
又在上單調遞增，故，
所以.
故選：C
【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學校考期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；
C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．
【答案】D
【詳解】對于:直線的傾斜角,,所以錯誤；
對于:兩直線的傾斜角相等為,斜率不存在,所以錯誤；
對于:當直線的傾斜角為時直線斜率不存在，所以錯誤；
對于:任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以正確.
故選：.
【變式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中學校考期末）已知直線經過第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】直線傾斜角的取值范圍是，
又直線經過第二、四象限，
∴直線的傾斜角的取值范圍是，
故選：D.
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）（多選）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線，，，其對應的斜率分別為，，，則下列選項中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】由題圖可知，，，，且，可知A，B，C錯誤.
故選：ABC．
題型04已知兩點求斜率
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）分別判斷經過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)存在，斜率為，傾斜角為；
(2)存在，斜率為，傾斜角為；
(3)存在，斜率為，傾斜角為；
(4)不存在.
【詳解】（1）解：因為，
所以經過的直線斜率存在，
所以斜率為，
設傾斜角為，則，故，即傾斜角為
（2）解：因為，
所以經過的直線斜率存在，
所以斜率為，
設傾斜角為，則，故，即傾斜角為.
（3）解：因為，
所以經過的直線斜率存在，
所以斜率為，
設傾斜角為，則，故，即傾斜角為.
（4）解：因為，
所以經過的直線斜率不存在，
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）若經過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數的取值范圍是________．
【答案】，
【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，
所以斜率，解得．
所以的取值范圍是，．
故答案為：，．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知．
(1)求直線和的斜率；
(2)若點在線段（包括端點）上移動時，求直線的斜率的變化范圍．
【答案】(1)直線AB的斜率為，直線AC的斜率為
(2)
【詳解】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，
直線AC的斜率，
故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.
（2）如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，
直線AD的斜率由增大到，
所以直線AD的斜率的變化范圍是．

題型05已知斜率求參數
【典例1】（2023春·湖北荊州·高二統考階段練習）若直線經過兩點，，且其傾斜角為135°，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【詳解】經過兩點，的直線的斜率為，
又直線的傾斜角為135°，∴，解得．
故選：D
【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）過點，的直線的斜率為1，那么的值為（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
【答案】D
【詳解】解：因為直線過點P(2，m)，Q(m，4)，且斜率為1，
所以 ，解得，
故選：D
【變式1】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯考開學考試）已知點，直線的傾斜角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為直線的傾斜角為，，
可得直線的斜率為，
可得.
故選：C
【變式2】（2023秋·高二課時練習）過，兩點的直線的傾斜角為，求的值．
【答案】.
【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又，整理得，
解得或，
當時，，不符合，
當時，，符合，
綜上：.
題型06利用直線斜率處理共線問題
【典例1】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學校考期末）三點，，在同一條直線上，則值為（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
【答案】D
【詳解】由題意可得，
因為A，B，C三點共線，
所以，即，
解得或．
所以的值為2或．
故選：D．
【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知點，，，若線段，，不能構成三角形，則的值是________.
【答案】
【詳解】因為線段，，不能構成三角形，所以三點共線，
顯然直線的斜率存在，故，即，解得，
故答案為：4
【變式1】（2023秋·山西臨汾·高二統考期末）若三點在同一直線上，則實數等于（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】C
【詳解】因為，又，
所以，即.
故選：C.
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知三點，，在同一條直線上，則實數的值為（ ）
A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5
【答案】C
【詳解】因為三點，，在同一條直線上，且直線斜率存在，
所以，
解得或
故選：C
題型07求斜率或傾斜角的取值范圍
【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知兩點，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】如圖所示：

若直線與線段相交，
則或 ，
因為，，
所以直線的斜率取值范圍是.
故選：A.
【典例2】（2023秋·高二課時練習）直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】如圖：

當直線l的斜率，
直線l的傾斜角的取值范圍為：.
故答案為：.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】如下圖所示：設過點且與軸垂直的直線交線段于點，設直線的斜率為，
且，，
當點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，
此時，；
當點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，
此時，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故答案為：.
【典例4】（2023秋·湖北武漢·高二統考期末）經過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】解：如圖，
，，，
，，
則使直線與線段有公共點的直線的斜率 的范圍為，，
又直線傾斜角的范圍是：，且
直線l的傾斜角的范圍為．
故答案為：．
【變式1】（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區第一中學校校考開學考試）已知,,直線過定點,且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【詳解】畫出圖像,如圖:
結合圖像可知,要保證線段與直線相交
需滿足斜率的取值范圍: 或
故選:D.
【變式2】（2023秋·江西撫州·高二統考期末）已知坐標平面內三點，為的邊上一動點，則直線斜率的變化范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，
，
因為為的邊上一動點，
所以直線斜率的變化范圍是.
故選：D.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】，則，
設直線的傾斜角為，故，
所以當時，直線的傾斜角；
當時，直線的傾斜角；
綜上所述：直線的傾斜角
故選：B
【變式4】（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：直線l的斜率為k，且，
∴，.
∴.
故選：B.
題型08斜率公式的幾何意義的應用
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）若實數、滿足，，則代數式的取值范圍為______
【答案】
【詳解】
如圖，，，，
則，.
因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，
由圖象可知，，
所以有.
故答案為：.
【典例2】（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）點在函數的圖象上，當，則的取值范圍為______.
【答案】
【詳解】由表示與點所成直線的斜率，
又由是在部分圖象上的動點，
如圖所示：可得，則，
所以，即的取值范圍為.
故答案為：.

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）點在函數的圖象上，當時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為點在函數的圖象上，
所以時， ；當時，；
故設
而可看作函數的圖象上的點與點 （-1，-2）連線的斜率，
故時，,
而 ,所以
故選：B.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023·江蘇·高二假期作業）若直線經過點，則直線的傾斜角為（　　）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
【答案】A
【詳解】因為兩點的縱坐標相等，
所以直線平行于軸，
所以直線的傾斜角為0°．
故選：A
2．（2023秋·高二課時練習）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；
對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；
對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；
其中正確說法的個數為2.
故選：B.
3．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）若直線經過，兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由直線經過，兩點，可得直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，則有，
又，所以.
故選：A.
4．（2023·全國·高三專題練習）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為，拉索下端相鄰兩個針的間距（，2，…，9）均為．最短拉索的針，，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率約為（ ）（結果保留兩位有效數字）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】依題意，以直線為x軸，直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，
顯然，，因此點，
直線的斜率為，由對稱性得直線的斜率為，
所以最長拉索所在直線的斜率約為.
故選：C
5．（2023·江蘇·高二假期作業）已知一直線經過兩，，且傾斜角為，則的值為（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
【答案】C
【詳解】直線經過兩，，．
又直線的傾斜角為，斜率一定存在，
則直線的斜率為
，即．
故選：C．
6．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習）已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】由直線的斜率可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A
7．（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學校校考期末）設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設直線的傾斜角為，
則有，，
作出()的圖象，如圖所示：
由此可得.
故選：A.
8．（2023·全國·高三專題練習）1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
【答案】C
【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點，
∴OO3平分第三顆小星的一個角，
又五角星的內角為36°知：∠BAO3＝18°，
過O3作x軸的平行線O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，
∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.
故選：C
二、多選題
9．（2023秋·湖北黃石·高二校聯考期末）在下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角的取值范圍是
C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
【答案】ABCD
【詳解】對于A：當直線與x軸垂直時，直線的傾斜角為，斜率不存在，所以A錯誤；
對于B：直線傾斜角的取值范圍是，所以B錯誤；
對于C：一條直線的斜率為，此直線的傾斜角不一定為，
如的斜率為，它的傾斜角為，所以C錯誤；
對于D：一條直線的傾斜角為時，它的斜率為或不存在，所以D錯誤.
故選：ABCD
10．（2022春·湖南衡陽·高二衡陽市一中校考階段練習）已知經過點和的直線的傾斜角，則實數的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】ABC
【詳解】由題可得，
所以，
結合選項可得實數的可能取值有11,12,13，
故選:ABC.
三、填空題
11．（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

【答案】
【詳解】設直線的傾斜角為，因為和向上的方向所成的角為，
所以，，故．
故答案為：.
12．（2023·全國·高三專題練習）過原點的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，過A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點，則直線CD的斜率為__________．
【答案】
【詳解】設，，則點的坐標為，點的坐標為，
點，，共線，
，
即，
可得：，即，
又，
，
故答案為：．
四、解答題
13．（2023·全國·高二專題練習）求經過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率，傾斜角是銳角；（2）斜率；傾斜角是鈍角（3）斜率不存在，傾斜角為90°.
【詳解】解：（1）kAB=，
因為kAB>0，所以直線AB的傾斜角是銳角.
（2）kPQ=，
因為kPQ<0，
所以直線PQ的傾斜角是鈍角.
（3）因為xM=xN=3，
所以直線MN的斜率不存在，
其傾斜角為90°.
14．（2023·江蘇·高二假期作業）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)求直線的傾斜角的取值范圍．
【答案】(1)．
(2)．
【詳解】（1）因為，，
所以
因為直線與線段有公共點，
所以由圖可知直線的斜率滿足或，
所以直線的斜率的取值范圍是．

（2）由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，
因為直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，
所以的取值范圍是．
B能力提升
1．（2023·江蘇·高二假期作業）坐標平面內有相異兩點，，經過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為點，是相異兩點，
，且，
設直線的傾斜角為，則
當，傾斜角的范圍為．
當，傾斜角的范圍為．
故選：B
2．（2022秋·廣東深圳·高二深圳中學校考期中）已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設，則，
因為點在線段上，所以的取值范圍是，
故選：A.
3．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考階段練習）已知點，若點在線段上，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】可看作與的斜率，
則，，
因為點在線段上，
所以的取值范圍為，
故選：A
C綜合素養
1．（多選）（2022秋·山東青島·高二青島二中校考階段練習）如圖所示，下列四條直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，
由傾斜角定義知，，，，故C正確；
由，知，，，，故B正確；
故選：BC
2．（2022·高二課時練習）臺球運動中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉反彈球是最簡單的技法，主球撞擊目標球后，目標球撞擊臺邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標球沿著理想的方向反彈，就要事先根據需要確認臺邊的撞擊點，同時做到用力適當，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標球成功擊入袋中.如圖，現有一目標球從點無旋轉射入，經過軸（桌邊）上的點反彈后，經過點，則點的坐標為_______.
【答案】
【詳解】設，點關于軸對稱的點，
則，，
由題意，三點共線，
，即，解得，故點的坐標為.
故答案為：
3．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考階段練習）已知坐標平面內三點.
(1)求直線的斜率和傾斜角；
(2)若可以構成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標；
(3)若是線段上一動點，求的取值范圍.
【答案】(1)斜率為1，傾斜角為；
(2)；
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