資源簡介

第10講 2.5.2圓與圓的位置關系
課程標準 學習目標
①掌握兩圓位置關系的判定的代數方法與幾何方法。 ②會應用兩圓的位置關系求與兩圓有關的幾何量問題。 通過本節課的學習，會判斷兩圓的位置關系，會求與兩圓位置有關的點的坐標、公共弦長及公共弦所在的直線方程，能求與兩圓位置關系相關的綜合問題.
知識點01：圓與圓的位置關系
1、圓與圓的位置關系
(1)圓與圓相交，有兩個公共點；
(2)圓與圓相切(內切或外切)，有一個公共點；
(3)圓與圓相離(內含或外離)，沒有公共點.
圖象 位置關系 圖象 位置關系
外 離 外 切
相 交 內 切
內 含
2、圓與圓的位置關系的判定
2.1幾何法
設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.
①當時，兩圓相交；
②當時，兩圓外切；
③當時，兩圓外離；
④當時，兩圓內切；
⑤當時，兩圓內含.
2.2代數法
設:
:
聯立消去“”得到關于“”的一元二次方程，求出其
①與設設相交
②與設設相切（內切或外切）
③與設設相離（內含或外離）
【即學即練1】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C: 的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【答案】C
【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，
圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，
則，=3，所以兩圓外切，
故選：.
知識點02：圓與圓的公共弦
1、圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.
2、公共弦所在直線的方程
設:
:
聯立作差得到：即為兩圓共線方程
3、公共弦長的求法
代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．
幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
【即學即練2】（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.
故選：D.
知識點03：圓與圓的公切線
1、公切線的條數
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內含時，無公切線．
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
【即學即練3】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）圓與圓的公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為5；
圓的圓心坐標為，半徑為3，
所以兩圓的圓心距為，
因為，所以兩圓相交，
所以兩圓的公切線有2條.
故選：B.
知識點04：圓系方程
以為圓心的同心圓圓系方程：；
與圓同心圓的圓系方程為；
過直線與圓交點的圓系方程為
過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
【即學即練4】（2022秋·高二單元測試）求過兩圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程.
【答案】
【詳解】設圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入得，解得，
所以所求圓的方程為．
題型01 判斷圓與圓的位置關系
【典例1】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C: 的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）圓與圓的位置關系是（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【典例3】（多選）（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（ ）
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長為2
D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10
【變式1】（2023春·江蘇揚州·高二統考開學考試）圓與圓的位置關系為（ ）．
A．相交 B．內切 C．外切 D．外離
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（ ）
A．外切 B．內切 C．相交 D．外離
題型02求兩圓交點坐標
【典例1】（2022·高二課前預習）圓 與圓 的交點坐標為（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【典例2】（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中校考階段練習）圓：和圓：交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程是______.
【變式1】（2023秋·青海西寧·高二校考期末）圓與的交點坐標為______.
【變式2】（2022·高二課時練習）圓與圓的交點坐標為___________.
題型03由圓的位置關系確定參數
【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）若圓和有且僅有一條公切線，則______；此公切線的方程為______
【變式1】（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______
題型04由圓與圓的位置關系確定圓的方程
【典例1】（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯考模擬預測）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為__________.
【典例2】（2023·河南焦作·統考模擬預測）已知圓，的圓心都在坐標原點，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內切，則圓C的標準方程為_________．
【典例3】（2023春·江西宜春·高二統考階段練習）已知圓
(1)若直線過定點，且與圓相切，求直線的方程；
(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）經過點以及圓與交點的圓的方程為______．
【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓和圓，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．
題型05相交圓的公共弦方程
【典例1】（2023·河南·統考二模）若圓與圓的公共弦的長為1，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學校考階段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為__________.
【變式1】（2023春·全國·高二衛輝一中校聯考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.
【變式2】（2023·天津和平·耀華中學校考二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為______．
題型06兩圓的公共弦長
【典例1】（2023·天津濱海新·統考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于，兩點，則______
【典例2】（2023秋·湖南張家界·高二統考期末）已知兩圓，．
(1)取何值時兩圓外切？
(2)當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
【變式1】（2023春·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習）已知圓與圓有兩個公共點、，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·浙江·高三專題練習）已知圓與交于兩點.若存在，使得，則的取值范圍為___________.
題型07圓的公切線條數
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（2023·山西·校聯考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【典例3】（2023秋·河北保定·高二統考期末）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學校考開學考試）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
【變式2】（2023秋·上海楊浦·高二復旦附中校考期末）兩個圓：與：恰有三條公切線，則的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．－6
【變式3】（2023·全國·模擬預測）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．0條
【變式4】（2023春·青海西寧·高二校考開學考試）圓與圓的公切線條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
題型08圓的公切線方程
【典例1】（多選）（2023·高二課時練習）已知圓，圓，則下列是，兩圓公切線的直線方程為（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓與圓恰有兩條公切線，則滿足題意的一個的取值為____；此時公切線的方程為__________.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.
【變式1】（2023秋·山東聊城·高二統考期末）已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考模擬預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.
題型09圓的公切線長
【典例1】（2022秋·廣東云浮·高二校考期中）已知圓的方程為，圓的方程為.
(1)判斷圓與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.
(2)求兩圓的公切線長.
【變式1】（2022·高二課時練習）求圓與圓的內公切線所在直線方程及內公切線的長．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
B．的最大值為
C．兩個圓心所在的直線斜率為
D．兩個圓公共弦所在直線的方程為
10．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（ ）
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長為2
D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10
三、填空題
11．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______
12．（2023·天津·高三專題練習）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為__________．
四、解答題
13．（2023秋·高二課時練習）如圖，已知點A、B的坐標分別是，點C為線段AB上任一點，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓的外公切線的切點，求線段PQ的中點的軌跡方程.

14．（2023秋·河北保定·高二統考期末）已知圓與圓
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．
B能力提升
1．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）已知圓和兩點，，若圓C上至少存在一點P，使得，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江嘉興·校考模擬預測）已知動直線與圓交于，兩點，且．若與圓相交所得的弦長為，則的最大值與最小值之差為（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·北京通州·統考模擬預測）在平面直角坐標系內，點O是坐標原點，動點B，C滿足，，A為線段中點，P為圓任意一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）已知平面內的動點，直線：，當變化時點始終不在直線上，點為：上的動點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
C綜合素養
1．（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業中學校考期中）已知直線，圓.
(1)證明：直線與圓相交；
(2)設直線與的兩個交點分別為、，弦的中點為，求點的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設圓在點處的切線為，在點處的切線為，與的交點為.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當變化時，點是否恒在一條定直線上 若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
2．（2023春·上海黃浦·高二格致中學校考階段練習）已知圓和圓
(1)若圓與圓相交于兩點，求的取值范圍，并求直線的方程（用含有的方程表示）
(2)若直線與圓交于兩點，且，求實數的值
3．（2023·上海·高二專題練習）已知圓C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定點A（m，0），B（0，n），其中m，n為正實數．
(1)當a＝m＝n＝3時，判斷直線AB與圓C的位置關系；
(2)當a＝4時，若對于圓C上任意一點P均有PA＝λPO成立（O為坐標原點），求實數m，λ的值；
(3)當m＝2，n＝4時，對于線段AB上的任意一點P，若在圓C上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求實數a的取值范圍．
第10講 2.5.2圓與圓的位置關系
課程標準 學習目標
①掌握兩圓位置關系的判定的代數方法與幾何方法。 ②會應用兩圓的位置關系求與兩圓有關的幾何量問題。 通過本節課的學習，會判斷兩圓的位置關系，會求與兩圓位置有關的點的坐標、公共弦長及公共弦所在的直線方程，能求與兩圓位置關系相關的綜合問題.
知識點01：圓與圓的位置關系
1、圓與圓的位置關系
(1)圓與圓相交，有兩個公共點；
(2)圓與圓相切(內切或外切)，有一個公共點；
(3)圓與圓相離(內含或外離)，沒有公共點.
圖象 位置關系 圖象 位置關系
外 離 外 切
相 交 內 切
內 含
2、圓與圓的位置關系的判定
2.1幾何法
設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.
①當時，兩圓相交；
②當時，兩圓外切；
③當時，兩圓外離；
④當時，兩圓內切；
⑤當時，兩圓內含.
2.2代數法
設:
:
聯立消去“”得到關于“”的一元二次方程，求出其
①與設設相交
②與設設相切（內切或外切）
③與設設相離（內含或外離）
【即學即練1】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C: 的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【答案】C
【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，
圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，
則，=3，所以兩圓外切，
故選：.
知識點02：圓與圓的公共弦
1、圓與圓的公共弦
圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.
2、公共弦所在直線的方程
設:
:
聯立作差得到：即為兩圓共線方程
3、公共弦長的求法
代數法：將兩圓的方程聯立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．
幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．
【即學即練2】（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.
故選：D.
知識點03：圓與圓的公切線
1、公切線的條數
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．
（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條；
（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條；
（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；
（4）兩圓內切時，只有1條外公切線；
（5）兩圓內含時，無公切線．
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
【即學即練3】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）圓與圓的公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為5；
圓的圓心坐標為，半徑為3，
所以兩圓的圓心距為，
因為，所以兩圓相交，
所以兩圓的公切線有2條.
故選：B.
知識點04：圓系方程
以為圓心的同心圓圓系方程：；
與圓同心圓的圓系方程為；
過直線與圓交點的圓系方程為
過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
【即學即練4】（2022秋·高二單元測試）求過兩圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程.
【答案】
【詳解】設圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入得，解得，
所以所求圓的方程為．
題型01 判斷圓與圓的位置關系
【典例1】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C: 的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【答案】C
【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，
圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，
則，=3，所以兩圓外切，
故選：.
【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）圓與圓的位置關系是（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【答案】C
【詳解】兩圓化為標準形式，可得與圓，
可知半徑，，于是，
而，故兩圓相交，
故選：.
【典例3】（多選）（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（ ）
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長為2
D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10
【答案】ACD
【詳解】圓化為，圓心坐標為，半徑為2，
圓化為，圓心坐標為，半徑為3.
因為兩個圓的圓心距為，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，正確.
圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.
圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.
若分別為圓和圓上一點，則的最大值為，正確.
故選：ACD
【變式1】（2023春·江蘇揚州·高二統考開學考試）圓與圓的位置關系為（ ）．
A．相交 B．內切 C．外切 D．外離
【答案】B
【詳解】由題意可得，
故兩圓的圓心分別為：，設兩圓半徑分別為，則，
易知，故兩圓內切.
故選：B
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（ ）
A．外切 B．內切 C．相交 D．外離
【答案】C
【詳解】圓的圓心為，
圓的圓心為，
所以
所以圓與的位置關系是相交.
故選: C.
題型02求兩圓交點坐標
【典例1】（2022·高二課前預習）圓 與圓 的交點坐標為（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【詳解】由,可得，即，
代入，解得或，
故得或,
所以兩圓的交點坐標為和,
故選:C
【典例2】（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中校考階段練習）圓：和圓：交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程是______.
【答案】
【詳解】圓方程為，圓方程為，
則圓心分別為，，兩圓相交于兩點，則線段AB的垂直平分線即為直線，
，則直線的方程為，即，
故答案為：
【變式1】（2023秋·青海西寧·高二校考期末）圓與的交點坐標為______.
【答案】和
【詳解】聯立，兩式相減得，將其代入中得或，進而得或，
所以交點坐標為
故答案為：和
【變式2】（2022·高二課時練習）圓與圓的交點坐標為___________.
【答案】
【詳解】聯立兩個圓的方程：，方程帶入，先得到
，在聯立，得到，解得或，對應的值為或，于是得到兩圓交點：.
故答案為：.
題型03由圓的位置關系確定參數
【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題知：，，，，
.
因為和有公共點，所以，
解得.
故選：C
【典例2】（2023秋·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，即，圓心，；
，即，圓心，半徑；
兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，
即，
.
當且僅當，即，時等號成立.
故選：A
【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）若圓和有且僅有一條公切線，則______；此公切線的方程為______
【答案】 1
【詳解】如圖，

由題意得與相內切，又，
所以，
所以，解得，
所以，．
聯立，解得
所以切點的坐標為，
故所求公切線的方程為，即．
故答案為：1；
【變式1】（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【詳解】圓與圓相交，
兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，
即，所以.
解得或.
故選：B
【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______
【答案】2
【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓的圓心距，
兩圓內切，，可得，
所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．
故答案為：2．
題型04由圓與圓的位置關系確定圓的方程
【典例1】（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯考模擬預測）已知圓，圓過點且與圓相切于點，則圓的方程為__________.
【答案】
【詳解】如圖所示：
過點和的直線方程為，以點和點為端點的線段的垂直平分線為.
由得，則圓的半徑，
所以圓的方程為.
故答案為：
【典例2】（2023·河南焦作·統考模擬預測）已知圓，的圓心都在坐標原點，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內切，則圓C的標準方程為_________．
【答案】
【詳解】解：依題意可知圓心的橫坐標為，半徑為，
故圓的標準方程為.
故答案為：.
【典例3】（2023春·江西宜春·高二統考階段練習）已知圓
(1)若直線過定點，且與圓相切，求直線的方程；
(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【詳解】（1）圓
化為標準方程為，
所以圓C的圓心為，半徑為
①若直線的斜率不存在，即直線為，符合題意．
②若直線的斜率存在，設直線的方程為即
由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，
所以，即，
解得，所以直線方程為
綜上，所求直線的方程為或
（2）依題意，設
又已知圓C的圓心為，半徑為2，
由兩圓外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圓D的方程為或
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）經過點以及圓與交點的圓的方程為______．
【答案】
【詳解】聯立，整理得，
代入，得，解得或，
則圓與交點坐標為，
設經過點以及的圓的方程為,
則，解得，
故經過點以及圓與交點的圓的方程為，
故答案為：
【變式2】（2023·高二課時練習）已知圓和圓，求過兩圓交點，且面積最小的圓的方程．
【答案】
【詳解】設兩圓交點為A、B，則以AB為直徑的圓就是所求的圓．
聯立，可得直線AB的方程為．
又圓M的圓心，圓N的圓心
所以兩圓圓心連線的方程為．
解方程組，可得圓心坐標為．
圓心到直線AB的距離為，圓M的半徑為，
弦AB的長為，則所求圓的半徑為，
所以所求圓的方程為．
題型05相交圓的公共弦方程
【典例1】（2023·河南·統考二模）若圓與圓的公共弦的長為1，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】將兩圓方程相減可得直線的方程為，
即，
因為圓的圓心為，半徑為，且公共弦的長為，
則到直線的距離為，
所以，解得，
所以直線的方程為，
故選：D.
【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中學校考階段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為__________.
【答案】
【詳解】圓的方程可化為，則圓心，半徑，
可得點到直線的距離為，
所以直線與圓相離，
依圓的知識可知，四點四點共圓，且，
所以，
原題意等價于取到最小值，
當直線時，，此時最小.
的直線方程為：，
與聯立，解得：，即，
則的中點為，
所以以為直徑的圓的方程為，即，
兩圓的方程相減可得：，
即直線的方程為.
故答案為：.
【變式1】（2023春·全國·高二衛輝一中校聯考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.
【答案】
【詳解】圓：的圓心坐標為，
因為圓過圓的圓心，所以，
所以，所以：，
兩圓的方程相減可得相交弦方程為.
故答案為：.
【變式2】（2023·天津和平·耀華中學校考二模）圓與圓的公共弦所在的直線方程為______．
【答案】
【詳解】聯立，兩式相減得.
故答案為：
題型06兩圓的公共弦長
【典例1】（2023·天津濱海新·統考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于，兩點，則______
【答案】
【詳解】圓的方程為，即①，
又圓：②，
②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為
圓的圓心到直線的距離，
所以．
故答案為: .
【典例2】（2023秋·湖南張家界·高二統考期末）已知兩圓，．
(1)取何值時兩圓外切？
(2)當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
【答案】(1)
(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為，兩圓的公共弦的長為
【詳解】（1）因為圓的標準方程為，
所以兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.
當兩圓外切時，圓心距為半徑之和，則，結合，
解得；
（2）當時，圓的一般方程為
兩圓一般方程相減得：，
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為
圓圓心到的距離為
故兩圓的公共弦的長為．
【變式1】（2023春·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習）已知圓與圓有兩個公共點、，且，則實數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】對于圓，有，可得，
圓的標準方程為，圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，且，
因為兩圓有兩個公共點、，則，
即，
將兩圓方程作差可得，
因為，則直線過圓心，所以，，解得，
滿足.
因此，.
故選：C.
【變式2】（2023·浙江·高三專題練習）已知圓與交于兩點.若存在，使得，則的取值范圍為___________.
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑
若兩圓相交，則，所以，即，
又兩圓相交弦所在直線方程為：即
所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，
則弦長，所以，則，所以，
若存在，使得，則，即，所以的取值范圍為.
故答案為：.
題型07圓的公切線條數
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】根據題意，圓：，即，
其圓心為，半徑；
圓：，即，
其圓心為，半徑，
兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，
其公切線條數有3條．
故選：C．
【典例2】（2023·山西·校聯考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（ ）
A．0條 B．1條 C．2條 D．3條
【答案】B
【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，
所以圓心到直線的距離為，解得或．
因為，所以.
所以圓：的圓心為，半徑為．
圓：的標準方程為，
圓心坐標為，半徑，
圓心距，所以兩圓相內切．
所以兩圓的公切線只有1條.
故選：B．
【典例3】（2023秋·河北保定·高二統考期末）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，
所以，半徑，
由，所以，半徑為，
因為圓與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，
于是有，而，
所以m的取值范圍為，
故選：A
【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學校考開學考試）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因為圓：與：恰好有4條公切線，所以圓與外離，所以，解得或，即實數的取值范圍是.
故選：D.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
【答案】A
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
因為圓與圓有且僅有3條公切線，
所以兩圓外切，
則，
即，解得.
故選：A.
【變式2】（2023秋·上海楊浦·高二復旦附中校考期末）兩個圓：與：恰有三條公切線，則的最大值為（ ）
A． B． C．6 D．－6
【答案】A
【詳解】由已知可得，圓的方程可化為，圓心為，半徑；
圓的方程可化為，圓心為，半徑.
因為圓與圓恰有三條公切線，所以兩圓外切.
所以有，即，所以.
又，當且僅當時，等號成立，
所以.
故選：A.
【變式3】（2023·全國·模擬預測）已知圓，圓，則同時與圓和圓相切的直線有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．0條
【答案】B
【詳解】由圓，則圓心，半徑；
由圓，整理可得，則圓心，半徑；
由，則兩圓外切，同時與兩圓相切的直線有3條.
故選：B.
【變式4】（2023春·青海西寧·高二校考開學考試）圓與圓的公切線條數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】由圓方程，可得圓心，半徑；
由圓方程，可得圓心，半徑.
所以，，且，
所以兩圓相交，公切線條數為2.
故選：C.
題型08圓的公切線方程
【典例1】（多選）（2023·高二課時練習）已知圓，圓，則下列是，兩圓公切線的直線方程為（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【詳解】圓M的圓心為M（2，1），半徑．圓N的圓心為N（－2，－1），半徑．圓心距，兩圓相離，故有四條公切線．又兩圓關于原點O對稱，則有兩條切線過原點O，設切線方程為y＝kx，則圓心到直線的距離，解得k＝0或，對應方程分別為y＝0，4x－3y＝0．另兩條切線與直線MN平行，而，設切線方程為，則，解得，切線方程為，．
故選：ACD．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓與圓恰有兩條公切線，則滿足題意的一個的取值為____；此時公切線的方程為__________.
【答案】 5（答案不唯一） 和（答案與前空的答案有關聯）
【詳解】圓的圓心為，半徑為5.
因為圓與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交.即.
又，所以，
所以可取(答案不唯一.滿即可).
此時.
因為的圓心為，半徑為5，的圓心為，半徑為5，
所以可設公切線的方程為，且與兩圓圓心所在的直線平行，解得，
又因為是公切線，所以圓心到直線距離等于半徑，即，解得.
所以當時，公切線的方程為和.
故答案為: 5；和.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.
【答案】或或（三條中任寫一條即可）
【詳解】圓的圓心為，半徑為；
圓的圓心為，半徑為；
與的距離為，所以兩圓外切.
過與的直線方程為.
由圖可知，直線是兩圓的公切線，
由解得，設，
設兩圓的一條公切線方程為，
到直線的距離為，
即，解得，
所以兩圓的一條公切線方程為，即.
由兩式相減并化簡得，
所以兩圓的公切線方程為或或.
故答案為：或或（三條中任寫一條即可）
【變式1】（2023秋·山東聊城·高二統考期末）已知圓：與圓：相內切，則與的公切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】圓：的圓心，圓：可化為
，，則其圓心為，半徑為，
因為圓與圓相內切，所以，即，故.
由，可得，
即與的公切線方程為.
故選：D
【變式2】（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考模擬預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，
如圖，有三條切線，易得切線的方程為；
因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；
可知和關于對稱，聯立，解得在上，
在上取點，設其關于的對稱點為，則，
解得，則，
所以直線，即，
綜上，切線方程為或或.
故答案為：（答案不唯一，或均可以）
題型09圓的公切線長
【典例1】（2022秋·廣東云浮·高二校考期中）已知圓的方程為，圓的方程為.
(1)判斷圓與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.
(2)求兩圓的公切線長.
【答案】(1)兩圓相交，，；
(2).
【詳解】（1）圓A：，圓：，
兩圓心距，
∵，
∴兩圓相交，
將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得：，
此即為過兩圓交點的直線方程.
設兩交點分別為、，則垂直平分線段，
∵A到的距離，
∴.
（2）設公切線切圓A、圓的切點分別為，，則四邊形是直角梯形.
∴，
∴.
【變式1】（2022·高二課時練習）求圓與圓的內公切線所在直線方程及內公切線的長．
【答案】或，8
【詳解】，，，．
設內公切線與連心線交于點，則在軸上且．
設，可得，．
設內公切線所在直線方程為，即．
由，得．
所以內公切線所在直線方程為或．
內公切線的長為．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學校考階段練習）設圓，圓，則圓，的位置（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．外離
【答案】D
【詳解】圓，化為，圓心為，半徑為；
圓，化為，圓心為，半徑為；
兩圓心距離為：，
，
圓與外離，
故選：D.
2．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知圓和交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】將和相減得直線，
點到直線的距離，
所以．
故選：B
3．（2023秋·湖南郴州·高二統考期末）與兩圓和都相切的直線有（ ）條
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】由題意知，，
所以圓心距,
所以兩圓相離，公切線有4條.
故選：D.
4．（2023秋·貴州黔東南·高二凱里一中校考期末）已知圓與圓有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，圓心與圓心，
則圓心距，
因為圓與圓有兩個交點，
則圓與圓相交，
則，
解得．
故選：B.
5．（2023秋·高一單元測試）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】切線長，所以當取得最小值時，切線長取得最小值.當 共線且點在之間時，
最小，由于,所以min，
所以.
故選：.

6．（2023春·河南洛陽·高二統考期末）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，
圓，可得圓心，半徑為，
可得圓心距，
如圖，，
所以，
當共線時，取得最小值，
故的最小值為.

故選：B
7．（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】根據題意，圓：，即，
其圓心為，半徑；
圓：，即，
其圓心為，半徑，
兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，
其公切線條數有3條．
故選：C．
8．（2023秋·安徽滁州·高二校聯考期末）已知圓：，為直線：上的一點，過點作圓的切線，切點分別為，，當最小時，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由圓的知識可知，，，，四點共圓，且，
所以，
又，當時，此時取得最小值，
此時直線的方程為，即，
，解得，即.
所以的中點為，
所以以為直徑的圓的方程為，
又圓：，即，
兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為．
故選：D
二、多選題
9．（2023秋·高一單元測試）點在圓：上，點在圓：上，則（ ）
A．的最小值為
B．的最大值為
C．兩個圓心所在的直線斜率為
D．兩個圓公共弦所在直線的方程為
【答案】AC
【詳解】根據題意，圓：，其圓心，半徑，
圓：，即，其圓心，半徑，
則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；
的最小值為，最大值為，
故A正確，B不正確；
對于C，圓心，圓心，
則兩個圓心所在直線斜率，故C正確，
故選：AC.
10．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（ ）
A．圓與圓外切
B．直線與圓相切
C．直線被圓所截得的弦長為2
D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10
【答案】ACD
【詳解】圓化為，圓心坐標為，半徑為2，
圓化為，圓心坐標為，半徑為3.
因為兩個圓的圓心距為，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，正確.
圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.
圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.
若分別為圓和圓上一點，則的最大值為，正確.
故選：ACD
三、填空題
11．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______
【答案】2
【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓的圓心距，
兩圓內切，，可得，
所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．
故答案為：2．
12．（2023·天津·高三專題練習）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為__________．
【答案】
【詳解】由題意可得：，
即圓的圓心為，半徑為，
即圓心到直線的距離為，
故所截弦長為．
故答案為：
四、解答題
13．（2023秋·高二課時練習）如圖，已知點A、B的坐標分別是，點C為線段AB上任一點，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓的外公切線的切點，求線段PQ的中點的軌跡方程.

【答案】
【詳解】過C作，交于點，則是兩圓的內公切線，
因為直線為兩圓的外公切線，
由切線長知識可得，，，
所以是線段PQ的中點，
設，則，，，
連接，，，，則
又因為，，，,
所以，，
所以，，
從而可得，所以，
所以，
所以，
因為點是線段上任一點，和為直徑，
所以，
所以線段PQ的中點的軌跡方程為.

14．（2023秋·河北保定·高二統考期末）已知圓與圓
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）圓，圓心坐標為，半徑，
圓化成標準方程為，圓心坐標為，半徑，
圓心距，，所以圓與圓相交.
（2）兩圓方程相減，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為.
（3）設所求圓的方程為，即，圓心坐標為，代入直線可得，解得，所求圓的方程為
B能力提升
1．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）已知圓和兩點，，若圓C上至少存在一點P，使得，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】圓C：的圓心，半徑，
∵圓C上至少存在一點P，使得，
∴圓：與圓O：位置關系為相交，內切或內含，如圖所示，
又圓O：的圓心，半徑，
則，即，∴．
故選：B．

2．（2023·浙江嘉興·校考模擬預測）已知動直線與圓交于，兩點，且．若與圓相交所得的弦長為，則的最大值與最小值之差為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【詳解】由題意可知圓的圓心在圓上，
則當動直線經過圓心，即點或與圓心重合時，如圖1，
此時弦長取得最大值，且最大值為；
設線段的中點為，
在中，由，且，則，
則動直線在圓上做切線運動，
所以當動直線與軸垂直，且點的坐標為時，如圖2，
此時弦長取得最小值，且最小值為，
所以的最大值與最小值之差為2．
故選：D．
3．（2023·北京通州·統考模擬預測）在平面直角坐標系內，點O是坐標原點，動點B，C滿足，，A為線段中點，P為圓任意一點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，則，
又，且A為線段中點，則，
所以A為圓任意一點，
設圓的圓心為M，則，
又，所以圓O與圓M相離，
所以的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點之間的距離，
所以，
，
所以的取值范圍為．
故選：A．
4．（2023·全國·高三專題練習）已知平面內的動點，直線：，當變化時點始終不在直線上，點為：上的動點，則的取值范圍為（ ）
A． B．
所以點M的軌跡方程為；
（3）依題意有，，
四邊形QACB對角互補，所以Q，A，B，C四點共圓， 且QC為圓的直徑，
設，則圓心坐標為， 半徑為，
則圓的標準方程為 ，
整理得，與圓C的方程聯立，
消去二次項得∶，即為直線l的方程，
因為直線過定點，所以，解得：，
所以當m變化時，點Q恒在直線上．
2．（2023春·上海黃浦·高二格致中學校考階段練習）已知圓和圓
(1)若圓與圓相交于兩點，求的取值范圍，并求直線的方程（用含有的方程表示）
(2)若直線與圓交于兩點，且，求實數的值
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為，
因為圓與圓相交于兩點，則，
解得，
與相減得，
直線的方程為；
（2）設，則聯立，
得，
則，
則，
，
，
解得，或，
其中不滿足，舍去，滿足要去，
則實數的值為.
3．（2023·上海·高二專題練習）已知圓C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定點A（m，0），B（0，n），其中m，n為正實數．
(1)當a＝m＝n＝3時，判斷直線AB與圓C的位置關系；
(2)當a＝4時，若對于圓C上任意一點P均有PA＝λPO成立（O為坐標原點），求實數m，λ的值；
(3)當m＝2，n＝4時，對于線段AB上的任意一點P，若在圓C上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求實數a的取值范圍．
【答案】(1)相離
(2)m＝3，λ＝2
(3)
【詳解】（1）當a＝3時，圓心為，半徑為，
當m＝n＝3時，直線AB方程為，
∴圓心到直線距離為，
∵，∴直線與圓相離；
（2）設點P（x，y），則，，
∵PA＝λPO，∴，
即，
由得，，∴，
代入得，，
化簡得，
∵P為圓C上任意一點，∴，
又m，λ＞0，解得m＝3，λ＝2；
（3）直線AB的方程為，設，N（x，y），
∵點M是線段PN的中點，，
又M，N都在圓C：（x+1）2+y2＝a上，，
即．
∵關于x，y的方程組有解，即以（﹣1，0）為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點，
∴，
又P為線段AB上的任意一點，∴對所有成立．
而在[0，2]上的值域為，
∴，即．
根據題意可知線段AB與圓C無公共點，∴，則．
故實數a的取值范圍為．
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