資源簡介

第06講 2.3直線的交點坐標與距離公式
（2.3.1兩條直線的交點坐標+2.3.2兩點間的距離公式
+2.3.3點到直線的距離公式+2.3.4兩條平行線間的距離公式）
課程標準 學習目標
①掌握兩條直線的位置關系中的相交幾何意義，并能根據已知條件求出兩條直線的交點坐標，并能根據兩條直線相交的性質求待定參數。 ②會求平面內點與直線的距離，并能解決與距離有關的平面幾何問題。 ③.會用兩點間的距離公式求平面內兩點間的距離.。 ④能應用公式求兩平行線間的距離，以此解決與平面距離有關的綜合問題。 1.會求兩條直線的交點坐標，通過兩條直線相交的性質，解決與直線相交有關的問題； 2.掌握利用向量法推導兩點間距離公式的方法，并能用兩點間距離公式求兩點間的距離，以及解決與平面距離相關的問題； 3.會用公式解決與點到直線距離有關的問題，并能解決與之相關的綜合問題； 4.熟練應用公式求平面內兩平行線間的距離，以及與距離有關的參數的求解，能處理平面內與距離有關的問題.；
知識點01：兩條直線的交點坐標
直線：（）和：（）的公共點的坐標與方程組的解一一對應.
與相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；
與平行方程組無解；
與重合方程組有無數個解.
【即學即練1】（2023·江蘇·高二假期作業）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)相交，交點坐標為
(2)不相交
(3)不相交
【詳解】（1）解方程組，得，
所以與相交，交點坐標為．
（2）解方程組，方程組無解，
所以與無公共點，即與不相交．
（3）解方程組，
因為方程可化為，
所以方程組有無數組解，
所以與有無數個公共點，即與不相交．
知識點02：兩點間的距離
平面上任意兩點，間的距離公式為
特別地，原點與任一點的距離.
【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點與點間的距離為，則________．
【答案】9或
【詳解】由，
得，
即，解得或．
故答案為：9或.
知識點03：點到直線的距離
平面上任意一點到直線：的距離.
【即學即練3】（2023春·上海青浦·高二統考期末）點到直線的距離為__________．
【答案】
【詳解】由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.
故答案為：.
知識點04：兩條平行線間的距離
一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.
【即學即練4】（2023秋·廣西河池·高二統考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為直線，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之間的距離.
故選：A.
知識點05：對稱問題
1、點關于點對稱問題(方法：中點坐標公式)
求點關于點的對稱點
由：
2、點關于直線對稱問題（聯立兩個方程）
求點關于直線：的對稱點
①設中點為利用中點坐標公式得，將代入直線：中；
②
整理得：
【即學即練5】（2023秋·高二課時練習）若點關于直線對稱，則_________；__________．
【答案】 4 2
【詳解】依題意，直線的斜率為，線段的中點，
于是，整理得，解得，
所以.
故答案為：4；2
3、直線關于點對稱問題(求關于點的對稱直線，則）
方法一：在直線上找一點，求點關于點對稱的點，根據，再由點斜式求解；
方法二：由，設出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數.
方法三：在直線任意一點，求該點關于點對稱的點，則該點在直線上.
【即學即練6】（2023·高二單元測試）直線關于點的對稱直線方程是______．
【答案】
【詳解】設對稱直線為，
則有，即
解這個方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中.
故答案為：.
4、直線關于直線對稱問題
4.1直線：（）和：（）相交,求關于直線的對稱直線
①求出與的交點
②在上任意取一點(非點），求出關于直線的對稱點
③根據，兩點求出直線
4.2直線：（）和：（）平行,求關于直線的對稱直線
①
②在直線上任取一點，求點關于直線的對稱點，利用點斜式求直線.
【即學即練7】（2023·高二課時練習）求直線關于直線對稱的直線的方程．
【答案】
【詳解】聯立兩直線方程，解得，即兩直線的交點為，
取直線：上一點，設其關于直線：的對稱點，
則，解得，即，
因為所求直線過，，方程為，
即.
【即學即練8】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學校考期中）直線關于直線對稱的直線方程為________
【答案】
【詳解】設所求直線方程為，且，
直線與直線間的距離為，
則直線與直線間的距離為，又，得，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
題型01求直線交點坐標
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）直線與直線的交點坐標是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【典例2】（2023秋·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B． C． D．
【變式1】（2023秋·天津·高二校聯考期末）過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型02由方程組解的個數判斷直線的位置關系
【典例1】（2023秋·高二課時練習）判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．
(1)直線；
(2)直線．
【典例2】（2022·上海·高三專題練習）若關于、的方程組無解，則實數________
【變式1】（2022·高二課時練習）若關于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．
【變式2】（2022·高二課時練習）關于 的二元一次方程組有無窮多組解，則與的積是_____.
題型03由直線交點的個數求參數
【典例1】（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學校考階段練習）直線與直線相交，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．且
【典例2】（2022·高二校聯考課時練習）若關于，的方程組有唯一解，則實數滿足的條件是________.
【典例3】（2022·高二校聯考課時練習）已知三條直線，，.
（1）若直線，，交于一點，求實數的值；
（2）若直線，，不能圍成三角形，求實數的值.
【變式1】（2022·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數的值為（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【變式2】（2022·高二課時練習）三條直線 有且只有兩個交點，求實數的值.
題型04由直線的交點坐標求參數
【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與直線的交點在第四象限，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是___________.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）若三條直線和交于一點，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）兩直線和的交點在軸上，則的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
題型05三線圍成三角形問題
【典例1】（2023秋·高二課時練習）使三條直線不能圍成三角形的實數的值最多有幾個（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）若三條直線，，能構成三角形，求應滿足的條件．

【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）三條直線，，構成三角形，則的值不能為（ ）
A． B．
C． D．－2
【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．
題型06直線交點系方程及其應用
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.
【典例2】（2022·高二課時練習）已知兩直線和的交點為．求：
(1)過點與的直線方程；
(2)過點且與直線平行的直線方程．
【變式1】（2022秋·高二課時練習）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（　　）
A． B．
C． D．
【變式2】（2022·高二單元測試）已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標．
【變式3】（2022·高二課時練習）直線經過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.
題型07求兩點間的距離公式
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知，兩點分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點為，則線段的長為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過定點，直線過定點，與相交于點，則（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【變式1】（2023秋·高二課時練習）已知，點在軸上，且，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）直線和直線分別過定點和，則|________．
【變式3】（2023·高三課時練習）如圖，是邊長為1的正三角形，，分別為線段，上一點，滿足，，與的交點為，則線段的長度為___________.
題型08距離公式的應用
【典例1】（2023春·江西·高三校聯考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
【典例2】（2022秋·福建·高二校聯考期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（ ）．
A．3 B． C． D．
【典例3】（2022秋·甘肅嘉峪關·高二校考期中）函數的最小值是_____________.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為.根據以上性質， 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2022秋·北京·高二北京工業大學附屬中學校考期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）某同學在研究函數的性質時，聯想到兩點間的距離公式，從而將函數變形為，求得的最小值為________．
題型09求點到直線的距離
【典例1】（2023·重慶·高二統考學業考試）點(1,1)到直線的距離是（ ）
A．1 B．2 C．
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）已知動點在直線上，則的最小值為_________.
【變式1】（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習）點在直線上，為原點，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【變式2】（2023春·遼寧·高二校聯考階段練習）已知圓經過點，則點到圓心的距離的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
題型10 已知點到直線的距離求參數
【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知到直線的距離等于3，則的值為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線上存在一點，滿足，其中為坐標原點.則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·河南南陽·高二校聯考階段練習）求滿足下列條件的直線的一般式方程：
(1)經過直線,的交點，且經過點；
(2)與直線垂直，且點到直線的距離為．
【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二統考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（ ）
A或 B．或15
C．5或 D．5或15
【變式2】（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（ ）
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點到直線的距離為，則等于（ ）
A． B． C． D．
題型11求點關于直線的對稱點
【典例1】（2023秋·四川遂寧·高二統考期末）已知點與點關于直線對稱，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學校考期末）已知，兩點關于直線對稱，則點的坐標為______.
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）點關于直線的對稱點的坐標為_________．
【變式2】（2023·高二課時練習）若點關于直線對稱的點是，求、的值．
題型12求到兩點距離相等的直線方程
【典例1】（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中校考開學考試）已知兩點到直線的距離相等，則（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【典例2】（2023·高二課時練習）已知點，到直線的距離都等于2，求直線的方程．
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．
【變式2】（2023·高三課時練習）已知點，若直線過點，且、到直線的距離相等，則直線的方程為______.
題型13直線關于直線對稱
【典例1】（2023春·湖北武漢·高二華中科技大學附屬中學校考階段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）兩直線方程為，，則關于對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023·高二課時練習）如果直線與直線關于軸對稱，那么直線的方程是______．
【典例4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是________.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線關于軸對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）求直線關于直線對稱的直線方程（ ）
B．
C． D．
【變式3】（2023·高二課時練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么______，______．
【變式4】（2023·四川遂寧·統考模擬預測）若直線與關于直線對稱，則實數a=______.
題型14平行線間的距離問題
【典例1】（2023秋·高二課時練習）兩條平行直線與間的距離為（ ）
A． B．2 C．14 D．
【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例3】（2023秋·高一單元測試）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．
【變式1】（2023春·河南南陽·高二校聯考階段練習）若平面內兩條平行線：，：間的距離為，則實數（ ）
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
【變式2】（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）若直線與之間的距離為，則a的值為（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【變式3】（2023春·河南洛陽·高二校考階段練習）兩條平行線，間的距離等于（ ）
A． B． C． D．
題型15直線關于點對稱的直線
【典例1】（2023·高二課時練習）關于原點對稱的直線是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【典例3】（2023·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程是______．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程為__________．
題型16將軍飲馬問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．5 C． D．
【典例2】（2023·高二課時練習）已知點和，在直線上找一點，使最小，并求這個最小值．
【變式1】（2023春·四川資陽·高三四川省樂至中學校考開學考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習）函數的值域為__________.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023·江蘇·高二假期作業）已知點，，則A，B兩點的距離為（ ）
A．25 B．5
C．4 D．
2．（2023春·江蘇鎮江·高二統考期中）已知，，，則是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
3．（2023春·廣西玉林·高二統考期中）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
上，經反射后沿著直線射出，則實數______．
四、解答題
13．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中）已知的三個頂點，，.
(1)求直線的方程；
(2)求的面積.
14．（2023·全國·高三對口高考）已知三條直線、和且與的距離是．
(1)求的值；
(2)已知點到直線的距離與點到直線的距離之比是，試求出點的軌跡方程．
能力提升
1．（2023·全國·高三專題練習）直線的方程為，當原點到直線的距離最大時，的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學校考開學考試）17世紀法國數學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小．現已證明：在中，若三個內角均小于，則當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·上海奉賢·高二校考期末）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023秋·上海浦東新·高二校考期末）已知正實數滿足，則的取最小值___________.
C綜合素養
1．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級中學校考期末）線從出發，經兩直線反射后，仍返回到點.則光線從P點出發回到P點所走的路程長度（即圖中周長）為_________.
2．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學校考期中）已知直線和，
(1)求與l1與l2距離相同的點的軌跡；
(2)過l1與l2交點作一條直線l，使它夾在兩平行線與之間的線段長為，求直線l的方程．
3．（2023·高三課時練習）已知、，設過點的直線與的邊交于點（點與不重合），與邊交于點，如圖所示.
(1)求的面積關于直線的斜率的函數關系式；
(2)當為何值時，取最大值，并求出此最大值.
第06講 2.3直線的交點坐標與距離公式
（2.3.1兩條直線的交點坐標+2.3.2兩點間的距離公式
+2.3.3點到直線的距離公式+2.3.4兩條平行線間的距離公式）
課程標準 學習目標
①掌握兩條直線的位置關系中的相交幾何意義，并能根據已知條件求出兩條直線的交點坐標，并能根據兩條直線相交的性質求待定參數。 ②會求平面內點與直線的距離，并能解決與距離有關的平面幾何問題。 ③.會用兩點間的距離公式求平面內兩點間的距離.。 ④能應用公式求兩平行線間的距離，以此解決與平面距離有關的綜合問題。 1.會求兩條直線的交點坐標，通過兩條直線相交的性質，解決與直線相交有關的問題； 2.掌握利用向量法推導兩點間距離公式的方法，并能用兩點間距離公式求兩點間的距離，以及解決與平面距離相關的問題； 3.會用公式解決與點到直線距離有關的問題，并能解決與之相關的綜合問題； 4.熟練應用公式求平面內兩平行線間的距離，以及與距離有關的參數的求解，能處理平面內與距離有關的問題.；
知識點01：兩條直線的交點坐標
直線：（）和：（）的公共點的坐標與方程組的解一一對應.
與相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；
與平行方程組無解；
與重合方程組有無數個解.
【即學即練1】（2023·江蘇·高二假期作業）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)相交，交點坐標為
(2)不相交
(3)不相交
【詳解】（1）解方程組，得，
所以與相交，交點坐標為．
（2）解方程組，方程組無解，
所以與無公共點，即與不相交．
（3）解方程組，
因為方程可化為，
所以方程組有無數組解，
所以與有無數個公共點，即與不相交．
知識點02：兩點間的距離
平面上任意兩點，間的距離公式為
特別地，原點與任一點的距離.
【即學即練2】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點與點間的距離為，則________．
【答案】9或
【詳解】由，
得，
即，解得或．
故答案為：9或.
知識點03：點到直線的距離
平面上任意一點到直線：的距離.
【即學即練3】（2023春·上海青浦·高二統考期末）點到直線的距離為__________．
【答案】
【詳解】由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.
故答案為：.
知識點04：兩條平行線間的距離
一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.
【即學即練4】（2023秋·廣西河池·高二統考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為直線，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之間的距離.
故選：A.
知識點05：對稱問題
1、點關于點對稱問題(方法：中點坐標公式)
求點關于點的對稱點
由：
2、點關于直線對稱問題（聯立兩個方程）
求點關于直線：的對稱點
①設中點為利用中點坐標公式得，將代入直線：中；
②
整理得：
【即學即練5】（2023秋·高二課時練習）若點關于直線對稱，則_________；__________．
【答案】 4 2
【詳解】依題意，直線的斜率為，線段的中點，
于是，整理得，解得，
所以.
故答案為：4；2
3、直線關于點對稱問題(求關于點的對稱直線，則）
方法一：在直線上找一點，求點關于點對稱的點，根據，再由點斜式求解；
方法二：由，設出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數.
方法三：在直線任意一點，求該點關于點對稱的點，則該點在直線上.
【即學即練6】（2023·高二單元測試）直線關于點的對稱直線方程是______．
【答案】
【詳解】設對稱直線為，
則有，即
解這個方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中.
故答案為：.
4、直線關于直線對稱問題
4.1直線：（）和：（）相交,求關于直線的對稱直線
①求出與的交點
②在上任意取一點(非點），求出關于直線的對稱點
③根據，兩點求出直線
4.2直線：（）和：（）平行,求關于直線的對稱直線
①
②在直線上任取一點，求點關于直線的對稱點，利用點斜式求直線.
【即學即練7】（2023·高二課時練習）求直線關于直線對稱的直線的方程．
【答案】
【詳解】聯立兩直線方程，解得，即兩直線的交點為，
取直線：上一點，設其關于直線：的對稱點，
則，解得，即，
因為所求直線過，，方程為，
即.
【即學即練8】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學校考期中）直線關于直線對稱的直線方程為________
【答案】
【詳解】設所求直線方程為，且，
直線與直線間的距離為，
則直線與直線間的距離為，又，得，
所以所求直線方程為，
故答案為：.
題型01求直線交點坐標
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）直線與直線的交點坐標是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【答案】C
【詳解】解方程組得，
即直線與直線的交點坐標是(0,2)．
故選：C.
【典例2】（2023秋·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【詳解】聯立得，
因為直線與直線的交點位于第一象限，
所以，解得.
故選：D
【變式1】（2023秋·天津·高二校聯考期末）過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】聯立方程 ，解得 ，所以交點坐標為 ；
直線 的斜率為 ，所以所求直線方程的斜率為 ，
由點斜式直線方程得：所求直線方程為 ，即 ；
故選：B.
【變式2】（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】若直線與直線平行或重合，則，解得，
若直線與直線相交，可得且，則有：
聯立方程，解得，即交點坐標，
由題意可得：，解得；
綜上所述：k的取值范圍為.
故選：C.
題型02由方程組解的個數判斷直線的位置關系
【典例1】（2023秋·高二課時練習）判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．
(1)直線；
(2)直線．
【答案】(1)相交，交點是
(2)答案見解析
【詳解】（1）聯立，解得，
所以兩直線相交，交點坐標為.
（2）當時，，，
聯立，方程組有無數組解，故兩直線重合，
當時，，，
聯立，方程組無解，故兩直線平行，
當，聯立，解得，
所以兩直線相交，交點坐標為.
綜上所述：當時，兩直線重合；當時，兩直線平行；當時，兩直線相交，交點坐標為.
【典例2】（2022·上海·高三專題練習）若關于、的方程組無解，則實數________
【答案】
【詳解】由題意關于、的方程組無解，即直線和直線平行，故，所以，
此時直線即，確實與平行，故滿足題意，所以實數.
故答案為：-2.
【變式1】（2022·高二課時練習）若關于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．
【答案】
【詳解】依題意二元一次方程組有無窮多組解，即兩個方程對應的直線重合，由，解得或.
當時，二元一次方程組為，兩直線不重合，不符合題意.
當時，二元一次方程組為，兩直線重合，符合題意.
綜上所述，的值為.
故答案為：
【變式2】（2022·高二課時練習）關于 的二元一次方程組有無窮多組解，則與的積是_____.
【答案】-35
【詳解】因為x y的二元一次方程組有無窮多組解，
所以直線與直線重合，
所以，解得，
所以 ，
故答案為：-35
題型03由直線交點的個數求參數
【典例1】（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學校考階段練習）直線與直線相交，則實數的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．且
【答案】D
【詳解】因直線與直線相交，則，
即，解得且，
所以實數k的值為且.
故選：D
【典例2】（2022·高二校聯考課時練習）若關于，的方程組有唯一解，則實數滿足的條件是________.
【答案】/
【詳解】由，可得，
由關于，的方程組有唯一解，
可得方程有唯一解，則
故答案為：
【典例3】（2022·高二校聯考課時練習）已知三條直線，，.
（1）若直線，，交于一點，求實數的值；
（2）若直線，，不能圍成三角形，求實數的值.
【答案】（1）或；（2）或或4或.
【詳解】（1）∵直線，，交于一點，
∴與不平行，∴，
由，得，
即與的交點為，
代入的方程，得，
解得或.
（2）若，，交于一點，則或；
若，則；
若，則；
若，則不存在滿足條件的實數.
綜上，可得或或4或.
【變式1】（2022·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數的值為（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【答案】C
【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，
∵直線和直線不平行，
∴直線和直線平行或直線和直線平行，
∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，
∴或.
故選：C.
【變式2】（2022·高二課時練習）三條直線 有且只有兩個交點，求實數的值.
【答案】或
【詳解】由得：，即有一個交點，或；
即或，解得：或.
題型04由直線的交點坐標求參數
【典例1】（2023秋·高一單元測試）若直線與直線的交點在第四象限，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由方程組，解得，
即兩直線的交點坐標為，
因為兩直線的交點位于第四象限，可得且，解得，
即實數的取值范圍為.
故選：D.
【典例2】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】由題意，直線，
令，可得；令，可得，即，
如圖所示，
當直線過點，可得；
當直線過點，可得，
要使得直線與直線的交點在第一象限，則，
即實數的取值范圍是.
故答案為：.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業）若三條直線和交于一點，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【詳解】解：聯立得.
把代入得.
故選：C
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）兩直線和的交點在軸上，則的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
【答案】C
【詳解】因為兩條直線和的交點在軸上，
所以設交點為，
所以，消去，可得．
故選：．
題型05三線圍成三角形問題
【典例1】（2023秋·高二課時練習）使三條直線不能圍成三角形的實數的值最多有幾個（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】B
【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，
若平行，則，即；
若平行，則，即無解；
若平行，則，即；
若三條直線交于一點，，可得或；
經檢驗知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個.
故選：B
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業）若三條直線，，能構成三角形，求應滿足的條件．

【答案】且
【詳解】為使三條直線能構成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．
①若，則由，得；
②若，則由，得；
③若，則由，得，
當時，與三線重合，當時，平行．
④若三條直線交于一點，由，解得，
將的交點的坐標代入的方程，
解得 (舍去)，或，
所以要使三條直線能構成三角形，需且．
【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習）三條直線，，構成三角形，則的值不能為（ ）
A． B．
C． D．－2
【答案】AC
【詳解】直線與都經過原點，而無論為何值，直線總不經過原點，
因此，要滿足三條直線構成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，
所以．
故選：AC.
【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．
【答案】或1
【詳解】顯然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交點，
若與垂直，則；
若與垂直，則．所以或1．
故答案為：或1
題型06直線交點系方程及其應用
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.
【答案】或
【詳解】方法一：由，得，
所以兩條直線的交點坐標為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
【典例2】（2022·高二課時練習）已知兩直線和的交點為．求：
(1)過點與的直線方程；
(2)過點且與直線平行的直線方程．
【答案】(1)
(2)
（1）設過直線和交點的直線方程為，即．①把點代入方程①，化簡得，解得，所以過點P與Q的直線方程為，即．
（2）由兩直線平行，得，得，所以所求直線的方程為，即．
【變式1】（2022秋·高二課時練習）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設過兩直線交點的直線系方程為，
代入原點坐標，得，解得，
故所求直線方程為，即.
故選：D.
【變式2】（2022·高二單元測試）已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標．
【答案】證明見解析，
【詳解】證明：原方程整理為，則由得
所以點坐標為．
【變式3】（2022·高二課時練習）直線經過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.
【答案】或
【詳解】解：設直線方程為，
化簡得,
直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，
直線的斜率為,
或，解得或.
代入并化簡得直線的方程為或.
所以所求的直線方程為或.
題型07求兩點間的距離公式
【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業）已知，兩點分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點為，則線段的長為（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【詳解】因為直線和互相垂直，
所以，解得，
所以線段AB的中點為，
所以設，則，解得，
所以，
所以，
故選：C
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線過定點，直線過定點，與相交于點，則（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【答案】B
【詳解】解：因為，所以直線與直線互相垂直且垂足為點，
又因為直線過定點，直線，即過定點，
所以在中，，
故選：B.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）已知，點在軸上，且，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為點C在x軸上，設點，則，
所以，
化簡可得：，所以.
故選：D.
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業）直線和直線分別過定點和，則|________．
【答案】
【詳解】將直線的方程變形為，由，可得，即點，
將直線的方程變形為，
由，可得，即點，
所以，.
故答案為：.
【變式3】（2023·高三課時練習）如圖，是邊長為1的正三角形，，分別為線段，上一點，滿足，，與的交點為，則線段的長度為___________.
【答案】
【詳解】解：以為原點，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，，，，，
所以直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
聯立，解得，即，
所以.
故答案為：.
題型08距離公式的應用
【典例1】（2023春·江西·高三校聯考開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據以上性質，.則的最小值為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意得：的幾何意義為點到點的距離之和的最小值，
因為，，
，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點，連接，與交于點，連接，故，，
因為，所以，故，則，
故點到三角形三個頂點距離之和最小，即取得最小值，
因為，所以，同理得：，，
，
故的最小值為.
故選：B
【典例2】（2022秋·福建·高二校聯考期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為點到點的距離，則的最小值為（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【詳解】,
可以看作點到點的距離之和，
作點關于軸的對稱點，顯然當三點共線時，取到最小值，
最小值為間的距離.
故選：D.
【典例3】（2022秋·甘肅嘉峪關·高二校考期中）函數的最小值是_____________.
【答案】5
【詳解】解：因為
，
設，，，則表示點到點，兩點的距離之和，即，
點是軸上的點，則點關于軸的對稱點為，則，
所以，所以的最小值是.
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等均為.根據以上性質， 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題的幾何意義為點到點的距離之和的最小值.
由題可知,此時,且在軸上.
故.,.
故的最小值為
故選：D
【變式2】（2022秋·北京·高二北京工業大學附屬中學校考期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點與點的距離.結合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，
記點、、，則，
當且僅當點為線段與軸的交點時，等號成立，即的最小值為.
故選：C.
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）某同學在研究函數的性質時，聯想到兩點間的距離公式，從而將函數變形為，求得的最小值為________．
【答案】
【詳解】由變形所得函數知：表示x軸上的動點到兩定點的距離之和，
∴當且僅當與重合時，有最小值為.
故答案為：
題型09求點到直線的距離
【典例1】（2023·重慶·高二統考學業考試）點(1,1)到直線的距離是（ ）
A．1 B．2 C．
【答案】A
【詳解】，
故選：A
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統考期中）已知動點在直線上，則的最小值為_________.
【答案】2
【詳解】因為表示動點到坐標原點，
所以的最小值為到線的距離.
故答案為：2.
【變式1】（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習）點在直線上，為原點，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】原點到直線的距離為，
根據垂線段的性質可知的最小值是，
故選：A
【變式2】（2023春·遼寧·高二校聯考階段練習）已知圓經過點，則點到圓心的距離的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【詳解】設，依題意，，則，
整理得，點到的距離，
所以點到圓心的距離的最小值．
故選：C
題型10 已知點到直線的距離求參數
【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知到直線的距離等于3，則的值為（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【詳解】由距離公式可得，，即解得或.
故選：C
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知直線上存在一點，滿足，其中為坐標原點.則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為直線上存在一點P，使得，
所以原點O到直線l的距離小于等于1，即，解得：，
即k的取值范圍是.
故選：C
【典例3】（2023春·河南南陽·高二校聯考階段練習）求滿足下列條件的直線的一般式方程：
(1)經過直線,的交點，且經過點；
(2)與直線垂直，且點到直線的距離為．
【答案】(1)
(2)或.
【詳解】（1）聯立，得，即，
由兩點式得，即.
（2）因為與直線垂直，所以直線的斜率為，
設直線，即，
依題意得，解得或，
所以直線的方程為或.
【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二統考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（ ）
A或 B．或15
C．5或 D．5或15
【答案】D
【詳解】因為點到直線的距離為1，
所以,解得或5.
故選:D.
【變式2】（2023秋·浙江湖州·高二統考期末）已知點到直線的距離為1，則的值為（ ）
A．或 B．或15 C．5或 D．5或15
【答案】D
【詳解】解：點到直線的距離為1，
解得：m=15或5．
故選：D.
【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業）已知點到直線的距離為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意得．
解得或．，．
故選：C.
題型11求點關于直線的對稱點
【典例1】（2023秋·四川遂寧·高二統考期末）已知點與點關于直線對稱，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設，因點A與點B關于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直，
則，
即點A坐標為.
故選：C
【典例2】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學校考期末）已知，兩點關于直線對稱，則點的坐標為______.
【答案】
【詳解】解：設點，
因為直線的斜率為，
則有，
解得：，
所以點的坐標為.
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）點關于直線的對稱點的坐標為_________．
【答案】
【詳解】設點關于直線的對稱點的坐標為，則
，解得，
即點關于直線的對稱點的坐標為.
故答案為：.
【變式2】（2023·高二課時練習）若點關于直線對稱的點是，求、的值．
【答案】，.
【詳解】因為點關于直線對稱的點是，
所以有，解得，.
題型12求到兩點距離相等的直線方程
【典例1】（2023春·湖南長沙·高二瀏陽一中校考開學考試）已知兩點到直線的距離相等，則（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【詳解】（1）若在的同側，
則，所以，，
（2）若在的異側，
則的中點在直線上，
所以解得,
故選:D.
【典例2】（2023·高二課時練習）已知點，到直線的距離都等于2，求直線的方程．
【答案】
或，，．
【詳解】①當時，因為直線的方程為，所以可設直線l的方程為．
由或，即直線l的方程為或．
②當l過線段的中點時，設l的方程為，即．點到l的距離，即．又當軸時，斜率不存在，此時也符合題意．
綜上直線的方程為：或，，．
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）過點且和的距離相等的直線方程是_________．
【答案】或
【詳解】若斜率不存在時，過點的直線為，此時不滿足條件；
若斜率存在時，設過點的直線，即．
根據題意，可得，解得或，
當時，直線方程為，
當時，直線方程為
綜上可得，直線方程為或．
故答案為：或
【變式2】（2023·高三課時練習）已知點，若直線過點，且、到直線的距離相等，則直線的方程為______.
【答案】或
【詳解】依題意，到直線的距離相等.
的中點為，
當過以及時，
直線的方程為.
直線的斜率為，
當直線過并與平行時，
直線的方程為.
綜上所述，直線的方程為或.
故答案為：或
題型13直線關于直線對稱
【典例1】（2023春·湖北武漢·高二華中科技大學附屬中學校考階段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】在上取一點，
則由題意可得其關于直線的對稱點在上，
所以，得，
在上取一點，
則其關于直線的對稱點在上，
所以，得，
綜上，
故選：A
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）兩直線方程為，，則關于對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設所求直線上任一點，關于直線的對稱點，，
則，解出
點在直線上， 將式代入，得，
化簡得，即為關于對稱的直線方程．
故選：C
【典例3】（2023·高二課時練習）如果直線與直線關于軸對稱，那么直線的方程是______．
【答案】
【詳解】解：∵直線的斜率為-1，且與y軸交于（0，1）點，
又∵直線l與直線關于y軸對稱，
∴直線l的斜率為1，且過（0，1）點，
則直線l的方程為，
故答案為：
【典例4】（2023·全國·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是________.
【答案】
【詳解】設所求直線上任意一點，
點P關于的對稱點為,
如圖所示：
則有，得
∵點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線關于軸對稱的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設點是所求直線上任意一點，則關于軸的對稱點為，且在直線上，代入可得，即.
故選：C.
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）求直線關于直線對稱的直線方程（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【詳解】設對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
故選：B
【變式3】（2023·高二課時練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么______，______．
【答案】 6
【詳解】解：直線上的點關于的對稱點在上，
所以，解得，
直線上的點關于的對稱點在上，
所以，解得.
故答案為：；
【變式4】（2023·四川遂寧·統考模擬預測）若直線與關于直線對稱，則實數a=______.
【答案】
【詳解】直線過點，
點關于直線對稱點為，
依題意可知點在直線上，
所以.
故答案為：
題型14平行線間的距離問題
【典例1】（2023秋·高二課時練習）兩條平行直線與間的距離為（ ）
A． B．2 C．14 D．
【答案】D
【詳解】由距離公式可知，所求距離為.
故選：D
【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）已知兩條直線，，且，當兩平行線距離最大時，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【詳解】，由，
解得，故過定點．
，由，
解得，故過定點，
故，距離的最大值為．
此時，，則，，
解得，故．
故選：C．
【典例3】（2023秋·高一單元測試）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．
【答案】3
【詳解】因為直線與平行，
所以，解得且，
所以直線為，
直線化為，
因為兩平行線間的距離為，
所以，得，
因為
所以，得，
所以，
故答案為：3
【變式1】（2023春·河南南陽·高二校聯考階段練習）若平面內兩條平行線：，：間的距離為，則實數（ ）
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
【答案】A
【詳解】因為兩直線：，：平行，
可得且，解得或，
當時，，，即，
可兩平行線間的距離為，符合題意；
當時，，，即，
可兩平行線間的距離為，不符合題意，舍去.
故選：A.
【變式2】（2023·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）若直線與之間的距離為，則a的值為（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【詳解】將直線化為，
則直線與直線之間的距離，
根據題意可得：，即，解得或，
所以a的值為或.
故選：C
【變式3】（2023春·河南洛陽·高二校考階段練習）兩條平行線，間的距離等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，將直線變為，
又，
所以兩平行線間的距離為.
故選：A.
題型15直線關于點對稱的直線
【典例1】（2023·高二課時練習）關于原點對稱的直線是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：對于直線，將換為，換為得到，即，
所以直線關于原點對稱的直線是.
故選：C
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【詳解】設直線關于點對稱的直線上任意一點，
則關于對稱點為，
又因為在上，
所以，即。
故選：B
【典例3】（2023·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程是______．
【答案】
【詳解】設對稱直線為，
則有，
解這個方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中
故答案為：
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意得，故設，
在l上取點，則點關于點的對稱點是，
所以，即，
故直線的方程為.
故選：C
【變式2】（2023秋·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程為__________．
【答案】
【詳解】在對稱直線上任取一點,設關于點對稱的點為，由于在直線上，所以，即，
故答案為：
題型16將軍飲馬問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【詳解】由關于的對稱點為，
所以，可得，即對稱點為，又
所以“將軍飲馬”的最短總路程為.
故選：D
【典例2】（2023·高二課時練習）已知點和，在直線上找一點，使最小，并求這個最小值．
【答案】，最小值
【詳解】設關于直線的對稱點為，
線段的中點為，
所以，
解得，即，
所以的最小值為，
此時直線的方程為，
由解得，所以.
【變式1】（2023春·四川資陽·高三四川省樂至中學校考開學考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為，若將軍從點處出發，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設點關于直線的對稱點．
根據題意，為最短距離，先求出的坐標．
的中點為，直線的斜率為1，
故直線的方程為，即．
由，聯立得，，
，則，
故，
則“將軍飲馬”的最短總路程為．
故選：C．
【變式2】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習）函數的值域為__________.
【答案】
【詳解】原式為，即可看作是動點到定點的距離之和，
設關于軸的對稱點為，連接交軸于 ，此時最小，且最小值為，故函數的值域為，
故答案為：
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023·江蘇·高二假期作業）已知點，，則A，B兩點的距離為（ ）
A．25 B．5
C．4 D．
【答案】B
【詳解】由兩點間的距離公式得．
故選：B.
2．（2023春·江蘇鎮江·高二統考期中）已知，，，則是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【詳解】，，，
，
，，
，
是直角三角形．
故選：A．
3．（2023春·廣西玉林·高二統考期中）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（ ）
A．2 B．3 C．5 D．10
【答案】A
【詳解】這兩條直線之間的距離為.
故選：A
4．（2023·全國·高三專題練習）若點到直線的距離為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【詳解】由點到直線的距離公式可得,
故選：B.
5．（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校校考期中）已知直線：過定點，則點到直線：距離的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】由題意知，直線：恒過定點，
直線：恒過定點，如圖所示，
過作的垂線段，垂足為，
那么必有，當且僅當與重合時取等號，
從而的最大值為，
即點到直線：距離的最大值是.
故選：D.

6．（2023·貴州畢節·統考模擬預測）直線，直線，下列說法正確的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3
【答案】B
【詳解】對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項A錯誤；
對B，要使，，，解之得，所以B正確；
對C，過定點，該定點在上，但是當時，與重合，所以C錯誤；
對D，，化簡得，此方程，無實數解，所以D錯誤.
故選：B.
7．（2023·全國·高三專題練習）十九世紀著名德國猶太人數學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點”，已知三角形的三個頂點坐標為，，，則的“好點”的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】對于A，設，
則，
所以點不是的“好點”；
對于B，設，
則，
，
所以，
所以點是的“好點”；
對于C，設，
則，
所以點不是的“好點”；
對于D，設，
則，
所以點不是的“好點”.
故選：B.
8．（2023秋·廣東河源·高二龍川縣第一中學校考期末）過點引直線，使，，兩點到直線的距離相等，則直線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【詳解】若直線斜率不存在，即，此時，兩點到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；
若直線斜率存在時，設直線方程為，
由得：或，
故直線方程為或，
整理得或.
故選：D
二、多選題
9．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區南陽中學校考階段練習）已知直線：，：（），則（ ）
A．直線過定點 B．當時，
C．當時， D．當時，兩直線，之間的距離為3
【答案】ABD
【詳解】：（）變形為，
由 則因此直線過定點，故A正確；
當時，：，：，
所以，故兩直線平行，故B正確；
當時，：，：，
因為，故兩直線不垂直，故C錯誤；
當時，則滿足，解得，此時：，：，即，則兩直線間的距離為，故D正確．
故選：ABD．
10．（2023秋·湖南長沙·高二校考期末）若直線不能構成三角形，則的取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【詳解】因為直線不能構成三角形，
所以存在，過與的交點三種情況，
當時，有，解得；
當時，有，解得；
當過與的交點，則聯立，解得，代入，得，解得；
綜上：或或.
故選：ABD.
三、填空題
11．（2023·江蘇·高二假期作業）已知定點，若直線上總存在點，滿足條件，則實數的取值范圍為________．
【答案】
【詳解】因為點在直線上，
所以可設，
由，得，
由兩點間的距離公式可得
整理可得，
由，解得，
即實數的取值范圍為，
故答案為：
12．（2023春·上海靜安·高二上海市新中高級中學校考期中）光線沿著直線射到直線上，經反射后沿著直線射出，則實數______．
【答案】6或－2
【詳解】在直線上任意取一點，
由題知點關于直線的對稱點在直線上，
則，整理得，解得或.
故答案為：6或－2.
四、解答題
13．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期中）已知的三個頂點，，.
(1)求直線的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)7
【詳解】（1）因為，，
所以，所以，化簡可得.
（2）點到直線的距離，
，
則.
14．（2023·全國·高三對口高考）已知三條直線、和且與的距離是．
(1)求的值；
(2)已知點到直線的距離與點到直線的距離之比是，試求出點的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）將直線的方程化為，
兩條平行線與間的距離，
解得或，又，所以．
（2）因為直線，直線，
設點，依題意有，
即，所以或，
即的軌跡方程或．
能力提升
1．（2023·全國·高三專題練習）直線的方程為，當原點到直線的距離最大時，的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】直線方程可化為，
由可得，
所以，直線過定點，
當時，原點到直線的距離最大，且，
又因為直線的斜率為，解得.
故選：B.
2．（2023春·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學校考開學考試）17世紀法國數學家費馬在給朋友的一封信中曾提出一個關于三角形的有趣問題：在三角形所在平面內，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小．現已證明：在中，若三個內角均小于，則當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點．根據以上知識，已知為平面內任意一個向量，和是平面內兩個互相垂直的向量，且，則的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】設，，，
則，
即為點到和點三個點的距離之和，
則△ABC為等腰三角形，如圖，
由費馬點的性質可得，需滿足：點P在y軸上且∠APB＝120°，則∠APO＝60°，
因為|OA|＝|OB|＝2，則，所以點坐標為時，距離之和最小，
最小距離之和為.
故選：B.
3．（2023秋·上海奉賢·高二校考期末）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【詳解】如圖所示，作點關于直線的對稱點，連接交直線于點，此時路程和最小，
由題知，點滿足：
，解得：，，即點，
因為，
所以“將軍飲馬”的最短總路程為，
故選：D
4．（2023秋·上海浦東新·高二校考期末）已知正實數滿足，則的取最小值___________.
【答案】
【詳解】設直線，點在直線上，且在第一象限，
設點，
所以，
如圖所示，
故，由反射光線性質知
所以各邊即為光線所走的路線，其周長等于線段的長度，
且.
故答案為：
2．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學校考期中）已知直線和，
(1)求與l1與l2距離相同的點的軌跡；
(2)過l1與l2交點作一條直線l，使它夾在兩平行線與之間的線段長為，求直線l的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【詳解】（1）設點滿足到兩直線的距離相等，則，
即，
即，，
或，，
（2），解得，故直線交點為，
當直線的斜率不存在時，線段長度為，不滿足；
故設直線方程為，
，解得，即交點，
，解得，即交點，
，整理得到，
解得或，
故直線方程為：
，即，或，即.
3．（2023·高三課時練習）已知、，設過點的直線與的邊交于點（點與不重合），與邊交于點，如圖所示.
(1)求的面積關于直線的斜率的函數關系式；
(2)當為何值時，取最大值，并求出此最大值.
【答案】(1)
(2)當時，取得最大值
【詳解】（1）由題意知：直線，直線；
設直線，
直線與線段相交，；
由得：，即；由得：，即；
的面積.
（2）令，則，，
；
（當且僅當，即時取等號），；
即當時，取得最大值.
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