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第11講 第二章 直線和圓的方程 章末總結
一、思維導圖
二、題型精講
題型01直線的傾斜角和斜率
【典例1】（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業中學校考期中）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C．D．
【典例2】（2023秋·安徽六安·高二六安一中?？计谀┮阎本€和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）直線的傾斜角的取值范圍是_______.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若過點的直線與以點為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（ ）
A． B．C．D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點、，若直線過點且總與線段有交點，求直線的斜率的取值范圍．
題型02直線方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習）過點且在坐標軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．
【典例2】（2023秋·廣西防城港·高二統考期末）已知直線與軸，軸的交點分別為.直線經過點且傾斜角為.
(1)求直線的一般方程；
(2)求線段的中垂線方程.
【典例3】（2023·全國·高三對口高考）過點作直線分別交，的正半軸于，兩點．

(1)求面積的最小值及相應的直線的方程；
(2)當取最小值時，求直線的方程；
(3)當取最小值時，求直線的方程．
【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┻^點，傾斜角是直線的傾斜角的一半的直線方程為____________．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若過點且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點，則中點的軌跡方程為______.
【變式31】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？计谀┮阎?、在直線上.
(1)求直線的方程；
(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點在軸上，求直線的方程.
【變式4】（2023·江蘇·高二假期作業）已知的三個頂點分別為．
(1)求邊和所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程．
題型03兩直線的平行與垂直
【典例1】（2023秋·河南平頂山·高二統考期末）已知，“直線與平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2023秋·四川涼山·高二寧南中學?？计谀┮阎?，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【典例3】（2023春·浙江溫州·高二?？茧A段練習）“”是“直線：與直線：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知直線，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·上海·高二專題練習）已知直線，，若，則的值是___________.
題型04兩直線的交點與距離問題
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知直線：，直線過點且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)直線與直線關于軸對稱，求直線，，所圍成的三角形的面積.
【典例2】（2023·高二課時練習）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標．
【典例3】（2023·高三課時練習）已知點，且，.
(1)求直線CD的方程；
(2)求點C的坐標，并求四邊形ABCD的面積.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）求過直線和的交點并且與原點距離為1的直線l的方程．
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二校聯考期末）已知的三個頂點分別為．求：
(1)邊上的中線所在直線的方程；
(2)的面積．
【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┮阎c，，點在軸上，則的取值范圍是______.

題型05直線中的對稱問題
【典例1】（2023秋·吉林白城·高二?？计谀c關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）的頂點，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023·上海·高二專題練習）一束光從光源射出，經軸反射后（反射點為），射到線段上處．
(1)若，求光從出發，到達點時所走過的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范圍；
(3)若，求光從出發，到達點時所走過的最短路程．
【典例4】（2023秋·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知直線l：3x－y＋3＝0，求：
(1)點P(4,5)關于l的對稱點；
(2)直線x－y－2＝0關于直線l對稱的直線方程；
(3)直線l關于(1,2)的對稱直線．
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學校考期末）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式2】（2023·高二課時練習）已知A（3，1），B（-1，2），若的平分線在上，求AC所在的直線方程．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線，點．求：
(1)點關于直線的對稱點的坐標；
(2)直線關于直線對稱的直線的方程；
(3)直線關于點對稱的直線的方程．
【變式4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是_______．
題型06圓的方程
【典例1】（2023春·河南開封·高二統考期末）已知圓心為的圓經過，兩點，且圓心在直線上．
(1)求圓的標準方程；
(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程．
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）求經過點和坐標原點，并且圓心在直線上的圓的方程．
【典例3】（2023春·河南·高二校聯考階段練習）已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．
(1)求直線的方程；
(2)求圓的標準方程．
【變式1】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┮阎獔AC的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【變式2】（2023春·安徽·高二校聯考開學考試）已知直線過點，且與軸分別交于點，為等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)設為坐標原點，點在軸負半軸，求過，，三點的圓的一般方程．
【變式3】（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）已知圓的圓心在直線上，且圓過點，．
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與圓關于直線對稱，求圓的標準方程．
題型07切線和切線長問題
【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三?？计谀┮阎本€經過點，且與圓相切，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學?？茧A段練習）已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知為圓C：上任意一點，且點．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【變式1】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知圓為圓O上位于第一象限的一點，過點M作圓O的切線l．當l的橫縱截距相等時，l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）已知圓心在軸上的圓經過兩點、．
(1)求此圓的標準方程；
(2)求過點且與此圓相切的直線的一般式方程．
【變式3】（2023秋·廣東清遠·高二統考期末）已知的頂點分別為．
(1)求外接圓的方程；
(2)設P是直線上一動點，過點P作外接圓的一條切線，切點為Q，求最小值及點P的坐標．
題型08弦長問題
【典例1】（2023秋·天津紅橋·高三統考期末）若直線被圓截得的弦長為4，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·海南·統考模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則_________．
【典例3】（2023·江西·統考模擬預測）已知直線，圓，，直線和圓交于，兩點．
(1)當的中點為時，求圓的方程；
(2)已知圓的方程與（1）中所求圓的方程相同，若斜率存在且不為0的直線過點，與圓交于，兩點，為軸正半軸上一點，，，且直線與線段相交，求直線的斜率．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）以點為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點，則的取值范圍為________.
【變式2】（2023春·河北邯鄲·高三校聯考開學考試）若直線與圓相交于A，B兩點，當取得最小值時，直線l的斜率為______.
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）已知圓，點.
(1)求過點P的圓C的切線l的方程；
(2)若直線m過點P且被圓C截得的弦長為8，求直線m的方程.
【變式4】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯考開學考試）已知圓過兩點且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)已知直線被圓截得的弦長為，求實數的值.
題型09三角形面積問題
【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知圓，M是y軸上的動點，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點，
(1)如果點M的坐標為，求直線MA、MB的方程；
(2)求面積的最大值．
【典例2】（2023春·江西·高二校聯考開學考試）已知圓：，為圓上任意一點，
(1)求中點的軌跡方程.
(2)若經過的直線與的軌跡相交于，在下列條件中選一個，求的面積.
條件①：直線斜率為；②原點到直線的距離為.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知直線和的交點為，求：
(1)以點為圓心，且與直線相交所得弦長為12的圓的方程；
(2)直線過點，且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線的方程．
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學?？计谀┮阎本€.
(1)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍；
(2)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值和此時直線l的方程.
【變式2】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）已知圓經過，，三點，且交直線于，兩點.
(1)求圓的標準方程；
(2)求的面積.
題型10圓與圓的位置關系
【典例1】（2023秋·高二課時練習）當為何值時，兩圓和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外離.
【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校€與坐標軸的交點都在圓上．
(1)求圓的方程；
(2)若圓與圓相交于A、B兩點，求弦長．
【變式1】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中）已知圓經過，圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與圓相切，求的值.
【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓：與圓：，當m為何值時，
(1)兩圓外切；
(2)兩圓內含．
題型11兩圓公共線方程和公共弦長
【典例1】（2023秋·湖南張家界·高二統考期末）已知兩圓，．
(1)取何值時兩圓外切？
(2)當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
【典例2】（2023·高二課時練習）已知圓與圓．
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓和動圓交于A，B兩點．
（1）若直線過原點，求a；
（2）若直線交軸于Q，當面積最小時，求．
【變式1】（2023秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學校校考期末）已知圓過點，且圓心在直線，圓．
(1)求圓的標準方程；
(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
【變式2】（2023春·甘肅蘭州·高二?？奸_學考試）已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
(1)求證：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長．
【變式3】（2023秋·江西吉安·高二江西省泰和中學?？计谀┮阎獔A和相交于兩點．
(1)求直線的方程，
(2)求弦長
【變式4】（2023春·四川達州·高二?？计谥校┮阎獌蓤A.
求：（1）它們的公共弦所在直線的方程；
（2）公共弦長.
題型12與圓有關的最值問題
【典例1】（2023秋·廣西河池·高二統考期末）已知圓與圓關于直線對稱.
(1)求圓的標準方程；
(2)直線與圓相交于兩點，且的外接圓的圓心在內部，求的取值范圍.

【典例2】（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，過點且互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于點，與圓交于點．
(1)若，求的斜率；
(2)記中點為，求面積的取值范圍．
【典例3】（2023秋·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┮阎獔A.
(1)設點，過點M作直線l與圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程；
(2)設P是直線上一點，過P作圓C的切線PE，PF，切點分別為E，F，求的最小值.
【變式1】（2023春·湖北·高二校聯考階段練習）已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個交點；
(2)若直線和圓交于兩點，求的最小值及此時直線的方程.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓,,若斜率為的直線l與圓C相交于不同的兩點，求的取值范圍.
題型13軌跡方程
【典例1】（2023春·河南南陽·高二鎮平縣第一高級中學?？茧A段練習）已知圓：．
(1)求圓的圓心坐標及半徑；
(2)設直線：
①求證：直線與圓恒相交；
②若直線與圓交于，兩點，弦的中點為，求點的軌跡方程，并說明它是什么曲線．
【典例2】（2023春·上海靜安·高二校考期中）已知圓的方程為，過點作直線l交圓于A、B兩點．
(1)當直線l的斜率為1時，求弦AB的長；
(2)當直線l的斜率變化時，求動弦AB的中點Q的軌跡方程．
【典例3】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知圓，直線．
(1)判斷直線與圓的位置關系；
【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）圓關于直線對稱的圓的標準方程為___________.
三、數學思想
01函數與方程的思想
【典例1】（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）在平面直角坐標系中，圓和外切形成一個8字形狀，若，為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A，P），則的最大值為______．
【典例3】（2023·高二課時練習）已知，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是______．
02數形結合思想
【典例1】（2022秋·廣東肇慶·高二?？计谥校┮阎獌牲c，過點的直線與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【典例21】（2022秋·湖南懷化·高二?？茧A段練習）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·湖南岳陽·高二統考期末）已知圓，過點的直線被該圓所截的弦長的最小值為______.
03分類討論思想
【典例1】（2023春·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習）已知在平面直角坐標系xOy中，，，平面內動點P滿足．
(1)求點P的軌跡方程；
(2)點P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點，E為直線l：x＝4上的動點，直線CE，DE與曲線的另一個交點分別為M，N，直線MN與x軸交點為Q，求點Q的坐標．
【典例2】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學?？茧A段練習）已知圓和定點，動點在圓上．
(1)過點作圓的切線，求切線方程；
(2)若滿足，求證：直線過定點．
04轉化與化歸思想
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）求函數的最大值及最小值．
【典例2】（2020·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┮阎c在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【典例3】（2020秋·福建·高二校考期中）已知點在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值與最小值；
（3）求的最大值與最小值
第11講 第二章 直線和圓的方程 章末總結
一、思維導圖
二、題型精講
題型01直線的傾斜角和斜率
【典例1】（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業中學?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【詳解】由題意知,若 a = 0 ,則傾斜角為,
若,則,
①當時，(當且僅當時，取“”)，
②當時，(當且僅當時，取“”)，
，故，
綜上，，
故選：C.
【典例2】（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直線和以，為端點的線段相交，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【詳解】
直線恒過定點，且，，由圖可知，或.
故選：C.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）直線的傾斜角的取值范圍是_______.
【答案】
【詳解】若，則直線方程為，即傾斜角；
若，則直線方程為，即，
∵，∴或，
即或，解得
綜上可得.
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若過點的直線與以點為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【詳解】如圖所示，設的傾斜角為，的傾斜角為，則所求直線的傾斜角的取值范圍為，
易得，，
又因為，所以，
所以所求直線的傾斜角的取值范圍為.
故選：A.
.
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點、，若直線過點且總與線段有交點，求直線的斜率的取值范圍．
【答案】
【詳解】解：設過點且垂直于軸的直線交線段于點，如下圖所示：

當直線由位置繞點轉動到位置時，的斜率從逐漸變大，
此時，；
當直線由位置繞點轉動到位置時，的斜率為負值，且逐漸增大至，
此時，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
題型02直線方程
【典例1】（2023秋·高二課時練習）過點且在坐標軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．
【答案】或
【詳解】當直線過原點時，設，過點，則，即；
當直線不過原點時，設，過點，則，即；
綜上所述：直線方程為或.
故答案為：或.
【典例2】（2023秋·廣西防城港·高二統考期末）已知直線與軸，軸的交點分別為.直線經過點且傾斜角為.
(1)求直線的一般方程；
(2)求線段的中垂線方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設直線的斜率為，則
過令，得，所以，
由直線的點斜式方程，代入可得，，
化簡得，所以所求的直線方程為.
（2）設線段的中垂線斜率為，線段的中點為，設直線的斜率為，
由直線可得，則，
由垂直關系可知，，解得；
令，得，所以，
由中點坐標公式可知，，即，
由直線的點斜式方程，代入可得，，
化簡得，即線段的中垂線方程是.
【典例3】（2023·全國·高三對口高考）過點作直線分別交，的正半軸于，兩點．

(1)求面積的最小值及相應的直線的方程；
(2)當取最小值時，求直線的方程；
(3)當取最小值時，求直線的方程．
【答案】(1)，此時直線的方程為．
(2)
(3)
【詳解】（1）依題意設，，，
設直線的方程為，代入得，
所以，則，當且僅當，即、時取等號，
從而，當且僅當，即、時取等號，
此時直線的方程為，即，
所以，此時直線的方程為．
（2）由（1）可得，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
此時直線的方程為，即．
（3）依題意直線的斜率存在且，設直線，
令，解得，令，解得，所以，，
則，
當且僅當，即，即時，取最小值，
此時直線的方程為．
【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┻^點，傾斜角是直線的傾斜角的一半的直線方程為____________．
【答案】
【詳解】直線的斜率為，
設過點直線的傾斜角為，則的傾斜角為，所以，
其斜率為，因為 所以,則
故所求直線方程為,即,
故答案為：
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）若過點且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點，則中點的軌跡方程為______.
【答案】
【詳解】設，則，連接，
，，即，化簡即得.
故答案為：
【變式31】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）已知、在直線上.
(1)求直線的方程；
(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點在軸上，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為、在直線上，
所以，所以直線的方程為，即.
（2）設直線的傾斜角為，則，
所以，
所以直線的斜率，
對于，令得，即直線與軸交于點，
所以直線的方程為.
【變式4】（2023·江蘇·高二假期作業）已知的三個頂點分別為．
(1)求邊和所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程．
【答案】(1)邊所在直線的方程為，邊所在直線的方程為．
(2)中線所在直線的方程
【詳解】（1）解：，，直線的截距式方程得：，化簡得．
，，由直線的兩點式方程，
得方程為，即，
綜上所述，邊所在直線的方程為，
邊所在直線的方程為．
（2）解：設中點，由線段的中點坐標公式，
可得，，中點坐標為．
再由直線的兩點式方程，得所在直線的方程為，
化簡得，即為所求邊上的中線所在的直線的方程．
題型03兩直線的平行與垂直
【典例1】（2023秋·河南平頂山·高二統考期末）已知，“直線與平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】直線與平行
則，
所以，
解得，
經檢驗，均符合題意，
故選：C.
【典例2】（2023秋·四川涼山·高二寧南中學校考期末）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【詳解】因為，所以，即，
因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為8.
故選：C.
【典例3】（2023春·浙江溫州·高二?？茧A段練習）“”是“直線：與直線：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】依題意，，解得或，
所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知直線，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，則，∴，
所以，
二次函數的拋物線的對稱軸為，
當時，取最小值.
故選：A．
【變式2】（2023·上海·高二專題練習）已知直線，，若，則的值是___________.
【答案】
【詳解】因為，，，
所以當，即時，，，顯然不滿足題意；
當，即時，，
由解得或，
當時，，舍去；
當時，，滿足題意；
綜上：.
故答案為：.
題型04兩直線的交點與距離問題
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知直線：，直線過點且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)直線與直線關于軸對稱，求直線，，所圍成的三角形的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知直線：的斜率為，
直線過點且與直線垂直，則，
故直線的方程為，即；
（2）直線與直線關于軸對稱，則直線的方程為，
即，

如圖示，設直線，，所圍成的三角形為,
則,
聯立，解得，即,
聯立，解得，即,
直線與y軸的交點為，
故直線，，所圍成的三角形的面積為.
【典例2】（2023·高二課時練習）已知點，點P在x軸上使最大，求點P的坐標．
【答案】
【詳解】點關于x軸的對稱點為,如圖所示，若點不在直線上則,
連接并延長交x軸于點P，即為最大值．
直線的方程是，
即.
令，得．
則點P的坐標是.
【典例3】（2023·高三課時練習）已知點，且，.
(1)求直線CD的方程；
(2)求點C的坐標，并求四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)
(2)，四邊形ABCD的面積為
【詳解】（1）直線的斜率為，
由于，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為.
（2）設，則①，
由于，所以直線的斜率為②，
由①②解得，所以.
，
直線的方程為，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為.
，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
所以四邊形的面積為.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）求過直線和的交點并且與原點距離為1的直線l的方程．
【答案】直線l的方程為或．
【詳解】由，解得，即兩直線的交點為.
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，顯然滿足與原點距離為1.
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為.
由題意可得，兩邊平方整理得，即.
即直線l的方程為.
綜上，直線l的方程為或.
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二校聯考期末）已知的三個頂點分別為．求：
(1)邊上的中線所在直線的方程；
(2)的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設AC邊上的中點為D，則，即，
故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即．
（2）邊AC所在直線的方程為：，
且，
點B到直線AC的距離為：，
故的面積：
【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知點，，點在軸上，則的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】作點關于軸的對稱點，則，
過的中點作交軸于點，當點在點時，
，此時；
當，，三點共線時，，
所以的取值范圍是.
故答案為：.

題型05直線中的對稱問題
【典例1】（2023秋·吉林白城·高二?？计谀c關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得.
所以點的坐標為
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）的頂點，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：由，得，
所以點的坐標為，
設點關于直線的對稱點為，
則，解得，
所以，
因為點在直線上，
所以直線的方程為，即，
設點的坐標為，則的中點坐標為，
所以，解得，
所以點的坐標為，
所以，
所以邊所在直線的方程為，即，
故選：B
【典例3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）一束光從光源射出，經軸反射后（反射點為），射到線段上處．
(1)若，求光從出發，到達點時所走過的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范圍；
(3)若，求光從出發，到達點時所走過的最短路程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）關于軸的對稱點，，
由 ，則此時，
所以光所走過的路程即．
（2）對于線段，令其端點，
則，
所以反射光斜率的取值范圍是．
（3）若反射光與直線垂直，則由．
①當，即時，光所走過的最短路程為點到直線的距離，
所以路程．
②當，即時，光所走過的最短路程為線段，其中，
所以．
綜上：．
【典例4】（2023秋·江西吉安·高二吉安三中?？计谀┮阎本€l：3x－y＋3＝0，求：
(1)點P(4,5)關于l的對稱點；
(2)直線x－y－2＝0關于直線l對稱的直線方程；
(3)直線l關于(1,2)的對稱直線．
【答案】（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0.
【詳解】(1)設P(x，y)關于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)，
因為kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1）
又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上，
所以3×＋3＝0. （2）
由（1）（2）得
把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，
所以點P(4,5)關于直線l的對稱點P′的坐標為(－2,7)．
(2)用（3）（4）分別代換x－y－2＝0中的x，y，
得關于l對稱的直線方程為，
化簡得7x＋y＋22＝0.
(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點M(0,3)，關于(1,2)的對稱點M′(x′，y′)，
所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)．
l關于(1,2)的對稱直線平行于l，所以k＝3，
所以對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學?？计谀┰O直線與關于直線對稱，則直線的方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】聯立，得，
取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A
【變式2】（2023·高二課時練習）已知A（3，1），B（-1，2），若的平分線在上，求AC所在的直線方程．
【答案】
【詳解】解：設點關于直線對稱的點，，
則，解得，即．
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為.
直線的方程為．
由得，
解得．
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為
直線的方程為．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知直線，點．求：
(1)點關于直線的對稱點的坐標；
(2)直線關于直線對稱的直線的方程；
(3)直線關于點對稱的直線的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：因為點，設點關于直線的對稱點的坐標為，，
直線，
解得，所以，
（2）解：設直線與直線的交點為，
聯立直線與直線，，解得，所以；
在直線上取一點，如，
則關于直線的對稱點必在直線上，
設對稱點，則，解得，所以，
經過點，所以
所以直線的方程為整理得．
（3）解：設直線關于點對稱的直線的點的坐標為，
關于點對稱點為，
在直線上，
代入直線方程得：，所以直線的方程為：．
【變式4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是_______．
【答案】
【詳解】聯立，解得，
即兩直線的交點為．
在直線上取一點，
設點P關于直線的對稱點為，
則，解得，即．
所以直線MQ的方程為，
即.
故答案為: ．
題型06圓的方程
【典例1】（2023春·河南開封·高二統考期末）已知圓心為的圓經過，兩點，且圓心在直線上．
(1)求圓的標準方程；
(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）的中點為，，所以線段的中垂線方程為，
由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上，
所以它的坐標是方程組的解，解之得
所以圓心的坐標是，圓的半徑，
所以圓的標準方程是．
（2）設所求直線方程為，圓心到直線的距離，
所以，即，所以所求直線方程為．
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）求經過點和坐標原點，并且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】
【詳解】法一（待定系數法）：
設圓的標準方程為，
則有，解得，
∴圓的標準方程是．
法二（幾何法）：
由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為．
∵弦的垂直平分線過圓心，
∴由，得，
即圓心坐標為，半徑r＝＝5．
∴圓的標準方程是．
【典例3】（2023春·河南·高二校聯考階段練習）已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．
(1)求直線的方程；
(2)求圓的標準方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題設，
代入得，于是的方程為.
（2）設圓心，則，
即，
解得：，
，又圓心，
圓的標準方程為.
【變式1】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┮阎獔AC的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【答案】B
【詳解】設圓心，因為，所以，
解得，則半徑為，圓心.
即圓C的標準方程為.
故選：B
【變式2】（2023春·安徽·高二校聯考開學考試）已知直線過點，且與軸分別交于點，為等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)設為坐標原點，點在軸負半軸，求過，，三點的圓的一般方程．
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）因為直線過點，所以設直線為，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因為為等腰直角三角形，所以，
得，
解或，
當時直線過原點，不滿足題意，
故直線的方程為或，
即或.
（2）由題意可知直線的方程為，即，
設圓的方程為，
將，，代入
得，解得，
所以所求圓的方程為.
【變式3】（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）已知圓的圓心在直線上，且圓過點，．
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與圓關于直線對稱，求圓的標準方程．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：設圓C的方程為，
已知圓的圓心在直線上，且圓過點，，
則，解得，
即圓C的方程為，
∴圓C的標準方程為．
（2）解：由（1）得圓C的圓心，半徑，
設圓的圓心坐標為，∵圓與圓C關于直線對稱，
則有，解得，即．
∴圓的標準方程為．
題型07切線和切線長問題
【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三?？计谀┮阎本€經過點，且與圓相切，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】直線經過點，且與圓相切，則,
故直線的方程為，即.
故選：A.
【典例2】（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學?？茧A段練習）已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】圓，圓心，半徑，
設圓心到直線：的距離為，則，
易得，則，
故當圓心到直線上點的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，
因為，所以，
故最小值是．
故選：D.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知為圓C：上任意一點，且點．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】【小問1】最大值為，最小值為
【小問2】最大值為，最小值為
【小問3】最大值為9，最小值為1
【詳解】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點，當M與A重合時取得最小值，
即，
與B重合時取得最大值即，故最大值為，最小值為；
（2）易知，由圖形知當與圓C相切時取得最值，如圖所示.
可設，則C到其距離為，解得，
故最大值為，最小值為
（3）設，如圖所示，即過點M的直線的截距，如圖所示，當該直線與圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.
【變式1】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知圓為圓O上位于第一象限的一點，過點M作圓O的切線l．當l的橫縱截距相等時，l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，點在第一象限，故過點M的的切線l斜率存在；
點在圓上，故，即
故直線l的方程為：
令令
當l的橫縱截距相等時，
又
解得：
即，即
故選：A
【變式2】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）已知圓心在軸上的圓經過兩點、．
(1)求此圓的標準方程；
(2)求過點且與此圓相切的直線的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：設圓心的坐標為，由可得，解得，
則圓的半徑為，
所以，圓的標準方程為.
（2）解：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，
圓心到直線的距離為，此時直線與圓相切，合乎題意；
若直線的斜率存在，設直線的方程為，即，
由題意可得，解得，
此時，直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
【變式3】（2023秋·廣東清遠·高二統考期末）已知的頂點分別為．
(1)求外接圓的方程；
(2)設P是直線上一動點，過點P作外接圓的一條切線，切點為Q，求最小值及點P的坐標．
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）設外接圓的方程為，
將分別代入圓方程可得，解得，
所以△ABC外接圓的方程為.
（2）外接圓的圓心為,半徑；
因為，所以要使最小，只需最小即可，
當時，最小，所以，
所以；
設，則；
解得，
即點P的坐標為.
題型08弦長問題
【典例1】（2023秋·天津紅橋·高三統考期末）若直線被圓截得的弦長為4，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由可得，
即圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
所以，即，解得，
故選：A
【典例2】（2023·海南·統考模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則_________．
【答案】
【詳解】由直線，可得斜率，
因為且直線過點，所以直線的斜率為，
所以的方程為，
又由圓，即，
可得圓的圓心坐標為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
所以弦長.
故答案為：.
【典例3】（2023·江西·統考模擬預測）已知直線，圓，，直線和圓交于，兩點．
(1)當的中點為時，求圓的方程；
(2)已知圓的方程與（1）中所求圓的方程相同，若斜率存在且不為0的直線過點，與圓交于，兩點，為軸正半軸上一點，，，且直線與線段相交，求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）圓即，所以圓心，
當的中點為時，所以，解得，
，，
圓的方程為；
（2）設直線的方程為，、，
聯立，消去得，
，，
設，，對恒成立，
，，
，
，
，，
對恒成立，
，解得，
，，
化簡得，
解得或，
當時，直線與軸的交點為，不符合題意，
當時，直線與軸的交點為，符合題意，
故直線的斜率為．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）以點為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點，則的取值范圍為________.
【答案】
【詳解】對于直線l： 有 ，
令 ，解得 ，所以直線l過定點 ，
又當 時， 不存在， 所以直線l不過圓心，
，所以點Q在圓P內，
當是A，B的中點時，最短，又圓的直徑為6， .
故答案為： .
【變式2】（2023春·河北邯鄲·高三校聯考開學考試）若直線與圓相交于A，B兩點，當取得最小值時，直線l的斜率為______.
【答案】2
【詳解】由題意，得圓C的圓心，半徑，直線l過定點，
因為，所以點P在圓C內.
所以當時，取得最小值，此時的斜率，故l的斜率為2.
故答案為：2.
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）已知圓，點.
(1)求過點P的圓C的切線l的方程；
(2)若直線m過點P且被圓C截得的弦長為8，求直線m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：當直線斜率不存在時，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，不成立；
當直線的斜率存在時：設直線方程為，即，
圓心到直線的距離等于半徑為：，
解得，所以直線方程為：，
即；
（2）當直線斜率不存在時，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，則直線被截的弦長為，成立；
當直線的斜率存在時：設直線方程為，即，
圓心到直線的距離為：，
直線被截的弦長為，解得，
所以直線方程為：，
即，
綜上：直線方程為：或
【變式4】（2023春·河南安陽·高二安陽一中校聯考開學考試）已知圓過兩點且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)已知直線被圓截得的弦長為，求實數的值.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設，半徑為，
所以圓的方程為，
所以
解得
所以圓的方程為.
（2）圓心到直線的距離
由垂徑定理得，
解得或.
題型09三角形面積問題
【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知圓，M是y軸上的動點，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點，
(1)如果點M的坐標為，求直線MA、MB的方程；
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【詳解】（1）由題意可知顯然切線斜率存在，故設過點的圓C的切線方程為，則圓心C到切線距離等于半徑1，即或.
則直線MA方程為，MB的方程為.或直線MA方程為，MB的方程為.
（2）設M，因MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點，
則，則以M為圓心，為半徑的圓的方程為：，將其與圓C方程相減得直線AB方程：.則中，AB邊上的高，即C到直線AB距離為：，
則由垂徑定理，，
則，注意到函數在上單調遞增，，則，當且僅當時取等號.
則面積的最大值為.
【典例2】（2023春·江西·高二校聯考開學考試）已知圓：，為圓上任意一點，
(1)求中點的軌跡方程.
(2)若經過的直線與的軌跡相交于，在下列條件中選一個，求的面積.
條件①：直線斜率為；②原點到直線的距離為.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）依題意，設，
因為是的中點，，
所以,
將代入圓：，得，化簡得，
故的軌跡方程為.
（2）記的軌跡為圓，則，半徑為，
選擇①：
因為直線斜率為，直線（即直線）經過，
所以直線的方程為，即，
所以點到直線的距離為，
所以，
又點到直線的距離為，
所以.
選擇②：
當直線斜率不存在時，由直線（即直線）經過，得直線為，
此時原點到直線的距離為，與原點到的距離為矛盾，舍去；
當直線斜率存在時，設直線為，即，
所以原點到直線的距離為，解得，
所以直線為，即，
此時點到直線的距離為，
所以，
所以.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知直線和的交點為，求：
(1)以點為圓心，且與直線相交所得弦長為12的圓的方程；
(2)直線過點，且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）直線和的交點為，
由，得，即，
點到直線的距離，
設所求圓的半徑為，
由垂徑定理得弦長，解得，
所以所求圓的方程為；
（2）設過點，且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積為的直線的斜率為，則，
所以的方程為，即，
它與兩個坐標軸的交點分別為，，
則，解得或，
當時，直線的方程為，
當時，直線的方程為，
綜上，直線的方程為或．
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學校考期末）已知直線.
(1)若直線不經過第四象限，求k的取值范圍；
(2)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值和此時直線l的方程.
【答案】(1)
(2)4；
【詳解】（1）直線可化為，
要使直線不經過第四象限，則,
解得，
∴k的取值范圍為；
（2）由題意可得中取得,
取得,
故，
當且僅當時，即時取“=”，
此時S的最小值為4，直線l的方程為﹒
【變式2】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）已知圓經過，，三點，且交直線于，兩點.
(1)求圓的標準方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設圓,
則
∴圓
（2）因為到直線的距離為，
圓心到直線的距離為，
故弦長，
所以.
題型10圓與圓的位置關系
【典例1】（2023秋·高二課時練習）當為何值時，兩圓和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外離.
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【詳解】（1）設圓，半徑為，得，
圓心，.
，半徑為，得，圓心，.
圓心距，
因為兩圓外切，則，所以，
解得或.
（2）因為兩圓相交，則，
即，所以，解得或.
（3）因為兩圓外離，則，即 ，
所以，解得或.
【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．
(1)求圓的方程；
(2)若圓與圓相交于A、B兩點，求弦長．
【答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）曲線與軸的交點為，與軸的交點為,，,．
可知圓心在直線上，故可設該圓的圓心為，
則有，解得，
故圓的半徑為，所以圓的方程為；
（2）的方程為．即
圓D：，即
兩圓方程相減，得相交弦AB所在直線方程為
圓C的圓心到直線距離為，
所以.
【變式1】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學?？计谥校┮阎獔A經過，圓.
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與圓相切，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設圓，因為圓過三點，
則，所以，所以，
即；
（2）圓化為標準方程為，
因為圓與圓的半徑相等，故兩圓不會內切，只有外切，且，
則有，解得.
【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓：與圓：，當m為何值時，
(1)兩圓外切；
(2)兩圓內含．
【答案】(1)或；
(2)
【詳解】（1）方程可化為，
所以圓的圓心坐標為，半徑，
方程可化為，
所以圓的圓心坐標為，半徑，
因為圓與圓外切，
所以，
所以
所以或；
（2）因為圓與圓內含，
所以，
所以，
所以.
題型11兩圓公共線方程和公共弦長
【典例1】（2023秋·湖南張家界·高二統考期末）已知兩圓，．
(1)取何值時兩圓外切？
(2)當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
【答案】(1)
(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為，兩圓的公共弦的長為
【詳解】（1）因為圓的標準方程為，
所以兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.
當兩圓外切時，圓心距為半徑之和，則，結合，
解得；
（2）當時，圓的一般方程為
兩圓一般方程相減得：，
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為
圓圓心到的距離為
故兩圓的公共弦的長為．
【典例2】（2023·高二課時練習）已知圓與圓．
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：圓：化為標準方程為，
，
圓的圓心坐標為，半徑為，
，
，兩圓相交；
（2）解：由圓與圓，
將兩圓方程相減，可得，
即兩圓公共弦所在直線的方程為；
（3）解：由，解得，
則交點為，，
圓心在直線上，設圓心為，
則，即，解得，
故圓心，半徑，
所求圓的方程為．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓和動圓交于A，B兩點．
（1）若直線過原點，求a；
（2）若直線交軸于Q，當面積最小時，求．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由圓和動圓，
可得圓心坐標分別為，半徑都是，
因為圓和動圓交于A，B兩點，
可得圓心距小于半徑之和，,即，解得，
又由兩圓相減，可得公共弦直線，
因為直線過原點，可得，解得，檢驗成立，
所以實數的值為.
（2）由直線，
令，即，解得，即
則，
所以當且僅當時取得等號，且滿足，
此時直線，
又由圓心到直線距離為，所以弦長為.
【變式1】（2023秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學校?？计谀┮阎獔A過點，且圓心在直線，圓．
(1)求圓的標準方程；
(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．
【答案】(1)
(2)直線方程為，公共弦長為
【詳解】（1）由題意可設圓心，
則，
解得，
此時圓的半徑為，
所以圓的標準方程為：；
（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，
即，
化簡得，
所以圓的圓心到直線的距離為，
則，
解得，
所以所求公共弦長為．
所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，公共弦長為
【變式2】（2023春·甘肅蘭州·高二?？奸_學考試）已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
(1)求證：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長．
【答案】(1)證明見解析
(2)4x＋3y－23＝0；公共弦長
【詳解】（1）圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圓心C1（1，3），半徑，
C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圓C2（5，6），半徑，
|C1C2|＝，
∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，
∴圓C1和圓C2相交．
（2）∵兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，
∴兩圓相減，得圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程為：
8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．
圓心C2（5，6）到直線4x＋3y－23＝0的距離，
∴圓C1和圓C2的公共弦長．
【變式3】（2023秋·江西吉安·高二江西省泰和中學校考期末）已知圓和相交于兩點．
(1)求直線的方程，
(2)求弦長
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為圓，圓，
兩圓方程相減得 即，
所以直線的方程為.
（2）由圓可得，
所以圓心，半徑，
圓心到直線：的距離是，
所以.
【變式4】（2023春·四川達州·高二?？计谥校┮阎獌蓤A.
求：（1）它們的公共弦所在直線的方程；
（2）公共弦長.
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）聯立兩圓的方程：；
兩式相減得：，
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為．
（2）由題可知，圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以公共弦長為：．
題型12與圓有關的最值問題
【典例1】（2023秋·廣西河池·高二統考期末）已知圓與圓關于直線對稱.
(1)求圓的標準方程；
(2)直線與圓相交于兩點，且的外接圓的圓心在內部，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設，則，
解得
所以圓的標準方程為；
（2）因為的外接圓的圓心在內部，
所以是銳角三角形，
又是以為腰的等腰三角形，
，
令到的距離為，則，
，
解得：.

【典例2】（2023春·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，過點且互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于點，與圓交于點．
(1)若，求的斜率；
(2)記中點為，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，直線的斜率存在，設為，所以，
由，半徑知，圓心到的距離為，
所以，解得，
因為與垂直，所以的斜率為．
（2）當直線的斜率不存在時，
直線，與聯立可得，，，
此時，與重合，由，可得，且，
所以．
當直線的斜率存在，設，，
所以，即，
所以恒成立，，，
所以，
因為，，所以，
所以，而到的距離為，
所以，
令，則，
所以，
顯然，所以由與圓相交得，
故，所以，所以，故，
綜上：．
【典例3】（2023秋·福建福州·高二福建省福州第一中學校考期末）已知圓.
(1)設點，過點M作直線l與圓C交于A，B兩點，若，求直線l的方程；
(2)設P是直線上一點，過P作圓C的切線PE，PF，切點分別為E，F，求的最小值.
【答案】(1)或；
(2)50.
【詳解】（1）圓的圓心，半徑，
因為直線l被圓C截得的弦AB長為8，則圓心C到直線l的距離為，
因為點到直線的距離為3，因此直線l的方程可為：，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：，即，
則有，解得，直線l的方程為：，即，
所以直線l的方程為或.
（2）由（1）知，圓心到直線的距離，
依題意，，≌，PC垂直平分弦EF，如圖，
四邊形面積，
于是
，當且僅當垂直于直線時取等號，
所以的最小值為50.
【變式1】（2023春·湖北·高二校聯考階段練習）已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個交點；
(2)若直線和圓交于兩點，求的最小值及此時直線的方程.
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值為，此時直線方程為
【詳解】（1）直線，即，
聯立解得所以不論取何值，直線必過定點.
圓，圓心坐標為，半徑，
因為，所以點在圓內部，
則直線與圓恒有兩個交點.
（2）直線經過圓內定點，圓心，
記圓心到直線的距離為d.
因為，所以當d最大時，取得最小值，
所以當直線時，被圓截得的弦最短，
此時，
因為，所以直線的斜率為，又直線過點，
所以當取得最小值時，直線的方程為，即，
綜上：最小值為，此時直線方程為.

【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓,,若斜率為的直線l與圓C相交于不同的兩點，求的取值范圍.
【答案】
【詳解】設直線l的方程為，
由題意直線l與圓C相交于不同兩點，故，解得﹒
聯立，
消去y得，設
則，，
，
由于，∴ ，
故的取值范圍是．
題型13軌跡方程
【典例1】（2023春·河南南陽·高二鎮平縣第一高級中學?？茧A段練習）已知圓：．
(1)求圓的圓心坐標及半徑；
(2)設直線：
①求證：直線與圓恒相交；
②若直線與圓交于，兩點，弦的中點為，求點的軌跡方程，并說明它是什么曲線．
【答案】(1)圓心坐標為，半徑長為2
(2)①證明見解析；②的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點）
【詳解】（1）由圓的標準方程知，圓的圓心坐標為，半徑長為2．
（2）①證明：直線恒過點，
因為，所以點在圓內部，即直線與圓恒相交．
②解：設，其中，則，，
由垂徑定理知，，

所以，即，整理得，
所以點的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點）．
【典例2】（2023春·上海靜安·高二?？计谥校┮阎獔A的方程為，過點作直線l交圓于A、B兩點．
(1)當直線l的斜率為1時，求弦AB的長；
(2)當直線l的斜率變化時，求動弦AB的中點Q的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)，其中.
【詳解】（1）直線l的斜率為1時，此時過P的直線可表示為：，
設圓心到的距離為d,圓的半徑為r，則.
由題意可得r=3，，所以.
（2）
如圖所示，根據垂徑定理，易知AB中點Q與O的連線垂直于AB，即可得Q在以OP為直徑的圓上，同時Q應在圓內，即圓弧.
設圓心為C，則，，則Q在上，與聯立可得
故Q軌跡方程為，其中.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知圓，直線．
(1)判斷直線與圓的位置關系；
(2)設直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；
(3)設直線與圓相交于，兩點，求弦中點的軌跡方程．
【答案】(1)相交
(2)或
(3)
【詳解】（1）直線l：，過定點，
圓C的圓心到該點的距離為，所以直線l過圓內一點，直線與圓相交.
（2）設圓心到直線的距離為d，因為，則，
解得，所以，，
直線方程為或.
（3）直線l：，過定點，
設弦AB的中點，則，
所以，即，
所以弦AB的中點的軌跡方程為.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知圓.過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程.
【答案】，其中.
【詳解】
當直線斜率存在時，設直線，，其中點，
聯立方程組，整理得，
則，解得或，
且，則
可得，
消去，可得，其中，
當直線斜率不存在時，線段AB的中點為，符合，
故線段AB的中點M的軌跡方程為，其中.
【變式2】（2023春·湖北·高二宜昌市三峽高級中學校聯考期中）已知圓.
(1)若直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；
(2)從圓外一點向圓引一條切線，切點為，為坐標原點，滿足，求點的軌跡方程.
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）根據題意，圓的方程為：，其圓心為，半徑為，
當直線的斜率不存在時，其方程為，
此時直線與圓的交點為，，，符合題意；
當直線的斜率存在時，設其方程為，即，
則圓心到直線的距離，解得，
所以直線的方程為，
綜上，直線的方程為或；
（2）如圖，為圓的切線，連接，，則，
所以為直角三角形，即.
設，由（1）知，，
因為，所以，
化簡得點的軌跡方程為.
題型14圓的對稱問題
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統考期末）若 圓被直線平分，則圓的半徑為__________.
【答案】
【詳解】若圓被直線平分，則直線過圓心，
圓的圓心為，即，
解得：，
則圓，則圓的半徑為.
故答案為：
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知圓關于直線成軸對稱圖形，則________；的取值范圍是________.
【答案】
【詳解】因為圓可化為，所以其圓心為，
由題意知，直線過圓心，所以，得，
而圓的半徑滿足，故．
故答案為：；.
【典例3】（2023秋·高二課時練習）求圓關于直線的對稱圓方程.
【答案】
【詳解】由可得，
故圓心坐標為 ，半徑為1，
設點P關于直線的對稱點為 ，
則有 ，解得，故 ，
所以圓關于直線的對稱圓的方程為：.
【變式1】（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學校考階段練習）若直線為圓的一條對稱軸，則__________．
【答案】1
【詳解】由題可知，圓心為，
因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，
即，解得．
故答案為：1.
【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）圓關于直線對稱的圓的標準方程為___________.
【答案】
【詳解】圓，即，
表示以為圓心，半徑為1的圓，
設圓心關于直線對稱點的坐標為，
由，
解得，，
故圓心關于直線對稱點的坐標為，
故對稱圓的圓心為，
因為對稱圓半徑不變，所以對稱圓半徑為1，
故所求對稱圓方程為.
故答案為：.
三、數學思想
01函數與方程的思想
【典例1】（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】圓，設，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
【典例2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）在平面直角坐標系中，圓和外切形成一個8字形狀，若，為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A，P），則的最大值為______．
【答案】/
【詳解】圓，，為圓上兩點，
可得，解得，，所以，圓，
滿足圓和外切，
為兩圓圓周上任一點（不同于點，，如果取得最大值，可知在上，設，
則,,，當且僅當時取得最大值．
故答案為：

【典例3】（2023·高二課時練習）已知，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是______．
【答案】
【詳解】設，則，.
因為，
所以，，
整理可得，，
即.
所以，點M的軌跡是圓，方程為.
故答案為：.
02數形結合思想
【典例1】（2022秋·廣東肇慶·高二?？计谥校┮阎獌牲c，過點的直線與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意：如下圖所示：
所以，，則，
若直線的傾斜角，則，所以，
故選：.
【典例21】（2022秋·湖南懷化·高二校考階段練習）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設直線交線段于點，記點，如下圖所示：
當直線從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，
此時直線的斜率；
當直線從點運動到點（不包括點）時直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，
此時直線的斜率.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：C.
【典例3】（2023春·湖南岳陽·高二統考期末）已知圓，過點的直線被該圓所截的弦長的最小值為______.
【答案】
【詳解】將圓的一般方程化為
設圓心為，直線過點，與圓交于，兩點，則，半徑，

設圓心到直線的距離為，則弦長 ，
當直線與所在的直線垂直時最大，此時最小，
這時，
所以最小的弦長 ，
故答案為：.
03分類討論思想
【典例1】（2023春·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習）已知在平面直角坐標系xOy中，，，平面內動點P滿足．
(1)求點P的軌跡方程；
(2)點P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點，E為直線l：x＝4上的動點，直線CE，DE與曲線的另一個交點分別為M，N，直線MN與x軸交點為Q，求點Q的坐標．
【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）設點為曲線上任意一點，
因為，，，
則，
化簡得．
（2）由題意得，，
設，則直線的方程為，
直線的方程為，
聯立得，
則，
即，，
所以
聯立得，
則，即，，
所以
當時，直線的斜率，
則直線的方程為，
即，所以，
當時，直線垂直于軸，方程為，也過定點．
綜上，直線恒過定點．
而，
化簡得，解得或，
當時，直線為，顯然過點，不符合題意，舍去，
故，直線為，顯然過定點，而直線也過，
綜上：直線過定點.
04轉化與化歸思想
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）求函數的最大值及最小值．
【答案】最大值為，最小值為0
【詳解】解：表示過，的直線的斜率，
由幾何意義，即過定點與單位圓相切時的切線斜率為最值，
所以設切線的斜率為，則直線方程為，即，
則，解得或，
所以函數的最大值為，最小值為0．
【典例2】（2020·吉林長春·高二長春外國語學校校考期中）已知點在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為.
【詳解】（1）設，則，可視為直線在軸上的截距，
∴的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，
即直線與圓相切時在軸上的截距.
由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，
解得或，
∴的最大值為，最小值為.
（2）可視為點與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.
設過原點的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或.
∴的最大值為，最小值為
（3）求它的最值可視為求點 到定點的距離的最值，可轉化為圓心到定點的距離與半徑的和或差.又圓心到定點的距離為，
∴的最大值為，最小值為.
【典例3】（2020秋·福建·高二校考期中）已知點在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值與最小值；
（3）求的最大值與最小值
【答案】（1）的最大值是，最小值為；（2） 的最大值為51，的最小值為11；（3）的最大值為，最小值為．
【詳解】（1）圓即為，
可得圓心為，半徑為，
設，即，
則圓心到直線的距離，
即，
平方得，
解得：，
故的最大值是，最小值為；
（2）表示點與的距離的平方加上2，
連接，交圓于，延長，交圓于，
可得為最短，且為，
為最長，且為，
則 的最大值為，
的最小值為；
（3）圓即為，
令，，
則，
，
，
的最大值為，最小值為．
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