資源簡介

第02講 2.1.2兩條直線平行和垂直的判定
課程標準 學習目標
①理解兩條直線平行的條件及兩條直線 垂直的條件。 ②能根據直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直.。 ③能應用兩條直線平行或垂直解決相關問題，理解用代數法解決幾何問題.。 通過本節課的學習，理解兩條直線平行與垂直的幾何位置與代數運算相結合的條件與意義，能應用兩直線的斜率的關系判斷兩直線的位置關系，并能解決與兩條直線位置關系相關聯的綜合問題.
知識點01：兩條直線平行
對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.
對兩直線平行與斜率的關系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：
①兩條直線的斜率都存在；
②與不重合．
(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.
(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結論是：
或，斜率都不存在.
【即學即練1】（多選）（2023·廣西桂林·高二校考期中）若為兩條不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則斜率 B．若斜率，則
C．若，則傾斜角 D．若傾斜角，則
【答案】ABCD
【詳解】因為為兩條不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，
若，則斜率相等，即；又斜率是傾斜角的正切值，所以，故AC正確；
若，則，所以，故BD正確；
故選：ABCD
知識點02：兩條直線垂直
如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.
對兩直線垂直與斜率的關系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.
(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．
(3)判定兩條直線垂直的一般結論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．
【即學即練2】（多選）（2023·廣西欽州·高二浦北中學統考期末）已知兩條不重合的直線，，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】ABD
【詳解】對A，若，則，故A正確；
對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；
對C，若，則與不垂直，故C錯誤；
對D，若，則，故D正確.
故選：ABD.
題型01 兩直線平行關系的判定
【典例1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二校考階段練習）已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則斜率
B．若斜率，則
C．若傾斜角，則
D．若，則傾斜角
【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）已知點，，，，試判定四邊形的形狀．
【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．
(1)經過點，經過點；
(2)的斜率為，經過點.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各題中直線與是否平行．
(1)經過點，，經過點，；
(2)經過點，，經過點，．
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）判斷下列不同的直線與是否平行.
（1）的斜率為2，經過，兩點；
（2）經過，兩點，平行于軸，但不經過，兩點；
（3）經過，兩點，經過，兩點．
題型02兩直線垂直關系的判定
【典例1】（2023秋·高二課時練習）以為頂點的四邊形是（ ）
A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．
(1)經過點經過點；
(2)經過點經過點．
【變式1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二校考階段練習）（多選）若，，，，下面結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知四邊形的頂點坐標為，求證：四邊形為矩形．
題型03已知兩直線平行關求參數
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則的值是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【典例2】（2022秋·四川遂寧·高二遂寧中學校考階段練習）若直線與平行，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022秋·河南濮陽·高二校考階段練習）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．
【變式2】（2022·高二課時練習）過點兩點的直線與直線平行，直線的傾斜角為，則___________
題型04已知兩直線垂直關求參數
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）過點，的直線與過點，的直線垂直，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州五十九中校考開學考試）已知經過點和點的直線與經過點和點的直線互相垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例3】（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學校考階段練習）已知直線經過，兩點，且直線，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學校考開學考試）已知三角形三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的高的斜率為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式2】（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考期末）已知點和，點在軸上，且為直角，則點坐標為（ ）
A． B．或 C．或 D．
題型05直線平行、垂直在幾何中的應用
【典例1】（2022秋·青海海東·高二校考期中）已知點，，，是的垂心．則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022·高二課時練習）已知點，，，，求證：四邊形是梯形．
【變式1】（2022·高二課時練習）順次連接，，)，)所構成的圖形是（ ）
A．平行四邊形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不對
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知的三個頂點的坐標分別為，，，則頂點的坐標為________.
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知，，，四點，若順次連接四點，試判斷圖形的形狀．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學校考期中）已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·山東泰安·高二統考期末）若直線與直線平行，則實數k的值為（ ）
A． B． C． D．3
3．（2023·全國·高二專題練習）下列說法中正確的是（ ）
A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行
B．若，則
C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交
D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行
4．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知直線：，：，若，則實數（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學校考期中）“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
12．（2022·全國·高二專題練習）判斷三點是否共線，并說明理由．
B能力提升
13．（2021春·高一課時練習）根據下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行.
（1）直線經過點，直線經過點；
（2）直線平行于y軸，直線經過點，；
（3）直線經過點，直線經過點.
第02講 2.1.2兩條直線平行和垂直的判定
課程標準 學習目標
①理解兩條直線平行的條件及兩條直線 垂直的條件。 ②能根據直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直.。 ③能應用兩條直線平行或垂直解決相關問題，理解用代數法解決幾何問題.。 通過本節課的學習，理解兩條直線平行與垂直的幾何位置與代數運算相結合的條件與意義，能應用兩直線的斜率的關系判斷兩直線的位置關系，并能解決與兩條直線位置關系相關聯的綜合問題.
知識點01：兩條直線平行
對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.
對兩直線平行與斜率的關系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：
①兩條直線的斜率都存在；
②與不重合．
(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.
(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結論是：
或，斜率都不存在.
【即學即練1】（多選）（2023·廣西桂林·高二校考期中）若為兩條不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則斜率 B．若斜率，則
C．若，則傾斜角 D．若傾斜角，則
【答案】ABCD
【詳解】因為為兩條不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，
若，則斜率相等，即；又斜率是傾斜角的正切值，所以，故AC正確；
若，則，所以，故BD正確；
故選：ABCD
知識點02：兩條直線垂直
如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.
對兩直線垂直與斜率的關系要注意以下幾點
(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.
(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．
(3)判定兩條直線垂直的一般結論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．
【即學即練2】（多選）（2023·廣西欽州·高二浦北中學統考期末）已知兩條不重合的直線，，下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】ABD
【詳解】對A，若，則，故A正確；
對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；
對C，若，則與不垂直，故C錯誤；
對D，若，則，故D正確.
故選：ABD.
題型01 兩直線平行關系的判定
【典例1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二校考階段練習）已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則斜率
B．若斜率，則
C．若傾斜角，則
D．若，則傾斜角
【答案】BCD
【詳解】A選項，，可能直線與的傾斜角都是，斜率不存在，所以A選項錯誤.
B選項，根據直線的位置關系，當直線的斜率存在，并且相等，則直線平行，所以B選項正確.
C選項，當兩條直線的傾斜角相等時，直線平行，所以C選項正確.
D選項，當兩條直線平行時，則傾斜角必相等，所以D選項正確.
故選：BCD
【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）已知點，，，，試判定四邊形的形狀．
【答案】直角梯形
【詳解】由斜率公式可得：
，
與BC不平行
又，
，
故四邊形ABCD是直角梯形．
【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．
(1)經過點，經過點；
(2)的斜率為，經過點.
【答案】(1)不平行，理由見解析
(2)不平行，理由見解析
【詳解】（1）設直線，的斜率分別為，，
因為經過點，經過點，
所以，，
所以，
所以與不平行；
（2）設直線，的斜率分別為，，則，
因為經過點，
所以，
所以，
所以與不平行.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各題中直線與是否平行．
(1)經過點，，經過點，；
(2)經過點，，經過點，．
【答案】(1)不平行
(2)平行
【詳解】（1）因為經過點，，所以，
又經過點，，所以，
因為，所以與不平行；
（2）直線經過點，的方程為，
直線經過點，的方程為，
故直線和直線平行；
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）判斷下列不同的直線與是否平行.
（1）的斜率為2，經過，兩點；
（2）經過，兩點，平行于軸，但不經過，兩點；
（3）經過，兩點，經過，兩點．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
【詳解】（1）經過，兩點，則，
則，可得兩直線平行.
（2）經過，兩點，可得平行于x軸，
平行于x軸，但不經過P，Q兩點，所以；
（3）經過，兩點，，
經過，兩點，則，
所以.
題型02兩直線垂直關系的判定
【典例1】（2023秋·高二課時練習）以為頂點的四邊形是（ ）
A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【答案】D
【詳解】
在坐標系中畫出ABCD點，大致如上圖，其中，
，
，
所以四邊形ABCD是直角梯形；
故選：D.
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．
(1)經過點經過點；
(2)經過點經過點．
【答案】(1)不垂直，理由見解析
(2)垂直，理由見解析
【詳解】（1）由題知直線，的斜率存在，分別設為，
，
，
，
∴與不垂直．
（2）由題意知的傾斜角為90°，
則軸；
由題知直線的斜率存在，設為，
，
則軸，
∴．
【變式1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二校考階段練習）（多選）若，，，，下面結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【詳解】，，且C不在直線AB上，∴，故A正確；
又∵，∴，∴，故B正確；
∵，，
∴，，∴，故C正確；
又∵，，∴
∴，故D錯誤．
故選:ABC．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知四邊形的頂點坐標為，求證：四邊形為矩形．
【答案】證明見解析
【詳解】因為，
所以，，
所以，，
所以∥，∥，
所以四邊形為平行四邊形，
因為，
所以，
所以四邊形為矩形.
題型03已知兩直線平行關求參數
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則的值是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【答案】A
【詳解】由題意可知，，解得．
故選：A
【典例2】（2022秋·四川遂寧·高二遂寧中學校考階段練習）若直線與平行，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】直線與平行，
所以，.
故選：C.
【典例3】（2022秋·河南濮陽·高二校考階段練習）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.
【答案】
【詳解】解：因為直線與直線平行，直線的斜率為，
所以直線的斜率與直線的斜率相等，即直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，則，
所以，即直線的傾斜角為，
故答案為：.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．
【答案】/2或/或2
【詳解】由題意知，解得.
故答案為：
【變式2】（2022·高二課時練習）過點兩點的直線與直線平行，直線的傾斜角為，則___________
【答案】
【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
過兩點的直線的斜率，
由直線與直線平行，
所以解得.
故答案為：.
題型04已知兩直線垂直關求參數
【典例1】（2023·全國·高二專題練習）過點，的直線與過點，的直線垂直，則的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】兩條直線垂直，則：，解得，
故選：A．
【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州五十九中校考開學考試）已知經過點和點的直線與經過點和點的直線互相垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【詳解】直線的斜率．
①當時，直線的斜率．
因為，所以，即，解得．
②當時，、，此時直線為軸，
又、，則直線為軸，顯然．
綜上可知，或.
故選：C.
【典例3】（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學校考階段練習）已知直線經過，兩點，且直線，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設直線的傾斜角為，
因為直線的斜率，由，得，
所以，即，又，則，
所以直線的傾斜角為．
故選：B．
【變式1】（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學校考開學考試）已知三角形三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的高的斜率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【詳解】，，
設邊上的高的斜率為，則，
故選：C
【變式2】（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考期末）已知點和，點在軸上，且為直角，則點坐標為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【詳解】由題意，設點，
為直角，，
由，
，
解得或，所以點的坐標為或
故選：B
題型05直線平行、垂直在幾何中的應用
【典例1】（2022秋·青海海東·高二校考期中）已知點，，，是的垂心．則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設C點標為，直線AH斜率，
∴，而點B的橫坐標為6，則，
直線BH的斜率，
∴直線AC斜率，
∴，
∴點C的坐標為．
故選:.
【典例2】（2022·高二課時練習）已知點，，，，求證：四邊形是梯形．
【答案】證明見解析
【詳解】由點，，，，
可得 ,
而 , ,
故,但 ,
所以四邊形ABCD是梯形．
【變式1】（2022·高二課時練習）順次連接，，)，)所構成的圖形是（ ）
A．平行四邊形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不對
【答案】B
【詳解】，，則，
所以,與不平行，
因此
故構成的圖形為直角梯形.
故選：B.
【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知的三個頂點的坐標分別為，，，則頂點的坐標為________.
【答案】(3,4)
【詳解】設頂點D的坐標為(x,y)，
∵ABDC，ADBC，
∴，解得，
∴點D的坐標為(3,4).
故答案為：(3,4).
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知，，，四點，若順次連接四點，試判斷圖形的形狀．
【答案】直角梯形
【詳解】由斜率公式，得，，，,
所以，又因為 ,說明與不重合，
所以．
因為，所以與不平行．
又因為，所以．
故四邊形為直角梯形．
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學校考期中）已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為直線的傾斜角為，所以，
又，所以.
故選：C.
2．（2023秋·山東泰安·高二統考期末）若直線與直線平行，則實數k的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【詳解】因為直線與直線平行，
所以兩直線斜率相等，即.
故選：D.
3．（2023·全國·高二專題練習）下列說法中正確的是（ ）
A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行
B．若，則
C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交
D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行
【答案】C
【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯誤；
若，則或，的斜率都不存在，B錯誤；
若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；
若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯誤．
故選：C.
4．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知直線：，：，若，則實數（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】D
【詳解】已知直線：，：，
因為，
所以
故選：D
5．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學校考期中）“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【詳解】當兩條直線斜率乘積為時，兩條直線互相垂直，充分性成立；
當兩條直線互相垂直時，其中一條直線可能斜率不存在，必要性不成立；
“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
6．（2023春·河北承德·高二承德市雙灤區實驗中學校考開學考試）已知直線經過，兩點，直線的傾斜角為，那么與
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【詳解】直線經過，兩點 直線的斜率：
直線的傾斜角為 直線的斜率：

本題正確選項：
二、多選題
7．（2022秋·高二課時練習）下列說法中正確的有（ ）
A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等
B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行
C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直
D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于
【答案】BC
【詳解】對于A，兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯誤；
對于B，若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，所以B正確；
對于C，若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直，故C正確；
對于D，若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于，故D錯誤；
故選：BC
8．（2022秋·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區喀什第六中學校考期中）若與為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（ ）
A．若，則它們的斜率相等 B．若與的斜率相等，則
C．若，則它們的傾斜角相等 D．若與的傾斜角相等，則
【答案】BCD
【詳解】對于A，當和傾斜角均為時，，但兩直線斜率不存在，A錯誤；
對于B，若和斜率相等，則兩直線傾斜角相等，可知，B正確；
對于C，若，可知兩直線傾斜角相等，C正確；
對于D，若兩直線傾斜角相等，則兩直線斜率相等或兩直線斜率均不存在，可知，D正確.
故選：BCD.
三、填空題
9．（2022秋·廣西玉林·高二校考階段練習）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率； ②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；
其中正確命題的個數是______．
【答案】
【詳解】解：因為與為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，.
①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；
②因為兩直線的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；
由于與互相垂直，
所以，即，
所以.
12．（2022·全國·高二專題練習）判斷三點是否共線，并說明理由．
【答案】共線，理由見解析.
【詳解】這三點共線，理由如下：
由直線斜率公式可得：，
直線的斜率相同，所以這兩直線平行，但這兩直線都通過同一點，
所以這三點共線.
B能力提升
13．（2021春·高一課時練習）根據下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行.
（1）直線經過點，直線經過點；
（2）直線平行于y軸，直線經過點，；
（3）直線經過點，直線經過點.
【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.
【詳解】解：（1）直線的斜率，直線的斜率，顯然，所以直線與不平行.
（2）直線與y軸重合，所以直線與平行.
（3）直線的斜率，直線的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四點共線，直線與重合.故直線與不平行.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑