資源簡介

第09講 2.5.1直線與圓的位置關系
課程標準 學習目標
①理解與掌握直線與圓的位置關系的判定方法的代數法與幾何法。 ②會求與圓有關的直線方程與圓的方程。 ③會根據直線與圓的位置關系求坐標、長度、面積、周長等。 ④會求待定參數并能解決與之相關的綜合問題。 通過本節課的學習，會判斷直線與圓的位置關系，會求切線方程、弦長及弦所在的直線方程，會根據直線與圓的位置求待定參數及圓的方程，能解決與直線、圓有關的綜合問題.
知識點01：直線與圓的位置關系
1、直線與圓的三種位置關系
直線與圓 的位置關 系的圖象
直線與圓的 位置關系 相交 相切 相離
2、判斷直線與圓的位置關系的兩種方法
2.1幾何法（優先推薦）
圖象
位置關系 相交 相切 相離
判定方法 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相交。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相切。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相離。
2.2代數法
直線：；圓
聯立消去“”得到關于“”的一元二次函數
①直線與圓相交
②直線與圓相切
③直線與圓相離
【即學即練1】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）直線與曲線的交點個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【詳解】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，
聯立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.
聯立，解得或，所以直線與有兩個交點.
所以直線與曲線的交點個數為2個.
故選：B
知識點02：直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長為的常用方法
1、幾何法（優先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長公式：
2、代數法
直線：；圓
聯立消去“”得到關于“”的一元二次函數
弦長公式：
【即學即練2】（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯考期末）已知直線：與圓交于兩點，則____________.
【答案】
【詳解】由圓，可得圓心坐標為，半徑為，
又由圓心到直線的距離為，
根據圓的弦長公式，可得.
故答案為：.
知識點03：直線與圓相切
1、圓的切線條數
①過圓外一點，可以作圓的兩條切線
②過圓上一點，可以作圓的一條切線
③過圓內一點，不能作圓的切線
2、過一點的圓的切線方程（）
①點在圓上
步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則
步驟二：利用點斜式求切線（步驟一中的斜率+切點）
②點在圓外
記切線斜率為，利用點斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出
（注意若此時求出的只有一個答案；那么需要另外同理切線為）
3、切線長公式
記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；
【即學即練3】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為______.
【答案】
【詳解】圓的圓心為，
在直線上取一點P，過P向圓引切線，設切點為A．連接．
在中，．要使最小，則應最小．
又當PC與直線垂直時，最小，其最小值為．
故的最小值為．

故答案為：.
知識點四：圓上點到直線的最大（小）距離
設圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
【即學即練4】（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知直線上的兩點，且，點為圓上任一點，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】把圓變形為，
則圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
則圓上的點到直線的距離的最大值為，又，
∴的面積的最大值為．
故選：A．
題型01判斷直線與圓的位置關系
【典例1】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）坐標軸與圓的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（2023春·上海黃浦·高二上海市向明中學校考期中）圓上到直線距離為的點有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．無數個
【典例3】（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知直線：與圓：．則下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．直線與圓相離
C．圓心到直線距離的最大值是
D．直線被圓截得的弦長最小值為
【變式1】（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知圓，直線，則圓與直線（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
題型02由直線與圓的位置關系求參數
【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·河北·校聯考一模）直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，直線，若直線與圓總有交點，則的取值范圍為______
【變式1】（2023·湖南益陽·安化縣第二中學校考三模）直線與曲線恰有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．， D．
【變式2】（2023春·上海靜安·高二統考期末）過點的直線與圓相切，則直線的斜率為______.
題型03直線與圓相交問題
【典例1】（2023·高二課時練習）已知O為原點，直線與圓交于、兩點．
(1)若，求的值；
(2)若，求圓的面積．
【典例2】（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學校考階段練習）已知點，，曲線任意一點滿足．
(1)求曲線的方程；
(2)設直線與圓交于、兩點，是否存在實數，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為區間，且,則（ ）
A． B． C． D．2
【變式2】（2023·高三課時練習）已知圓，過點的直線交圓于、兩點，且，則直線的方程是______.
題型04求切線方程
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）過點作圓：的切線，則切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）經過點且與圓相切的直線方程為__________．
【典例3】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）已知圓經過點和，且圓關于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程．
【變式1】（2023春·天津西青·高二天津市西青區楊柳青第一中學校考階段練習）過點作圓的切線，則切線的方程為__________.
【變式2】（2023春·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學校考階段練習）已知一圓的圓心為，且該圓被直線截得的弦長為.
(1)求該圓的方程；
(2)求過點的該圓的切線方程.
【變式3】（2023秋·高二課時練習）在直角坐標系中，以原點為圓心的圓與直線相切
(1)求圓的方程；
(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
題型05切線長（切點弦）問題
【典例1】（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學校考階段練習）過直線上的一點作圓的兩條切線，，切點分別為，當直線，關于對稱時，線段的長為（ ）
A．4 B． C． D．2
【典例2】（2023春·湖北·高三統考階段練習）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為__________.
【典例3】（2023春·貴州·高二遵義一中校聯考階段練習）已知圓，點A是直線上的一個動點，過點A作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點__________.
【變式1】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為______．
【變式3】（2023·全國·高二專題練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為 、，則直線的方程為_______．
題型06已知切線求參數
【典例1】（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，若點在直線上，則當，變化時，直線的斜率的取值范圍是___________.
【典例2】（2023·天津南開·統考二模）若直線與圓相切，則______.
【變式1】（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預測）若直線，與相切，則最大值為（ ）
A． B． C．3 D．5
【變式2】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考二模）已知直線：上存在點，使得過點可作兩條直線與圓：分別切于點，，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型07圓的弦長與中點弦問題
【典例1】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）過點的直線被圓截得的弦長最短，則直線的斜率是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【典例2】（2023春·上海黃浦·高二統考期末）設直線與圓相交所得弦長為，則______；
【典例2】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為__________.
【變式1】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知圓，直線與圓相交于，兩點，則______．
【變式2】（2023·天津·三模）已知直線平分圓，則圓中以點為中點的弦弦長為________
【變式3】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）圓經過點，和直線相切，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)求圓在軸截得的弦長．
題型08已知圓的弦長求方程或參數
【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知圓，過圓內一點的直線被圓所截得的最短弦的長度為2，則（ ）
A．2 B． C． D．3
【典例2】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）已知圓過兩點，，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)過點的直線交圓于兩點，當時，求直線的方程．
【典例3】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知圓經過點、，圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點，，求實數的值.
【變式1】（2023春·浙江·高二校聯考期末）若直線截圓所得弦長，則的值為______.
【變式2】（2023秋·山東濱州·高二統考期末）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點．
(1)求圓的方程；
(2)已知過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．
【變式3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區高中校考期中）已知圓：，直線：.
(1)設直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程；
(2)設直線與圓相交于兩點，求弦中點的軌跡方程.
題型09圓內接三角形面積
【典例1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）已知直線與圓交于，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是___________.
【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期末）已知圓．
(1)若一直線被圓所截得的弦的中點為，求該直線的方程；
(2)設不過圓心的直線與圓交于，兩點，把的面積表示為的函數，并求的最大值．
【變式1】（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系上，圓，直線與圓交于兩點，，則當的面積最大時，（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·江西·統考模擬預測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為___________.
題型10直線與圓的實際應用
【典例1】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為、）和圓弧構成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.

(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程；
(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？
【典例2】（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學校聯考期末）如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距O島千米處，島在島的正東方向距島20千米處以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓經過、、三點．
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓區域內有未知暗礁，現有一船在島的南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
【變式1】（2023秋·高一單元測試）黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國萬平方千米的大地之下擁有超過座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發，為山體隧道設計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.
(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓弧的方程.
(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優化了設計方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門 并說明理由.
【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于__________m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標系，則圓拱所在圓的標準方程是__________．
（可用參考數據：．）
題型11直線與圓中的定點定值問題
【典例1】（多選）（2023·全國·模擬預測）已知圓，直線：，則（ ）
A．存在，使得與圓相切
B．對任意，與圓相交
C．存在，使得圓截所得弦長為1
D．對任意，存在一條直線被圓截，所得弦長為定值
【典例2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是___________.
【變式1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）直線與圓相交于，兩點，則的最小值為（　　）
A． B．2 C． D．4
【變式2】（2023春·海南·高二統考學業考試）若直線：與圓：交于，兩點，且直線不過圓心，則當的周長最小時，實數（ ）
A． B． C．1 D．2
題型12根據直線與圓位置關系求距離最值
【典例1】（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學校聯考期末）已知直線：與軸、軸分別交于，兩點，動直線：和：交于點，則的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·廣西·校聯考模擬預測）已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知點是直線上的動點，過點作圓：的兩條切線，切點分別為，則點到直線的距離的最大值為_______.
【變式1】（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是___________.
【變式3】（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知直線與圓有公共點，且與直線交于點，則的最小值是__________．
題型13直線與圓綜合問題
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）在平面直角坐標系中，圓過點，，且圓心在上．
(1)求圓的方程；
(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）（1）求函數的最大值和最小值；
（2）求函數的值域；
（3）求函數的值域；
（4）已知，求的最值．
【典例3】（2023春·湖北·高二校聯考階段練習）已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個交點；
(2)若直線和圓交于兩點，求的最小值及此時直線的方程.

【典例4】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考期中）已知過點的直線與圓相交于、兩點，是弦的中點，且直線與直線相交于點．
(1)當直線與直線垂直時，求證：直線經過圓心；
(2)當弦長時，求直線的方程；
(3)設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．
【變式1】（2023秋·高一單元測試）已知直線：與圓：相交于不重合的，兩點，是坐標原點，且，，三點構成三角形．

(1)求的取值范圍；
(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．
【變式2】（2023秋·江西萍鄉·高二統考期末）已知直線過點，且__________.
在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答.
①與圓相切；②傾斜角的余弦值為；③直線的一個方向向量為.
(1)求直線的一般式方程；
(2)若直線與曲線相交于兩點，求弦長.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【變式3】（2023春·四川內江·高二四川省資中縣第二中學校考開學考試）已知點，設直線：（，）與圓相交于異于點的，兩點.
(1)若，求的值；
(2)若，且直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的斜率的值；
(3)當時，是否存在一定圓，使得直線與圓相切 若存在，求出該圓的標準方程；若不存在，請說明理由.
二、多選題
9．（2023春·廣西·高二校聯考階段練習）圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切的圓的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知圓，直線，則（ ）
A．直線恒過定點
B．直線能表示平面直角坐標系內每一條直線
C．對任意實數，直線都與圓相交
D．直線被圓截得的弦長的最小值為
三、填空題
11．（2023·天津武清·天津市武清區楊村第一中學校考模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則________．
12．（2023·全國·高三對口高考）若直線與曲線有公共點，則實數的取值范圍是__________．
四、解答題
13．（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）已知圓過三個點，過點引圓的切線，求：
(1)圓的一般方程；
(2)圓過點的切線方程.
14．（2023秋·浙江紹興·高二統考期末）已知，，，圓經過三點.
(1)求圓C的方程，并寫出圓心坐標和半徑的值；
(2)若經過點的直線l與圓C交于兩點，求弦長的取值范圍.
B能力提升
1．（2023秋·高一單元測試）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
2．（2023秋·高二課時練習）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
3．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為________．
5．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期末）已知圓被直線截得的兩條弦長分別為，則的最大值為__________．
C綜合素養
1．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知圓過點，，.
(1)求圓的標準方程；
(2)若過點且與軸平行的直線與圓交于點，，點為直線上的動點，直線，與圓的另一個交點分別為，（與不重合），證明：直線過定點.
2．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）已知圓心在軸上的圓與直線切于點.
(1)求圓的標準方程；
(2)已知，經過原點且斜率為正數的直線與圓交于，.求的最大值．
第09講 2.5.1直線與圓的位置關系
課程標準 學習目標
①理解與掌握直線與圓的位置關系的判定方法的代數法與幾何法。 ②會求與圓有關的直線方程與圓的方程。 ③會根據直線與圓的位置關系求坐標、長度、面積、周長等。 ④會求待定參數并能解決與之相關的綜合問題。 通過本節課的學習，會判斷直線與圓的位置關系，會求切線方程、弦長及弦所在的直線方程，會根據直線與圓的位置求待定參數及圓的方程，能解決與直線、圓有關的綜合問題.
知識點01：直線與圓的位置關系
1、直線與圓的三種位置關系
直線與圓 的位置關 系的圖象
直線與圓的 位置關系 相交 相切 相離
2、判斷直線與圓的位置關系的兩種方法
2.1幾何法（優先推薦）
圖象
位置關系 相交 相切 相離
判定方法 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相交。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相切。 ； 。 圓心到直線的距離：。 圓與直線相離。
2.2代數法
直線：；圓
聯立消去“”得到關于“”的一元二次函數
①直線與圓相交
②直線與圓相切
③直線與圓相離
【即學即練1】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）直線與曲線的交點個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【詳解】因為曲線就是或，表示一條直線與一個圓，
聯立，解得，即直線與直線有一個交點；此時，沒有意義.
聯立，解得或，所以直線與有兩個交點.
所以直線與曲線的交點個數為2個.
故選：B
知識點02：直線與圓相交
記直線被圓截得的弦長為的常用方法
1、幾何法（優先推薦）
①弦心距（圓心到直線的距離）
②弦長公式：
2、代數法
直線：；圓
聯立消去“”得到關于“”的一元二次函數
弦長公式：
【即學即練2】（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯考期末）已知直線：與圓交于兩點，則____________.
【答案】
【詳解】由圓，可得圓心坐標為，半徑為，
又由圓心到直線的距離為，
根據圓的弦長公式，可得.
故答案為：.
知識點03：直線與圓相切
1、圓的切線條數
①過圓外一點，可以作圓的兩條切線
②過圓上一點，可以作圓的一條切線
③過圓內一點，不能作圓的切線
2、過一點的圓的切線方程（）
①點在圓上
步驟一：求斜率：讀出圓心，求斜率，記切線斜率為，則
步驟二：利用點斜式求切線（步驟一中的斜率+切點）
②點在圓外
記切線斜率為，利用點斜式寫成切線方程；在利用圓心到切線的距離求出
（注意若此時求出的只有一個答案；那么需要另外同理切線為）
3、切線長公式
記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；
【即學即練3】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為______.
【答案】
【詳解】圓的圓心為，
在直線上取一點P，過P向圓引切線，設切點為A．連接．
在中，．要使最小，則應最小．
又當PC與直線垂直時，最小，其最小值為．
故的最小值為．

故答案為：.
知識點四：圓上點到直線的最大（小）距離
設圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；
【即學即練4】（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）已知直線上的兩點，且，點為圓上任一點，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】把圓變形為，
則圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
則圓上的點到直線的距離的最大值為，又，
∴的面積的最大值為．
故選：A．
題型01判斷直線與圓的位置關系
【典例1】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）坐標軸與圓的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】圓，即圓，
所以圓，半徑，
因為圓心到軸的距離為1，且，
所以圓與軸相交，即與軸有兩個交點，
因為圓心到軸的距離為2，且等于半徑，
所以圓與軸相切于點，即與軸有一個交點，
綜上坐標軸與圓有3個交點，
故選：C
【典例2】（2023春·上海黃浦·高二上海市向明中學校考期中）圓上到直線距離為的點有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．無數個
【答案】B
【詳解】因為化為標準方程為，
所以圓心，圓的半徑，
又因為圓心C到直線的距離為，
所以，
所以過圓心平行于直線的直線與圓有2個交點，另一條與直線的距離為的平行線與圓相切，只有1個交點，如圖所示，
所以圓C上到直線的距離為的點共有3個.
故選：B.
【典例3】（多選）（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知直線：與圓：．則下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．直線與圓相離
C．圓心到直線距離的最大值是
D．直線被圓截得的弦長最小值為
【答案】AD
【詳解】對于A，因為：，即，
令，即，得，所以直線過定點，故A正確；

對于B，因為，
所以定點在圓：內部，所以直線與圓相交，故B錯誤；
對于C，因為圓：，可化為，圓心，
當圓心與定點的連線垂直于直線時，圓心到直線距離取得最大值，
此時其值為，故C錯誤；
對于D，由弦長公式可知，當圓心到直線距離最大時，弦長取得最小值，
所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故D正確.
故選：AD.
【變式1】（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知圓，直線，則圓與直線（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心
【答案】B
【詳解】由可得，
故圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
故直線與圓C相切．
故選：B
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定
【答案】A
【詳解】已知直線過定點，
將點代入圓的方程可得，
可知點在圓內，
所以直線與圓相交.
故選：A.
題型02由直線與圓的位置關系求參數
【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據題意得為恒過定點的直線，
由曲線，可得，
所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，
把代入得，解得，
因為直線與曲線恰有兩個公共點，
由圖可得，即的取值范圍是．
故選：B．
【典例2】（2023·河北·校聯考一模）直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．16 B．25 C．49 D．81
【答案】C
【詳解】由直線與圓相切可得：
圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即，
故，即點在圓O上，
的幾何意義為圓上的點與點之間距離的平方，
由圓心為，
因為，
所以點在圓外，
所以點到點的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，
即，
所以的最大值為.
故選：C.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，直線，若直線與圓總有交點，則的取值范圍為______
【答案】
【詳解】由l方程知，則l過定點，
若l與圓C總有交點，則點M在圓內或圓上.
又因為圓C的圓心坐標為，半徑為r，
則，即r的取值范圍為.
故答案為：
【變式1】（2023·湖南益陽·安化縣第二中學校考三模）直線與曲線恰有兩個不同的公共點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【詳解】是斜率為的直線，
曲線是以原點為圓心為半徑的圓的右半圓，
畫出它們的圖象如圖，
當直線與圓相切時，（舍去），
當直線過時，,
由圖可以看出：
當時，直線與半圓有兩個公共點，
故選：

【變式2】（2023春·上海靜安·高二統考期末）過點的直線與圓相切，則直線的斜率為______.
【答案】或
【詳解】圓化為標準方程為，圓心，半徑為1，
當直線的斜率不存在時，直線：，此時直線與圓不相切，不合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，由題意，
所以，平方化簡得，解得或.
故答案為：或.
題型03直線與圓相交問題
【典例1】（2023·高二課時練習）已知O為原點，直線與圓交于、兩點．
(1)若，求的值；
(2)若，求圓的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：圓的圓心為，
半徑，其中，
圓心到直線的距離，
，解得；
（2）解：設，
聯立，消得，
，
則，
又，
因為，所以，
即，
即，
所以，解得滿足，
此時圓的半徑，
所以圓的面積為.
【典例2】（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學校考階段練習）已知點，，曲線任意一點滿足．
(1)求曲線的方程；
(2)設直線與圓交于、兩點，是否存在實數，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【詳解】（1）設，因為，故，
即，整理可得
所以曲線C的方程為.
（2）設
聯立整理得
得 ①
根據韋達定理得：
由以AB為直徑的圓過原點，得到
所以
解得 滿足①式
所以存在實數，使得以AB為直徑的圓過原點.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為區間，且,則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【詳解】解：如圖所示：
因為表示以坐標原點為圓心，4為半徑位于軸上方(含和軸交點)的半圓，
表示過坐標原點及第一三象限內的直線，
又因為不等式的解集為區間，且,
即半圓位于直線下方的區間長度為2，
所以，
所以直線與半圓的交點，
所以.
故選：C.
【變式2】（2023·高三課時練習）已知圓，過點的直線交圓于、兩點，且，則直線的方程是______.
【答案】
【詳解】當直線的斜率不存在時，，聯立，得或，
不妨設，，則，不符合題意；
所以直線的斜率存在，設直線，
聯立，消去并整理得，
，
設，，
則，，
則，
所以,
解得，，
所以直線l的方程是.
故答案為：
題型04求切線方程
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）過點作圓：的切線，則切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】圓：，即，圓心為，半徑，
又，所以點在圓上，且，
所以切線的斜率，所以切線方程為，即.
故選：C
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）經過點且與圓相切的直線方程為__________．
【答案】
【詳解】解：圓的標準方程為：，
當直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線方程為，即，
因為直線與圓相切，
所以圓心到直線的距離相等，即，
化簡得，
解得，，
綜上：直線方程為：，
故答案為：
【典例3】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）已知圓經過點和，且圓關于直線對稱．
(1)求圓的方程；
(2)過點作直線與圓相切，求直線的方程．
【答案】(1)；
(2)和.
【詳解】（1）∵，，故AB的中點坐標為，，
∴AB的垂直平分線為：，
由解得圓心，半徑
故圓的方程為；
（2）若直線的斜率存在，方程可設為，即
圓心到直線的距離為，解得，
所求的一條切線為；
當直線的斜率不存在時，圓心到的距離為4，即與圓相切，
所以直線的方程為和．
【變式1】（2023春·天津西青·高二天津市西青區楊柳青第一中學校考階段練習）過點作圓的切線，則切線的方程為__________.
【答案】
【詳解】圓的圓心，
∵，則點在圓上，即點為切點，
則圓心到切點連線的斜率，可得切線的斜率，
故切線的方程，即.
故答案為：.
【變式2】（2023春·河北張家口·高二張家口市宣化第一中學校考階段練習）已知一圓的圓心為，且該圓被直線截得的弦長為.
(1)求該圓的方程；
(2)求過點的該圓的切線方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設圓的方程為，
圓心到直線的距離為，
又圓被直線截得的弦長為，，
圓的方程為：.
（2）當切線斜率不存在的時候，切線方程為：，滿足題意；
當切線斜率存在時，設切線方程為，即，
由得：，切線方程為，即，
綜上所述：過點的圓的切線方程為或.
【變式3】（2023秋·高二課時練習）在直角坐標系中，以原點為圓心的圓與直線相切
(1)求圓的方程；
(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【詳解】（1）由題意知以原點O為圓心的圓與直線相切，
故圓的半徑為，
故圓的方程為.
（2）當過點的直線斜率不存在時，為與圓不相切；
故過點作圓O的切線，斜率一定存在，設方程為，
即，則，解得或，
故切線方程為或．
題型05切線長（切點弦）問題
【典例1】（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學校考階段練習）過直線上的一點作圓的兩條切線，，切點分別為，當直線，關于對稱時，線段的長為（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【詳解】如圖所示，圓心為，連接，

因為直線，關于對稱，所以垂直于直線，
故，而，
所以.
故選：C
【典例2】（2023春·湖北·高三統考階段練習）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為__________.
【答案】/
【詳解】設，則有①，
又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點，則，，
則點均在以為直徑的圓上，設的中點為，
則圓的方程為，
化簡得；
直線即為兩圓的公共弦，所以對于和，
兩式相減可得直線的方程為，
由①可得，，整理得，
由得
故直線過定點，
因為，說明在圓內，
當時，此時最小，為
故答案為：
【典例3】（2023春·貴州·高二遵義一中校聯考階段練習）已知圓，點A是直線上的一個動點，過點A作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為__________；直線過定點__________.
【答案】
【詳解】由題意過點A作圓的兩條切線，切點分別為，
連接,則,
設，則,
故,
當垂直于直線時，d最小，
所以，所以；
由于點A是直線上的一個動點，設點，
線段的中點設為P，則，且，
所以以線段為直徑為圓的方程為 ，
即，
將方程與作差可得，
即直線的方程為，可得，
由于,故，
因此，直線恒過定點，
故答案為：；
【變式1】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圓，直線上動點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【詳解】圓：中，圓心，半徑
設，則，
則,
當時，，
故選：C
【變式2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為______．
【答案】
【詳解】設過點的切線與圓相切于點，連接，則，
圓的圓心為，半徑為，則，
當與直線垂直時，取最小值，且最小值為，
所以，，即切線長的最小值為.
故答案為：.
【變式3】（2023·全國·高二專題練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為 、，則直線的方程為_______．
【答案】
【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，
所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，
所以，
所以直線的方程為，即；
方法2：設，，則由，可得，
同理可得，
所以直線的方程為.
故答案為：
題型06已知切線求參數
【典例1】（2023·河北唐山·開灤第二中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，若點在直線上，則當，變化時，直線的斜率的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】由題設，則，
所以在以為圓心，1為半徑的圓上，
如圖，當與圓相切時，直線OP的斜率出現最值（最大、最小），
當與圓上方相切，則，故，此時OP斜率為，
結合圓的對稱性，與圓下方相切，OP斜率為，
由圖知：直線OP的斜率的取值范圍是.
故答案為：
【典例2】（2023·天津南開·統考二模）若直線與圓相切，則______.
【答案】/0.75
【詳解】由題意圓心為，半徑為2，
所以，解得．
故答案為：．
【變式1】（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預測）若直線，與相切，則最大值為（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【詳解】的圓心為，半徑為，
因為直線，與相切，
所以，即，
所以可設，
所以，其中，
故選：B
【變式2】（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考二模）已知直線：上存在點，使得過點可作兩條直線與圓：分別切于點，，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由可得，
圓心，半徑，
過點A可作兩條直線與圓：分別切于點M，N，
連接，如圖，
由知，，又，
所以，
由題意，只需直線上存在與圓心距離為的點即可，
即圓心到直線的距離，
解得，
故選：C
題型07圓的弦長與中點弦問題
【典例1】（2023秋·四川涼山·高二統考期末）過點的直線被圓截得的弦長最短，則直線的斜率是（ ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【詳解】由圓，可得圓心坐標為，
根據圓的性質，可得當過點與圓心垂直時，此時弦長最短，
因為，所以直線的斜率為.
故選：D.
【典例2】（2023春·上海黃浦·高二統考期末）設直線與圓相交所得弦長為，則______；
【答案】
【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，
則圓心到直線，即的距離，
由圓的弦長公式，即，得，
所以，解得，
經檢驗，滿足題意，所以.
故答案為：.
【典例2】（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中校考模擬預測）已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為__________.
【答案】
【詳解】圓，
所以圓心為，半徑為4，設，
由線段AB的中點為D，可得，
即有，
即，
所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓；
故答案為：.
【變式1】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）已知圓，直線與圓相交于，兩點，則______．
【答案】/
【詳解】由，得，則圓的圓心為，半徑，
所以圓心到直線的距離為
所以，解得．
故答案為：
【變式2】（2023·天津·三模）已知直線平分圓，則圓中以點為中點的弦弦長為________
【答案】
【詳解】由，得，
因為直線平分圓C，
所以該直線經過圓心C，得，解得.
則，
當圓心C與該點的連線與弦垂直時，滿足題意，
所以圓C以點為中點的弦弦長為.
故答案為：.
【變式3】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）圓經過點，和直線相切，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)求圓在軸截得的弦長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設圓心的坐標為,
則.
化簡得，解得,
所以點坐標為，
半徑，
故圓的方程為.
（2）圓心到軸的距離為，
所以圓在軸截得的弦長為.
題型08已知圓的弦長求方程或參數
【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知圓，過圓內一點的直線被圓所截得的最短弦的長度為2，則（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【詳解】整理得，故圓心為，半徑為，
當過圓內一點的直線與垂直時，被圓所截得的弦長最短，

其中，
由垂徑定理得，即，解得，
故選：D
【典例2】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）已知圓過兩點，，且圓心在直線上．
(1)求圓的方程；
(2)過點的直線交圓于兩點，當時，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）依題意圓心P在直線上，可設圓P的方程為，
因為圓P過兩點，，
所以，解得，
所以圓P的方程為.
（2）由（1）可知，圓心，半徑，
當直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到直線的距離為1，
此時滿足題意；
當直線的斜率存在時，
設直線的方程為，即，
當時，圓心到直線的距離，
即有，解得，
此時直線的方程為，即為.
綜上，直線的方程為或.
【典例3】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知圓經過點、，圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓相交于、兩點，，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）的中點為，斜率，
則直線的中垂線為
聯立，解得，
即，
圓的方程為.
（2）由于，點到直線的距離，
即，解得
【變式1】（2023春·浙江·高二校聯考期末）若直線截圓所得弦長，則的值為______.
【答案】或
【詳解】圓心到直線的距離為 ，
由得，解得或，
故答案為：或
【變式2】（2023秋·山東濱州·高二統考期末）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點．
(1)求圓的方程；
(2)已知過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：因為圓與軸相切于點，所以圓心在直線上，
又因為圓的圓心在直線上，
由，解得，即，圓的半徑，
所以，圓的方程為．
（2）解：設圓心到直線的距離為，則，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，滿足條件；
當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則直線的方程為，
即．
因為圓心為，所以圓心到直線的距離為，
整理可得，解得，
所以，直線的方程為．
綜上所述，直線的方程為或.
【變式3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區高中校考期中）已知圓：，直線：.
(1)設直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程；
(2)設直線與圓相交于兩點，求弦中點的軌跡方程.
【答案】(1)或；
(2).
【詳解】（1）圓的圓心為,半徑為,
設圓心到直線的距離為d，因為，則，解得，
所以，，
故直線方程為或.
（2）直線l：，過定點，
設弦AB的中點，則，
所以，即，
所以弦AB的中點的軌跡方程為.

題型09圓內接三角形面積
【典例1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）已知直線與圓交于，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是___________.
【答案】/
【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，
圓心C到直線l（弦AB）的距離為，
則，
則到弦AB的距離的最大值為，
則面積的最大值是.
故答案為：
【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期末）已知圓．
(1)若一直線被圓所截得的弦的中點為，求該直線的方程；
(2)設不過圓心的直線與圓交于，兩點，把的面積表示為的函數，并求的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；.
【詳解】（1）圓圓心，半徑，顯然點在圓C內，
由圓的性質知，當為圓C弦的中點時，該弦所在直線垂直于直線，
直線的斜率，則有所求直線斜率為1，方程為：，即，
所以該直線的方程為.
（2）直線與圓相交時，圓心C到直線l的距離，解得，
又直線l不過圓心，即，因此且，
，
的面積，
因為且，則，當，即或時，，
所以，，當或時，.
【變式1】（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系上，圓，直線與圓交于兩點，，則當的面積最大時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
，，，
，
（當且僅當時取等號），
則當的面積最大時，，又，解得：.
故選：C.
【變式2】（2023·江西·統考模擬預測）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為___________.
【答案】12
【詳解】圓：，得圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離，因此，
所以.
故答案為：.
題型10直線與圓的實際應用
【典例1】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）如圖，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為、）和圓弧構成，截面總高度為，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要有米，已知行車道總寬度.

(1)試建立恰當的坐標系，求出圓弧所在圓的一般方程；
(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？
【答案】(1)答案見解析
(2)米
【詳解】（1）解：以拋物線的頂點為坐標原點，的方向為軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，

故圓心在軸上，原點在圓上，可設圓的一般方程為
易知，點在圓上，將的坐標代入圓的一般方程得，
則該圓弧所在圓的一般方程為.
（2）解：令代入圓的方程得，得或（舍），
由于隧道的總高度為米，且（米），
因此，車輛通過隧道的限制高度為米.
【典例2】（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學校聯考期末）如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距O島千米處，島在島的正東方向距島20千米處以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓經過、、三點．
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓區域內有未知暗礁，現有一船在島的南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？
【答案】(1)
(2)該船沒有觸礁的危險
【詳解】（1）如圖所示，，
設過O、A、B三點的圓C的方程為，
得：，解得，
故所以圓C的方程為，
圓心為，半徑，
（2）該船初始位置為點D，則，
且該船航線所在直線l的斜率為,
故該船航行方向為直線，
由于圓心C到直線l的距離，
故該船沒有觸礁的危險
【變式1】（2023秋·高一單元測試）黨的二十大報告提出要加快建設交通強國.在我國萬平方千米的大地之下擁有超過座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學生學過圓的知識后受此啟發，為山體隧道設計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.
(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓弧的方程.
(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優化了設計方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門 并說明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由見解析
【詳解】（1）解：以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，
則點、，由圓的對稱性可知，圓心在軸上，
設圓心坐標為，設圓的半徑為，則圓弧所在圓的方程為，
因為點、在圓上，則，解得，。
所以，圓弧所在圓的方程為，
因此，圓弧的方程為.
（2）解：此火車不能通過該路口，
由題意可知，隔墻在軸右側米，車寬米，車高米，
所以貨車右側的最高點的坐標為，
因為，因此，該貨車不能通過該路口.
【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于__________m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標系，則圓拱所在圓的標準方程是__________．
（可用參考數據：．）
【答案】 3.32
【詳解】設拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，
則，
則圓的標準方程為：．
由題意設，代入圓的方程得，
解得，即，則.
故答案為：3.32；.
題型11直線與圓中的定點定值問題
【典例1】（多選）（2023·全國·模擬預測）已知圓，直線：，則（ ）
A．存在，使得與圓相切
B．對任意，與圓相交
C．存在，使得圓截所得弦長為1
D．對任意，存在一條直線被圓截，所得弦長為定值
【答案】BD
【詳解】由題意得圓，所以圓心，半徑，
對于A，B：易知圓心到直線的距離，
所以恒成立，
所以，即對任意，l與相交，故A錯誤，B正確；
對于C：若截所得弦長為1，則，即，
因為，所以關于的方程無實數解，
即不存在，使得圓截所得弦長為1，故C錯誤；
對于D：圓的方程可變形為，
令，解得，所以圓過定點和，
所以存在直線被圓截，所得弦長為定值，故D正確.
故選：BD．
【典例2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是___________.
【答案】
【詳解】圓化成標準形式為圓，
圓心，半徑，
直線過定點，并在圓內，
最短時，點為弦的中點，即時，
所以.
故答案為：.
【變式1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）直線與圓相交于，兩點，則的最小值為（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【詳解】圓C：的圓心，半徑為2，
由直線l：為，
∴直線l過定點，
又，∴P在圓C內部，
當直線l與線段CP垂直時，弦AB的長最小，
∵，
∴弦AB長的最小值為.
故選：C.
【變式2】（2023春·海南·高二統考學業考試）若直線：與圓：交于，兩點，且直線不過圓心，則當的周長最小時，實數（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【詳解】直線：的方程可化為，∴直線過定點，又∵，∴點D在圓C內．
由圓的性質可知當時，最小，此時的周長最小，
又，，∴，則．
故選：C.
題型12根據直線與圓位置關系求距離最值
【典例1】（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學校聯考期末）已知直線：與軸、軸分別交于，兩點，動直線：和：交于點，則的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據題意可知，動直線過定點，動直線：，即過定點，
因為，所以無論m取何值，都有，
所以點P在以OB為直徑的圓上，且圓心坐標為，半徑為，
設，則點P的軌跡方程為，
圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．
由題可知，，則，
所以的面積的最小值為．
故選：B

【典例2】（2023·廣西·校聯考模擬預測）已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，直線可化為，
聯立方程組，解得，即直線過定點，
又由，可得定點在圓內，
由圓的幾何性質知，圓心到直線的距離．
故選：B.
【典例3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知點是直線上的動點，過點作圓：的兩條切線，切點分別為，則點到直線的距離的最大值為_______.
【答案】1
【詳解】設，過點P作圓O：的兩條切線，切點分別為，
則在以為直徑的圓上，該圓的方程為，
將和相減得：，
即得到直線的方程為，
又因為點P是直線，故，
則直線的方程為，即，
當且，即，時該方程恒成立，
所以直線AB過定點，
當Q與M的連線垂直于直線AB時，點Q到直線AB的距離最大，
此時最大值即為Q，M之間的距離，而，
即點到直線AB的距離的最大值為1，
故答案為：1
【變式1】（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】圓，設，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
【變式2】（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是___________.
【答案】
【詳解】圓化成標準形式為圓，
圓心，半徑，
直線過定點，并在圓內，
最短時，點為弦的中點，即時，
所以.
故答案為：.
【變式3】（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）已知直線與圓有公共點，且與直線交于點，則的最小值是__________．
【答案】
【詳解】由題意可知，的最小值即為圓上一點到直線與圓交點的最小距離，
圓心，半徑，圓心到直線的距離為，
由題意可知．
故答案為：.
題型13直線與圓綜合問題
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）在平面直角坐標系中，圓過點，，且圓心在上．
(1)求圓的方程；
(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為圓過，則的中垂線過圓心，
設的中點為，則，
因為，所以的中垂線方程為，即，
又圓心在，
聯立，解得，
因此圓心，半徑，
所以圓的方程為.
.
（2）因為，所以在圓外，
過作圓的切線，
若切線斜率不存在時，則切線方程為，滿足與圓相切，
若切線斜率存在時，設切線方程，即，
則，解得，
所以切線方程為，即.
綜上：切線方程為或.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）（1）求函數的最大值和最小值；
（2）求函數的值域；
（3）求函數的值域；
（4）已知，求的最值．
【答案】（1）最大值為2，最小值為1；（2）；（3）；（4）最大值為3，最小值
【詳解】（1）由于，故可令．
則原式變為．
，
當，即時，取得最大值；
當，即時，取得最小值．
（2）函數的定義域為，令，．
則．
由于，．
而當時，為減函數，此時，
當時，為增函數，此時．
故函數的值域為．
（3）解法一：
，可設．
則．
設，則，從而．
（其中，）．
，，，且，，
，故函數的值域為．
解法二：
由解法一得，
則為與點連線的斜率．
設過點的直線方程為，即，顯然，
點在半圓上，
當直線與半圓，相切時，，解得，
數形結合易得，即．．
故函數的值域為．
（4）令，，則．
又．
當，時，；
當，時，．
【典例3】（2023春·湖北·高二校聯考階段練習）已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個交點；
(2)若直線和圓交于兩點，求的最小值及此時直線的方程.
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值為，此時直線方程為
【詳解】（1）直線，即，
聯立解得所以不論取何值，直線必過定點.
圓，圓心坐標為，半徑，
因為，所以點在圓內部，
則直線與圓恒有兩個交點.
（2）直線經過圓內定點，圓心，
記圓心到直線的距離為d.
因為，所以當d最大時，取得最小值，
所以當直線時，被圓截得的弦最短，
此時，
因為，所以直線的斜率為，又直線過點，
所以當取得最小值時，直線的方程為，即，
綜上：最小值為，此時直線方程為.

【典例4】（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考期中）已知過點的直線與圓相交于、兩點，是弦的中點，且直線與直線相交于點．
(1)當直線與直線垂直時，求證：直線經過圓心；
(2)當弦長時，求直線的方程；
(3)設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
(3)為定值，且
【詳解】（1）解：直線與直線垂直，且，.
故直線方程為，即.
圓心為，且，故當直線與直線垂直時，直線經過圓心.
（2）解：①當直線與軸垂直時，則直線的方程為，圓心到直線的距離為，
且，合乎題意；
②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即，
，是中點，圓圓心為，半徑為，
，則由，得，
此時，直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
（3）解：，.
①當與軸垂直時，直線的方程為，聯立可得，
即點，則，
又，.
②當的斜率存在時，設直線的方程為，其中，
則由可得，即點，則.
.
綜上所述，與直線的斜率無關，且.
【變式1】（2023秋·高一單元測試）已知直線：與圓：相交于不重合的，兩點，是坐標原點，且，，三點構成三角形．

(1)求的取值范圍；
(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．
【答案】(1)
(2)的最大值為2，取得最大值時
【詳解】（1）解法一：
由題意知：圓心到直線的距離 ，
因為直線與圓O相交于不重合的A，B兩點，且A，B，O三點構成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范圍為.
解法二：
聯立，化簡得：
，得，
因為A，B，O三點構成三角形，所以
所以的取值范圍為.
（2）直線：，即，
點O到直線距離：，
所以
所以，（且）
設，則，
所以
所以當，即，即時，
所以的最大值為2，取得最大值時.
【變式2】（2023秋·江西萍鄉·高二統考期末）已知直線過點，且__________.
在下列所給的三個條件中，任選一個補充在題中的橫線上，并完成解答.
①與圓相切；②傾斜角的余弦值為；③直線的一個方向向量為.
(1)求直線的一般式方程；
(2)若直線與曲線相交于兩點，求弦長.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）若選①：因為，故點在圓上，
且圓心與連線的斜率為，
因為直線與圓相切，所以直線的斜率為2；
所以直線的一般式方程為；
若選②：設直線的傾斜角為，由得；
故直線的斜率；
所以直線的一般式方程為；
若選③：因為直線的一個方向向量為，所以的斜率；
所以直線的一般式方程為
（2）曲線，即；
故為圓，圓心為，半徑為；
則圓心到直線的距離為；
所以弦長.
【變式3】（2023春·四川內江·高二四川省資中縣第二中學校考開學考試）已知點，設直線：（，）與圓相交于異于點的，兩點.
(1)若，求的值；
(2)若，且直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的斜率的值；
(3)當時，是否存在一定圓，使得直線與圓相切 若存在，求出該圓的標準方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，定圓.
【詳解】（1）因為，又在圓上，
所以直線過圓的圓心，所以.
（2）因為，圓的半徑為，
所以圓心到直線的距離，
由點到直線的距離公式可得，得，
當時，直線與坐標軸不能圍成三角形，故，
在中，令，得；令，得，
所以，得，
所以，解得或，
所以或.
（3）聯立，消去并整理得，
，即，
設，，
則，，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以點到直線的距離為，
所以直線與以為圓心，為半徑的圓相切，
所以存在一個定圓，使得直線與圓相切.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·廣西·高三統考階段練習）若直線是圓的一條對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，圓心為，
因為直線是圓的一條對稱軸，
所以直線過圓心，即，解得.
故選：D
2．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知兩點，，是圓上的點，滿足，則這樣的點有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【詳解】線段AB的斜率，故線段AB的垂直平分線的斜率為，
又線段AB的中點坐標為，
故線段AB的垂直平分線的方程為，整理得，
圓心到直線的距離，
故與圓C相交，所以滿足條件的點P有2個.
故選：C.
3．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直線與圓的位置關系為（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【答案】C
【詳解】由題知，圓心坐標，半徑，
將直線化為點斜式得，
知該直線過定點，
又，故該定點在圓內，
所以該直線與圓必相交.
故選：C
4．（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習）已知BC是圓的動弦，且 ，則BC的中點的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設BC的中點 P的坐標是 ，
∵BC是圓 的動弦， ，且圓心 ，
，即 ，
化簡得 ，
∴BC的中點的軌跡方程是 ，
故選： C．
5．（2023·重慶·高二統考學業考試）直線被圓截的的弦長為（ ）
A． B． C．
【答案】B
【詳解】的圓心為，半徑為3，
則圓心到直線的距離為，
則被圓截的的弦長為.
故選：B
6．（2023·全國·高三對口高考）已知直線與圓交于不同的兩點M，N，且，其中O是坐標原點，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設MN的中點為A，則，并且，如圖所示，

由，可得，
所以 ，解得，
∴O到直線MN的距離，解得.
故選：D
7．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）圓：與直線：交于、，當最小時，的值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【詳解】直線：，即，令，解得，
即直線恒過定點，又，所以點在圓內，

所以當時弦最小，因為，所以，即，解得.
故選：B
8．（2023·廣西·校聯考模擬預測）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意，直線可化為，
聯立方程組，解得，即直線過定點，
又由，可得定點在圓內，
由圓的幾何性質知，圓心到直線的距離．
故選：B.
二、多選題
9．（2023春·廣西·高二校聯考階段練習）圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切的圓的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】依題可設圓心坐標為，
由題意得圓心到直線的距離為2，
即，解得，
所以圓的方程為：或，
故選：AC．
10．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知圓，直線，則（ ）
A．直線恒過定點
B．直線能表示平面直角坐標系內每一條直線
C．對任意實數，直線都與圓相交
D．直線被圓截得的弦長的最小值為
【答案】ACD
【詳解】對于A：直線的方程可化為，
聯立，解得
所以直線恒過定點，∴A正確；
對于B：由A可知，直線不能表示直線，也不能表示不過點的直線，∴B錯誤；
對于C，因為，故直線恒過圓內一點，所以直線與圓相交，∴C正確；
對于D，當直線時，直線被圓截得的弦長最短，因為，
所以最短弦長為，∴D正確．
故選：ACD．
三、填空題
11．（2023·天津武清·天津市武清區楊村第一中學校考模擬預測）已知點，，經過點作圓的切線與軸交于點，則________．
【答案】
【詳解】如圖所示，設圓心為點，則，
，則點在圓上，且，
由與圓相切可得，所以切線方程為，
令，解得，故，
所以
故答案為：.
12．（2023·全國·高三對口高考）若直線與曲線有公共點，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】直線過定點，
由得，故曲線是圓心為，半徑為的半圓，
如圖所示：

當直線與半圓相切時，直線傾斜角為，直線的斜率，
由圖可得.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）已知圓過三個點，過點引圓的切線，求：
(1)圓的一般方程；
(2)圓過點的切線方程.
【答案】(1)
(2)和
【詳解】（1）設圓的一般方程為，
代入三個點得，解得
所以圓的一般方程為.
（2）圓的一般方程化為標準形式為.
當切線斜率不存在時，易知切線方程符合題意.
當切線斜率存在時，設切線方程為，即，
則依題意可得，解得，
此時切線方程為，即.
綜上所述，圓過點的切線方程為和.
14．（2023秋·浙江紹興·高二統考期末）已知，，，圓經過三點.
(1)求圓C的方程，并寫出圓心坐標和半徑的值；
(2)若經過點的直線l與圓C交于兩點，求弦長的取值范圍.
【答案】(1)，圓心是，半徑
(2)
【詳解】（1）解：由題意，點，，，且圓經過三點，
可得圓是以為直徑的圓，
設圓的圓心坐標為，半徑為，
可得，即圓心坐標為，半徑，
所以圓的方程為.
（2）解：由圓的性質得，當直線過圓心，此時弦長取得最大值，最大值為，
當為中點的弦最短，其中，所以最短弦長為，
所以弦長的取值范圍.
B能力提升
1．（2023秋·高一單元測試）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
2．（2023秋·高二課時練習）與y軸相切，圓心在直線上，且在直線上截得的弦長為，則此圓的方程是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【詳解】由圓心在直線上，可設圓心坐標為，
又因為與y軸相切，所以半徑，
易知圓心到直線的距離為，
根據直線被圓截得的弦長公式可得，直線被截得的弦長為，
所以，解得；
當時，該圓是以為圓心，為半徑的圓，圓方程為；
當時，該圓是以為圓心，為半徑的圓，圓方程為.
故選：C
3．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，動點滿足，得到動點的軌跡是阿氏圓.若對任意實數，直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設點，，，
所以動點的軌跡為阿氏圓：，
又直線恒過點，
若對任意實數直線與圓恒有公共點，
在圓的內部或圓上，所以，所以，解得，
即的取值范圍為.
故選：C
4．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為________．
【答案】
【詳解】如圖所示，
圓的圓心為，半徑為3，
圓的圓心為，半徑為1，
可知，
所以，
若求的最大值，轉化為求的最大值，
設關于直線的對稱點為B，設B坐標為，
則 ，解得，故B，
因為，可得，
當P，B，A三點共線，即P點為時，等號成立，
又圓過點，，，
則，
解得，
所以圓的一般方程為，
即其標準方程為；
（2）由題意得，所以直線，點，點，
設點，，，
所以，，
所以，
又，，
，
又，在圓上，
所以，，
，
即，
所以，
整理得：，
當直線斜率存在時，設直線的方程為，
代入，
得，
則，，
所以，
即，
即，
得或，
當時，直線的方程為，過點，
當時，直線的方程為，過點，在直線上，不成立，
當直線斜率不存在時，，即，解得或（舍），所以直線過成立，
綜上所述，直線恒過點.
2．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）已知圓心在軸上的圓與直線切于點.
(1)求圓的標準方程；
(2)已知，經過原點且斜率為正數的直線與圓交于，.求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由圓心在軸上的圓與直線切于點，設，
直線的斜率為，
則，所以．
所以，所以，，即，
所以圓的標準方程為．
（2）設直線，與圓聯立方程組，
可得，
，由根與系數的關系得，，
，
令，則，
所以
，
當且僅當，即時取等號，此時，
所以的最大值為.
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