資源簡介

，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9．（2023·江蘇·高二假期作業）以為頂點的三角形，下列結論正確的有（ ）
A．
B．
C．以點為直角頂點的直角三角形
D．以點為直角頂點的直角三角形
10．（2023春·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考期中）已知圓：與圓：外切，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知直線與圓，則（ ）
A．直線與圓一定相交 B．直線過定點
C．圓心到直線距離的最大值是 D．使得圓心到直線的距離為2的直線有2條
12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知分別為圓與圓上的兩個動點，為直線上的一點，則（ ）
A．的最小值為
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最小值為
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）若兩條平行直線：與：間的距離為2，則______.
14．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______
15．（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知，是曲線上的動點，為直線上的一個動點，則的最小值為______.
16．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）對非原點O的點M，若點在射線上，且，則稱為M的“r-圓稱點”，圖形G上的所有點的“r-圓稱點”組成的圖形稱為G的“r-圓稱形”．的“3-圓稱點”為______，圓（不包含原點）的“3-圓稱形”的方程為______．
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.）
17．（2023春·江蘇揚州·高二統考開學考試）已知直線，求：
(1)過點且與直線l平行的直線的方程；
(2)過點且與直線l垂直的直線的方程．
18．（2023春·上海寶山·高二統考期末）已知直線，.
(1)若，求實數的值；
(2)若直線在兩個坐標軸上的截距相等，求實數的值.
19．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）在平面直角坐標系中，圓過點，，且圓心在上．
(1)求圓的方程；
(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
20．（2023秋·重慶長壽·高二統考期末）已知圓經過點，，且________.從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答.①過直線與直線的交點；②圓恒被直線平分；③與軸相切.
(1)求圓的方程；
(2)求過點的圓的切線方程.
21．（2023秋·高一單元測試）已知直線：與圓O：相交于不重合的A，B兩點，O是坐標原點，且A，B，O三點構成三角形．

(1)求的取值范圍；
(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．
22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考期中）已知過點的直線與圓相交于、兩點，是弦的中點，且直線與直線相交于點．
(1)當直線與直線垂直時，求證：直線經過圓心；
(2)當弦長時，求直線的方程；
(3)設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．
第二章 直線和圓的方程 章節驗收測評卷(綜合卷）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）直線的傾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【詳解】因為的斜率，
所以其傾斜角為30°.
故選：A.
2．（2023春·江西贛州·高二校聯考階段練習）已知命題：直線與平行，命題，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】直線與平行，則 ，解得或，所以命題等價于或，命題．
則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．
故選：A．
3．（2023春·河南開封·高二統考期末）已知圓與圓關于直線對稱，則圓的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標為，半徑為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，
所以圓的標準方程為.
故選：A
4．（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題知：，，，，
.
因為和有公共點，所以，
解得.
故選：C
5．（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知、，若直線經過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】過點作，垂足為點，如圖所示：
設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，
當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，
此時；
當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：D.
6．（2023秋·高一單元測試）已知實數滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因為存在實數，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時，取得最大值，
法三：由可得，
設，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
7．（2023·全國·模擬預測）設，均為正實數，若直線被圓截得的弦長為2，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
由題意可知，圓心到直線的距離為
，兩邊平方并整理，得，
由基本不等式可知，，即，
解得或，當且僅當時，取等號，
于是有或,
的取值范圍是.
故選：C.
8．（2023秋·湖南張家界·高二統考期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，
當點不共線時，，又，因此∽，
則有，當點共線時，有，則，
因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，
所以的最小值為.
故選：C
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9．（2023·江蘇·高二假期作業）以為頂點的三角形，下列結論正確的有（ ）
A．
B．
C．以點為直角頂點的直角三角形
D．以點為直角頂點的直角三角形
【答案】AC
【詳解】對于A，因為，所以，所以A正確，
對于B，因為，所以，所以B錯誤，
對于C，因為，，所以，
所以，所以以點為直角頂點的直角三角形，所以C正確，
對于D，因為，，所以，所以D錯誤，
故選：AC
10．（2023春·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考期中）已知圓：與圓：外切，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
因為圓：與圓：外切，
所以，即，解得或.
故選：AC.
11．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）已知直線與圓，則（ ）
A．直線與圓一定相交 B．直線過定點
C．圓心到直線距離的最大值是 D．使得圓心到直線的距離為2的直線有2條
【答案】AB
【詳解】可化為，
對于B，令，解得，則直線過定點，B正確；
可化為，所以圓心的坐標為，半徑為3.
對于A，，則點在圓內，從而直線與圓一定相交，故A正確；
對于C，設圓心到直線的距離為，則，則C錯誤；
對于D，因為圓心到直線的距離為2，所以，解得，
所以使得圓心到直線的距離為2的直線有且僅有1條，則D錯誤．
故選：AB
12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知分別為圓與圓上的兩個動點，為直線上的一點，則（ ）
A．的最小值為
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最小值為
【答案】AC
【詳解】圓的標準方程為，所以其圓心為，半徑為，
圓的標準方程為，所以其圓心為，半徑為，
設點關于直線對稱的點為，則解得即.
如圖，
連接交直線于點，連接，此時三點共線，最小，則最小，所以3，故A正確、B錯誤；
因為，所以當取到最大值且點共線時，取到最大值．由圖可知，，所以的最大值為，故C正確；時，不能共線，最小值不存在，D錯誤.
故選：AC
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期末）若兩條平行直線：與：間的距離為2，則______.
【答案】或
【詳解】由題意可得：，解得或.
故答案為：或.
14．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______
【答案】2
【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓的圓心距，
兩圓內切，，可得，
所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．
故答案為：2．
15．（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）已知，是曲線上的動點，為直線上的一個動點，則的最小值為______.
【答案】
【詳解】
如圖，曲線是以為圓心，以為半徑的圓，
則根據圓的性質可知，的最小值為，
設關于直線的對稱點為，
則可得，解得，即，
連接，分別交直線與圓于，
則，
當且僅當三點共線時取等號，此時取得最小值，
所以的最小值為.
故答案為:
16．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）對非原點O的點M，若點在射線上，且，則稱為M的“r-圓稱點”，圖形G上的所有點的“r-圓稱點”組成的圖形稱為G的“r-圓稱形”．的“3-圓稱點”為______，圓（不包含原點）的“3-圓稱形”的方程為______．
【答案】
【詳解】由題意得：，又，所以，
又點在射線上，即在軸正半軸上，
故的“3-圓稱點”為；
設圓（不包含原點）的一點，，
設其“r-圓稱點”為，則，
即，
又點在射線上，不妨設，，
所以，整理得：，
綜上，，即，
故圓（不包含原點）的“3-圓稱形”的方程為.
故答案為：，.
四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟.）
17．（2023春·江蘇揚州·高二統考開學考試）已知直線，求：
(1)過點且與直線l平行的直線的方程；
(2)過點且與直線l垂直的直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為直線的斜率為，
所以與直線l平行的直線的斜率為，
又所求直線過，
所以所求直線方程為，即．
（2）因為直線的斜率為，
所以與直線l垂直的直線的斜率為，
又所求直線過，
所以所求直線方程為，即．
18．（2023春·上海寶山·高二統考期末）已知直線，.
(1)若，求實數的值；
(2)若直線在兩個坐標軸上的截距相等，求實數的值.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）直線，．
則，解得或，
當時，，，則直線，重合，不符合題意；
當時，，，則直線，不重合，符合題意，
故.
（2）當，即時，，直線在兩坐標軸上的截距為，
滿足直線在兩個坐標軸上的截距相等；
當且時，
則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
由題意可知，，解得，
當時直線，顯然不符合題意，
綜上所述，或．
19．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）在平面直角坐標系中，圓過點，，且圓心在上．
(1)求圓的方程；
(2)若已知點，過點作圓的切線，求切線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為圓過，則的中垂線過圓心，
設的中點為，則，
因為，所以的中垂線方程為，即，
又圓心在，
聯立，解得，
因此圓心，半徑，
所以圓的方程為.
.
（2）因為，所以在圓外，
過作圓的切線，
若切線斜率不存在時，則切線方程為，滿足與圓相切，
若切線斜率存在時，設切線方程，即，
則，解得，
所以切線方程為，即.
綜上：切線方程為或.
20．（2023秋·重慶長壽·高二統考期末）已知圓經過點，，且________.從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答.①過直線與直線的交點；②圓恒被直線平分；③與軸相切.
(1)求圓的方程；
(2)求過點的圓的切線方程.
【答案】(1)選擇見解析，
(2)或
【詳解】（1）選擇①：聯立，解得，所以，
O是坐標原點，且A，B，O三點構成三角形．

(1)求的取值范圍；
(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時的值．
【答案】(1)
(2)的最大值為2，取得最大值時
【詳解】（1）解法一：
由題意知：圓心到直線的距離 ，
因為直線與圓O相交于不重合的A，B兩點，且A，B，O三點構成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范圍為.
解法二：
聯立，化簡得：
，得，
因為A，B，O三點構成三角形，所以
所以的取值范圍為.
（2）直線：，即，
點O到直線距離：，
所以
所以，（且）
設，則，
所以
所以當，即，即時，
所以的最大值為2，取得最大值時.
22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考期中）已知過點的直線與圓相交于、兩點，是弦的中點，且直線與直線相交于點．
(1)當直線與直線垂直時，求證：直線經過圓心；
(2)當弦長時，求直線的方程；
(3)設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
(3)為定值，且
【詳解】（1）解：直線與直線垂直，且，.
故直線方程為，即.
圓心為，且，故當直線與直線垂直時，直線經過圓心.
（2）解：①當直線與軸垂直時，則直線的方程為，圓心到直線的距離為，
且，合乎題意；
②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即，
，是中點，圓圓心為，半徑為，
，則由，得，
此時，直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
（3）解：，.
①當與軸垂直時，直線的方程為，聯立可得，
即點，則，
又，.
②當的斜率存在時，設直線的方程為，其中，
則由可得，即點，則.
.
綜上所述，與直線的斜率無關，且.
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